книги из ГПНТБ / Григорьев Ю.П. Строительная механика летательных аппаратов дополнительные главы

Из условия <1.2.1) имеем:

У\ — P£i 5 Уг = 9Ч,

откуда находим радиус кривизны

Учитывая это значение радиуса кривизны, на основании пер­ вой формулы ( 1.2.2), получаем следующее выражение для изги­ бающего момента:

которое может быть представлено в ином виде:

(1.2.4)

«I

Давая различные значения для £! и определяя по зависимо­ сти (1.2.3) величину е2, можно по формуле (1.2.4) построить кри­ вую зависимости M /W x от е, для дан­ ного материала (фиг. 1.2.3). Эта кривая позволяет по заданному изгибающему моменту найти удлинение крайнего волок­ на S], По е, находим st , а затем и напряжения в крайних волокнах балки:

мулу для относительного сдвига:

сШ,

(1.2.5)

■' ch

Касательное напряжение т может быть определено.в зависи­ мости от величины относительного сдвига f по кривой деформа­ ции для чистого сдвига (фиг. 1.2.4)

' = *(?)•

Суммарный крутящий момент сил тdF , распределенных по

12

вая дает возможность найти относительный сдвиг j r, соответ­ ствующий заданному крутящему моменту, а затем и максималь­ ное касательное напряжение

w = ^ Ш-

Можно решить и обратную задачу — по заданной величине уг и радиусу бруса найти величину крутящего момента.

1.3. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ НА ПОЛЗУЧЕСТЬ

Известно, что при повышенных температурах конструкцион­ ные материалы под действием постоянного напряжения могут получать медленно развивающиеся во времени пластические деформации (см. п. 4.2). Это явление называется ползучестью материала. Так как на современном уровне развития техники многие детали и даже целые агрегаты работают в условиях высо­ ких температур и наблюдается тенденция к дальнейшему увели­ чению рабочих температур, то вопросы расчета деталей на ползу­ честь стали весьма актуальными.

Существует довольно большое количество теорий ползучести. Здесь будет рассмотрена теория ползучести, относящаяся к так называемым теориям старения. Эти теории исходят из предпо­

Показатель степени п и вид функции й {() определяются на основании обработки кривых ползучести (см. п. 4.2). Кривые пол­ зучести получаются при испытании образцов при постоянной температуре и постоянном напряжении (обычно проводят опыты при постоянной нагрузке, и пренебрегая изменением площади поперечного сечения образца принимают о =. const).

14

Допустим, что имеются кривые ползучести, полученные при определенной температуре и различных напряжениях (фиг. 1.3.2). По этим кривым можно определить гпл для любого момента вре­ мени.

На основании формулы (1.3.1) имеем:

Igsm, = «lg= + lgfi(0 .

В логарифмических координатах эта зависимость изобра­ жается прямой линией, причем п есть угловой коэффициент пря­ мой. Построим эту прямую по точкам для какого-либо момента времени^ (фиг. 1.3.3), используя кривые ползучести (фиг. 1.3.2),

Фиг. 1.3.2 Ф и г. 1.3.3

Подобное построение прямых можно проделать для нескольких значений времени t и найти среднее значение угловых коэффици­ ентов этих прямых. Полученная величина и может быть принята за подходящее значение показателя степени п. Данный метод определения п приведен в основном для иллюстрации. Могут быть применены и другие методы.

Определив показатель степени /г Д> 1, приступим к построению графика функции 2 (£).

На основании формулы (1.3.1) функция 2 ( 0 определяется следующим образом:

Взяв по кривой ползучести гпл и поделив на з", получаем ординату кривой Q (() для данного момента времени. Построив таким путем точки для различных значений времени по имею­ щимся кривым ползучести, можно провести осредненную кри­ вую (фиг. 1.3.4), которая и будет графиком 2(0- В области ус­ тановившейся ползучести графиком функции 2 Д) будет прямая.

15

Полученный график функции 0 (t) позволяет вычислять деформацию ползучести при одноосном напряженном состоянии при любом значении напряжения и для любого момента времени в рассматриваемом интервале.

Ф и -г. 1.3.4

Для расчетов на ползучесть при сложном напряженном состоянии принимается, по аналогии с теорией пластичности, что интенсивность напряжений и интенсивность деформаций связаны инвариантной зависимостью, которая принимается аналогичной зависимости между о и е (1.3.2) при одноосном напряженном состоянии:

Рассмотрим в качестве примера расчет на ползучесть тонко­ стенных оболочек вращения. Тонкостенная оболочка находится

Формулы (1.1.6) дают следующую зависимость между на­ пряжениями и деформациями:

£ .

