книги из ГПНТБ / Григорьев Ю.П. Строительная механика летательных аппаратов дополнительные главы

Решив относительно напряжений, получаем

Использовав уравнение равновесия

_г х + ог - а , = 0 dr

и соотношения

dtt и

dr

приходим к дифференциальному уравнению для перемещения и :

Здесь через Т' обозначена производная от Т по г.

Полученное дифференциальное уравнение может быть пред­ ставлено в следующем виде:

d_ 1 d(ur)

= (i + t O « r .

dr г dr

После однократного интегрирования получаем:

t d(ur)

(1 + ц.)а Т + А.

гdr

Умножив на г, интегрируем второй раз. Разделив результат на г, получаем выражение для перемещения:

32

Постоянные А и В определим из условий на цилиндрических поверхностях диска:

<зг — 0 при г — а и

— 0 при г = Ь.

Эти условия дают два уравнения:

Подставив значения постоянных интегрирования Л и В в фор­ мулы для напряжений, получаем:

Зная распределение температуры Г = Т(г), можно теми или иными способами, в некоторых случаях приближенно, вычислить интегралы, входящие в последние формулы, и получить значения напряжений в любой точке диска.

Для диска без центрального отверстия температурные на­ пряжения получим из последних формул, приняв а = 0:

В качестве примера рассмотрим определение температурных напряжений в диске для случая, когда температура вдоль ради­

уса изменяется по линейному закону

Т = Т 0 + Т ' г ,

где Т0 — температура в центре диска

(при г — 0);

Т' — градиент температуры вдоль радиуса.

Коэффициент Т' равен тангенсу угла наклона прямой, изображающей закон изменения температуры (фиг. 2.3.1). Раз­ мерность Т' — град/см.

Вначале определим температурные напряжения в диске без отверстия. Вычислим интегралы, входящие в соответствующие формулы:

ГГ

jV rd r = j V o - f T ' r ) r d r = Т - .у + Г у

0 0

+rf

О

Подставляем в формулы (2.3.2):

а.=* — аЕТ'(Ь — г);

3

ot= -~-aE T '{ b - 2 r ) .

Как видно из полученных формул, напряжения аг и а, изме­ няются вдоль радиуса по линейному закону. В центре диска оба напряжения равны (при г = 0):

Закон распределения температурных напряжений графически показан на фиг. 2.3.2.

Теперь определим температурные напряжения в диске с цен­ тральным отверстием при том же линейном распределении тем­

34

пературы. Предварительно вычислим следующие интегралы:

Подставляем их в формулы (2.3.1) и после преобразований получаем:

В данном случае распределение напряжений имеет нелиней­ ный характер (фйг. 2.3.3).

2.3.4

В случае распределения температуры по квадратичному закону (фиг. 2.3.4,а) Т — T0-\-kr2 температурные напряже­ ния в сплошном диске также изменяются по квадратичному закону (фиг. 2.3.4,б ):

зг =^-з£А :(б2- г 2);

о, - — aEk{b2- 3 r 2).

4

В диске с отверстием напряжения равны:

В последнем случае кривые распределения напряжений имеют примерно такой же характер, как и при линейном законе измене­ ния температуры (см. фиг. 2.3.3).

Во всех рассмотренных случаях распределение температур­ ных напряжений не зависит от температуры в центре диска Т0 (для диска с отверстием Т0 является условной температурой). Это получается потому, что наложение поля постоянной темпе­ ратуры на диск не вызывает появления температурных напряже­ ний. Путем наложения подобного температурного поля всегда можно свести Т0 к нулю. Таким образом, полученное нами реше­ ние не может учитывать влияния абсолютного уровня темпера­ туры на распределение температурных напряжений. Влияние уровня температуры (влияние Т0) можно получить лишь при учете изменения модуля упругости Е и коэффициента темпера­ турного расширения а с изменением температуры. В приведенных выше расчетах эти величины считались постоянными, тогда как в действительности они зависят от температуры (фиг. 2.3.5).

Е-1(Г*кг/с*г

а-/О*

' О WO z o o m r n 500 6 0 0 7 0 0 800 V 3с

Ф и г. 2.3.5

Поэтому полученные формулы можно применять для практиче­ ских расчетов лишь в тех случаях, когда максимальная разность температур сравнительно невелика. Модуль упругости и коэффи­ циент температурного расширения берутся средними для рассма­ триваемого интервала температур. Если будет повышаться сред­ ний уровень температуры при сохранении постоянного градиента Т, то характер распределения напряжений не будет изменяться. Однако величина самих напряжений может измениться, так как

в величине деформаций: при повышении температуры деформа­ ции увеличиваются за счет температурного расширения и умень­ шения модуля упругости.

Напряжения в неравномерно нагретом вращающемся диске можно получить в результате суммирования напряжений от сил инерции с температурными напряжениями, если только суммар-

36

ное действие напряжений не вызывает появления пластических деформаций и модуль упругости может считать постоянным по всему диску (невелика максимальная разность температур). На фиг. 2.3.6 показаны напряжения в сплошном вращающемся диске при линейном распределении температуры вдоль радиуса, полу­ ченные как результат суммирования двух напряженных состоя­ ний, изображенных на фиг. 2.2.5 и 2.3.2.

Если вышеуказанные условия не выпол­ няются, то уже нельзя применять метод раздельного определения напряжений от сил инерции и температурных напряжений. В этом случае задача должна быть решена в комплексе с учетом влияния температуры на механические характеристики материала (модуль упругости, предел текучести). Это сильно усложняет задачу, если даже она решается в упругой области: нужно учиты­ вать изменчивость модуля Е.

