книги из ГПНТБ / Григорьев Ю.П. Строительная механика летательных аппаратов дополнительные главы

Г л а в а V

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВОПРОСАМ ПРОЧНОСТИ И ДОЛГОВЕЧНОСТИ

ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

ИДВИГАТЕЛЯ

5.1.ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ

Опыт производства показывает, что получить материалы совершенно одинаковые по всем показателям невозможно. Опре­ деляя, например, механические характеристики какой-либо пар­ тии стали, при каждом очередном опыте мы будем получать вели­ чины, несколько отличающиеся друг от друга даже при самом тщательном проведении опыта, исключающем случайные ошибки измерения. Это объясняется тем, что материал в отливке, полу­ фабрикате или даже в готовом изделии не является совершенно однородным. Изготовляя образцы из металла, взятого из различ­ ных участков изделия, мы будем получать при их испытании раз­ личные значения для механических характеристик. Определяя механические характеристики материала одной и той же марки, но относящегося к различным партиям, будем получать еще больший разброс в их величинах. Очевидно, что чем меньше раз­ брос в величинах механических характеристик, тем однород­ нее данный материал и, следовательно, выше его качество при прочих равных условиях.

Таким образом, любая механическая характеристика мате­ риала является непостоянной величиной, которая может прини­ мать различные значения, зависящие от случайных обстоятельств (например, от выбора куска материала из данной партии для изготовления образца). Поэтому при научном подходе к опреде­ лению механических характеристик их следует рассматривать как случайные величины и при обработке результатов экспери­ ментов базироваться на статистических методах.

Чтобы получить представление об этих методах, рассмотрим основные понятия, используемые в статистике, на примере какойлибо механической характеристики, скажем, предела текучести. Поставим себе задачу исследовать характер изменчивости зт

122

какой-либо партии стали. Для этого Проделаем следующий мыс­ ленный опыт (который можно проделать и в действительности).

Изготовим из всей исследуемой партии стали большое число образцов и для каждого из них определим предел текучести от . Для обработки результатов опыта разобьем весь диапазон изме­ нения величины зт на равные участки величиной Аат и подсчи­

/Z

частоту-^- по оси ординат (фиг. 5.1.1). Полученный график дает

некоторое представление о характере рассеивания величины X.

Мы видим, что одни величины X встречаются часто, другие редко, причем рассеивание носит не хаотический характер, а группи­ руется около некоторого среднего значения случайной вели­ чины X.

В теории случайных величин большое значение имеет понятие вероятности попадания случайной величины в некоторый интер­ вал. Вероятность Р попадания случайной величины X на данный участок xt , Х[ + Ах определяется соответствующей частотой:

Р ( Л ,< ^ < Х <+ Ах) = ^ -'.

п

123

Вероятность попадания случайной величины X в интервал Xt , х,- -f /яДх, включающий в себя несколько участков величиной Дх, определяется как сумма частот для соответствующих участков:

в какой-либо интервал измеряется числом, не большим единицы. Вероятность попадания случайной величины в интервал рас­ сеивания х А, х в , что является достоверным событием (событием, которое должно обязательно произойти), будет определяться

суммой частот для всех участков:

k

Р { х А < Х < х в) ^ ^ = 1

п

1

к

так как V] д. = п.

1

Таким образом, вероятность достоверного события равна еди­ нице. Вероятность невозможного события равна нулю. Следова­ тельно, вероятность события может изменяться от 0 до 1.

Вернемся к диаграмме частот (фиг. 5.1.1). При изменении величины участка Дх диаграмма будет несколько изменяться при сохранении общего очертания. Например, при уменьшении Дх

высота диаграммы будет уменьшаться. Чтобы этого не происхо-

п,

дило, по оси ординат следует откладывать не просто частоту—- ,

а частоту, поделенную на длину участка -^~(ф иг. 5.1.2). В этом лДх

124

случае оче'ртание диаграммы будет мало зависеть от величины Дх, которую можно неограниченно уменьшать (при соответствую­ щем увеличении числа опытов п).

Рассмотрим некоторые свойства этой диаграммы. Вероятность попадания случайной величины X в интервал x lt х,- + Дх, равна площади прямоугольника, опирающегося на этот интервал (на фиг. 5.1.1 он заштрихован). Вероятность попадания в интер­ вал, включающий несколько участков длиной Дх, равна площади диаграммы в пределах этого интервала, что вытекает из формулы

1

Введем еще одно понятие из теории случайных величин — п л о т н о с т ь в е р о я т н о с т и .

Средней плотностью вероятности р называется отношение вероятности попадания случайной величины в данный интервал к величине этого интервала:

- _ _ P (x i < A '< х, f Дх) _ Д/э __ пi

Дх Дх «Дх

Диаграмма на фиг. 5.1.2 характеризует распределение сред­ ней плотности вероятности.

Плотностью вероятности р называется предел отношения -----

Кривая, которая получается в пределе из ступенчатой диа­ граммы при Дх ^ 0 (фиг. 5.1.3), дает распределение плотности вероятности р. Закон распределения плотности вероятности слу­ чайной величины играет большую роль в исследовании случай­ ных величин. Он характеризует рассеивание случайной величины около ее среднего значения и является базой для различных математических расчетов, связанных со случайными величинами.

Исследуем основные параметры закона распределения слу­ чайной величины. Среднее значение случайной величины опреде-. ляется как абсцисса центра тяжести площади кривой рассеива­ ния (фиг. 5.1.3) (напоминаем, что площадь кривой рассеивания равна единице):

+0°

т= f pxdx.

Если исходить из ступенчатой диаграммы распределения плотности вероятности, то среднее значение случайной величины

125

или центр рассеивания определится по формуле:

Полученное выражение есть не что иное, как среднее арифме­ тическое от определенных при опыте значений исследуемой слу­ чайной величины.