<4 -= —Ца, — 0,5 а2);

аг

s2= “ (32~ 0,5о,).

°1

16

На основании формулы (1.3.3)

3; = -Еi - + '• ? - 'е < 0 = 4Е- 1 1 + х),

где

Х= Еа

Брезультате получаем следующие формулы для относитель­ ных удлинений:

Последние формулы позволяют вычислять относительные удлинения оболочки вследствие ползучести для любого момента времени, если функция 2 (<) задана аналитически или графи­ чески, так к,ак величины напряжений з, и о2 определяются неза­ висимо от деформаций.

Решение этой задачи получилось очень простым вследствие того, что данная задача является статически определимой. В про­ чих случаях, когда задача статически неопределима, возникают большие математические трудности ввиду нелинейности урав­ нений.

В качестве конкретного примера рассмотрим цилиндрическую оболочку диаметром D и толщиной 8, нагруженную внутренним избыточным давлением р и осевой растягивающей силой N (фиг. 1.3.5). Поставим задачу определить зависимость между временем t и увеличением диаметра оболочки вследствие ползучести.2

Исключая упругую часть деформации

по формулам (1.3.4) получим остаточную деформацию ползу­ чести:

г тл = - J r (®i — ° ’ 5 32) X ■= (°1 — 0 ,5 аа) о" - 1 Й (г-);

(1-3.5)

®2пл = — ( а 2 — °> 5 3 l ) X =» ( ° | — °> 5 ° l ) a? ~ l Q ( 0 -

Е

Последние формулы получены в предположении, что коэффи­ циент Пуассона в упругой области р = 0,5, что дает некоторые погрешности, которые будут тем меньше, чем больше остаточные деформации по сравнению с упругими.

Напряжения в цилиндрической оболочке равны:

Для удобства расчета введем обозначения:

Выразим интенсивность напряжений через Oj и а2:

здесь

з, = У"О? — 3, °2 + °2

Тогда выражение для относительной деформации ползучести на основании формул (1.3.5) принимает вид:

eto = ^ - ( 3 , - 0 > 2)or iQ (0.

Последняя формула при заданной нагрузке N и р и известном диаметре D дает зависимость между относительным изменением диаметра оболочки вследствие ползучести е, пл, толщиной обо­ лочки 8 и временем t (через функцию Q (0)- По этой зависимости можно определить, например, потребную толщину оболочки 8, так, чтобы за заданное время t относительное увеличение диамет­ ра оболочки не превышало величины, допускаемой по условиям эксплуатации.

18

1.4. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ НА РЕЛАКСАЦИЮ

Релаксация рассматривается как частный случай проявления ползучести, когда общая деформация (упругая -f- деформация ползучести) постоянна, а напряжение убывает. Уравнение релак­ сации по теории старения записывается так:

— + o'1Q (t) — s0= const.

Е

Если начальное напряжение з0 не превышает предела пропор­ циональности, то г0 — а0/Е.

В результате получаем

* ■ n < w A _ ао

Е

Запишем это уравнение в следующем виде:

1 + Еa»-1Q(О щТ1—1

Глава II

ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

2Л. БРУС ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ В ПОЛЕ ИНЕРЦИОННЫХ СИЛ

Примером бруса, находящегося в поле инерционных сил, является лопатка турбомашины. Лопатки компрессора и турбины газотурбинного двигателя испытывают действие огромных цен­ тробежных сил, а также нагрузок иного происхождения (газовые силы, температурные и вибрационные нагрузки). Для расчета лопаток на прочность нужно уметь вычислять напряжения от этих нагрузок. Здесь мы ограничимся определением напряжений лишь от действия инерционных сил, рассматривая лопатку схе­ матически как прям-ой брус переменного сечения.

Обозначим через R\ и R2 расстояния от оси вращения соответ­ ственно до начала лопатки (корневого сечения) и до внешнего конца лопатки, а через г — до произвольного сечения т—п (фиг. 2.1.1). Определим усилие в сечении т—п лопатки, возни­ кающее от действия инерционных сил. Сила инерции, действую­ щая на элемент лопатки длиной dr, равна:

dJ = Ч?(г) ш* г dr, g

где и> — угловая скорость вращения; F(r) — площадь поперечного сечения.

Усилие в сечении т—п:

N = ^ F ( r ) r d r .

Напряжение

Для определения напряжений нужно знать закон изменения площади сечения по длине лопатки F(r).

21