Практически задача определения напряжений во вращаю­ щемся неравномерно нагретом диске при большом перепаде тем­ пературы может быть решена лишь приближенным методом, например, методом конечных разностей.

Методом конечных разностей задача решается в напряже­ ниях, т. е. за основные неизвестные принимаются напряжения ог и at. Поскольку неизвестных величин две, то нужно иметь два дифференциальных уравнения, связывающих эти величины. Пер­ вым является уравнение равновесия (2.2.1), а вторым — уравне­ ние совместности деформаций, которое получается из формул:

dr Е

г Е — Рвг) +

в результате исключения функции и. Из второго уравнения находим

и подставляем в первое. В результате получаем уравнение совме­ стности деформаций:

Для практических расчетов дифференциальные уравнения нужно представить в виде, решенном относительно дифференциа­ лов неизвестных dor и dat .

37

Подставляем сюда выражение для dor из (2.3.4) и решаем отно­ сительно dot :

Уравнения (2.3.4) и (2.3.5) являются исходными для расчета на прочность методом конечных разностей, который применяется при расчете дисков газотурбинных двигателей.

2.4. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ

Формулы (2.2.7), полученные для напряжений во вращаю­ щемся диске постоянной толщины, могут быть использованы для определения напряжений в толстостенных цилиндрах, подвергаю­ щихся действию внутреннего р в и наружного р н давлений. При­ мером толстостенного цилиндра может служить ствол артилле­

мые в случае тонкостенных цилиндрических сосудов, находящих­ ся под действием внутреннего давления, здесь становятся уже непригодными. Это происходит потому, что напряжения по тол­ щине стенки в толстостенном сосуде уже являются существенно переменными и начинает заметную роль играть «нажатие» цилин­ дрических слоев друг на друга, в результате чего появляются значительные радиальные напряжения.

Чтобы установить связь между задачей определения напряже­ ний во вращающемся диске и в толстостенном цилиндре, выре­ жем из толстостенного цилиндра элемент двумя близкими попе­ речными сечениями, расположенными на некотором расстоянии от его торца. Этот элемент является диском постоянного сечения с отверстием, нагруженным в своей плоскости осесимметричной нагрузкой (фиг. 2.4.1). Диск, вырезанный из цилиндра, будет отличаться от рассмотренного ранее вращающегося диска посто­ янной толщины только тем, что на него не действуют силы инер-

38

дии, но зато могут быть напряжения на его плоской поверхности, например, растягивающие напряжения в случае цилиндра с за­ крытыми торцами, имеющего внутренне давление. Что касается давлений по цилиндрическим поверхностям вырезанного диска, то такие же давления могут быть и у вращающегося'диска (диск, надетый на вал с натягом, и имеющий бандаж). Но отсутствие сил инерции лишь упрощает задачу, так как достаточно принять,

что диск не вращается и о>= 0, а осевые напряжения в цилиндре могут быть определены отдельно по формулам для растяжения или сжатия. Таким образом, определение напряжений аг и <зг в толстостенном цилиндре может быть с полным основанием про­ ведено на основании уже рассмотренной задачи определения напряжений во вращающемся диске постоянной толщины. Нуж­ но только в формулах (2.2.7) принять и - Ои учесть свои специ­ фические граничные условия. Формулы (2.2.7) для случая толсто­ стенного цилиндра принимают вид:

Произвольные постоянные А и В определяются из следующих граничных условий:

°г= - р в при Г— Гд,

°г=~-Рн ПРИ Г —Гв.

•39

Соответствующие этим граничным условиям постоянные инте­ грирования равны:

л __ 1 — У- Р *г* — Р „ г н2 .

в __ 1 + ? (Рв— Р н )гв2г н2

ЕГН - гв2

Врезультате для напряжений в цилиндре получаем формулы:

Формулу для радиальных перемещений и в толстостенном цилиндре получаем на основании (2.2.6):

(п,2— Г 2) г

В случае, когда имеется только внутреннее давление, форму­ лы для напряжений принимают вид:

> + > •

Характер распределения напряжений для этого случая пока­ зан на фиг. 2.4.2. Наибольшие по величине напряжения возни­ кают у внутренней поверхности.

из двух цилиндров, надетых с на­ тягом один на другой. Натяг получается за счет разности наруж­ ного диаметра внутреннего цилиндра и внутреннего диаметра наружного цилиндра, который обозначим Д. Наружный цилиндр надевается на внутренний в нагретом состоянии. После остыва-

40

ний он сжимает внутренний цилиндр, и последний оказывается под действием наружного давления р. В свою очередь, наружный цилиндр оказывается под воздействием такого же внутреннего давления р (фиг. 2.4.3). Найдем зависимость между давлением р и натягом А. Поскольку натяг Л есть разность диаметров, то разность соответствующих радиусов 8 = Д/2.

Фиг. 2.4.3

От давления р наружный слой внутреннего цилиндра переме­ стится на величину и', которую найдем по формуле (2.4.2), пола­

Внутренний слой наружного цилиндра переместится на вели­ чину и", которую определим по той же формуле (2.4.2), заменив

никновению начальных напряжений, которые будут алгебраи­ чески складываться с напряжениями от внешней нагрузки на цилиндр. Например, в случае наличия внутреннего давления р в суммарные напряжения в составном цилиндре будут распреде­ ляться по закону, показанному на фиг. 2.4.4. .

Если вместо полого внутреннего цилиндра будет сплошной цилиндр, например, при посадке с натягом втулки на вал (фиг. 2.4.5), то величину давления от натяга р можно определить

41