Эта величина называется в статистике м а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м случайной величины.

Рассеивание случайной величины характеризуется моментом инерции площади кривой распределения относительно вертикаль­ ной оси, проходящей через центр тяжести этой площади, и назы­

126

т. е. дисперсию можно определить как среднее арифметическое квадратов отклонений случайной величины от ее среднего зна­

и обозначается обычно буквой о:

ni (xt — т )2

Среднее квадратическое отклонение можно также интерпрети­ ровать как радиус инерции площади кривой распределения отно­

рый математически выражает­ ся следующей формулой:

(х-т)'

12з2

аУ 2п

Кривая нормального закона распределения (фиг. 5.1.4) сим­ метрична относительно центра рассеивания.

При обработке экспериментов обычно принимают, что закон распределения исследуемой величины является нормальным законом распределения. Его параметры определяются на основа­ нии опытных данных. Параметр т вычисляется как среднее ариф­ метическое наблюденных значений исследуемой величины:

Sx,

т

п

параметр з вычисляется как среднее квадратическое отклонение:

£ nt (х ( — т)2

п

Эти параметры закона распределения определяются на основа­ нии ограниченного числа опытов и поэтому будут несколько отли­ чаться от истинных значений этих параметров, характеризующих закон распределения дайной случайной величины для всей иссле­

127

дуемой совокупности (например, всей партии стали). Очевидно, что чем больше будет проведено опытов, тем более достоверными будут полученные значения параметров.

Зная закон распределения случайной величины, можно произ­ водить ряд практически важных расчетов. Например, можно определить вероятность того, что случайная величина попадет в заданный интервал хь х2:

Р (xj < X < ха) = pdx, ii

или вероятность того, что случайная величина не будет меньше заданной величины лу (т. е. попадет в интервал хь °о):

Р (м < X) = f pdx.

x t

Для нормального закона распределения подобные расчеты базируются на функции Лапласа:

С помощью этой функции вероятность попадания случайной

а вероятность того, что случайная величина будет не меньше х х по формуле:

Необходимые для расчета таблицы функции Лапласа можно найти, например, в Справочнике машиностроителя, т. 1.

Можно также определить то значение случайной величины, которое гарантируется с определенной вероятностью. Например, можно определить то значение предела текучести, которое гарантируется для данной пар­ тии материала с вероятностью 0,9, т. е. на '90%. Практически это будет означать, что в сред­ нем из 100 случаев в 90 случаях предел текучести будет не меньше назначенной величины

(фиг. 5.1.5). .

128

П р и м е р . Получить параметры закона распределения пре­ дела текучести ат стали марки Ст. З.на основании следующих экспериментальных данных:

ния являются математическое ожидание т и среднее квадрати­ ческое отклонение з, определяемые по следующим формулам:

т 2 ^ L ot . = 29,75 кг!мм2\

т)г = 2,83 кг/мм2.

•= /

Вероятность того, что предел текучести будет не меньше нор­ мативного, определяется по формуле (5.1.3):

Р Корм < < 0 - 0,5 -

= 0,5 - Ф (24т - | ^ 5) = 0,5 + Ф (2,03) = 0,979.

По условию задачи вероятность того, что предел текучести будет не меньше <здо%, должна быть равна 0,9, т. е. площадь кри­

вой распределения, лежащая правее <зж%, должна быть равна 0,9. На основании формулы (5.1.2) имеем:

По таблице для функции Ф (z) = 0,4 находим

В результате

°9ои ~ т ~ 1)29 о = 29,75 — 1,29-2,83 = 26,1 кг мм1.

Таким образом, можно утверждать с вероятностью 0,9, что предел текучести стали будет не меньше 26,1 кг!мм2.

5.2.ПОНЯТИЕ О ПРОЧНОСТНОМ РЕСУРСЕ

ИНАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИИ

Проектируя летательный аппарат или двигатель, конструктор должен обеспечить его безотказную работу в течение некоторого срока, называемого р е с у р с о м . Длительность срока службы определяется, исходя из назначения конструкции, условий ее работы, технологических возможностей производства и экономи­ ческих соображений. Чрезмерное завышение ресурса, как пра­ вило, требует повышенной прочности конструкции, связанной с увеличением веса, увеличением расхода материала и ухудше­ нием тактико-технических характеристик. Малый ресурс означает быстрый выход конструкции из строя, необходимость частых капитальных ремонтов, сильно удорожающих стоимость эксплуа­ тации и делающих конструкцию экономически невыгодной. Малый ресурс допустим лишь в беспилотных аппаратах однора­ зового применения и диктуется спецификой их использования.

Однако было бы неверно понимать ресурс как вполне опреде­ ленный промежуток времени, на протяжении которого ни один аппарат данной серии не выйдет из строя, а по истечении кото­ рого все аппараты потребуют капитального ремонта и замены ответственных деталей. Опыт эксплуатации показывает, что срок безотказной работы каждого конкретного аппарата или машины является случайной величиной, меняющейся в широких пределах в зависимости от индивидуальных особенностей данного объекта и условий его использования.

Несмотря на многообразие отказов и поломок, имеющих место в практике эксплуатации сложных механизмов и конструк­ ций, с помощью статистического анализа удается подметить общие черты, свойственные любой достаточно большой совокуп­ ности однотипных объектов. Срок службы объектов, входящих в совокупность (время работы до появления первого отказа или поломки) распределяется по закону, показанному на фиг. 5.2.1. Кривая на этой фигуре показывает изменение плотности вероят­ ности отказов в зависимости от времени эксплуатации.

Кривая разбивается на три характерных участка. Первый уча­

130