книги из ГПНТБ / Григорьев Ю.П. Строительная механика летательных аппаратов дополнительные главы

В брусе постоянного сечения напряжение равно:

(2.1.1)

2g

Максимальное напряжение

° ш . х = = ^ ( Я а’ - Д , 2)-

2g

Распределение напряжений по длине лопатки показано на фиг. 2.1.2.

У бруса, имеющего форму клина (фиг. 2.1.3), площадь сече­ ния изменяется по закону:

Из сравнения кривых напряжений для бруса постоянного сечения I и клиновидного бруса 2 (фиг. 2.1.2) видно явное пре-

22

имущество второго бруса. Исследование показывает, что

<0,5.

Для рассмотренных задач характерно то, что величина напря­ жений не зависит от абсолютных размеров сечения, так как уве­ личение инерционных сил пропорционально площади сечения.

g

Знак «минус» берется потому, что с увеличением dr продольная сила убывает.

Дифференциальное уравнение равнопрочного бруса прини­ мает вид:

23

По такой формуле определяется профиль равнопрочного бруса, несущего на конце некоторый груз, сила инерции которого является источником напряжения о0 в начальном сечении бруса (лопатка бандажированного колеса). Если лопатка не имеет на конце груза, то усилие в лопатке, профилированной по последней формуле, будет меньше усилия в рассмотренном выше брусе на величину оп Fn:

N ' — F<s0 — F2а ,,

а напряжение будет равно:

Это напряжение не постоянно по длине лопатки (кривая 1 на фиг. 2.1.5), и, следовательно, лопатка в данном случае не являет­ ся брусом равного сопротивления. Вообще лопатка подобной кон­ струкции (без груза на конце) не может быть брусом равного сопротивления, в полном смысле слова, так как на периферийном конце лопатки нет нагрузок и напряжение в начальном сечении равно нулю. Однако лопатка может быть брусом равного сопротивления на некоторой части своей длины. В этом случае роль груза; создающего начальное напряжение о0, играет перифе­ рийная часть самой лопатки, на протяжении которой напряжение переменно и возрастает от 0 до

о0. Остальная часть лопатки Судет уже под постоянным напряжением q0. На фиг. 2.1,5 справа

показана такая лопатка и распределение напряжений в ней (кри­

вая 2). Периферийная часть лопатки длиной а выполнена в виде бруса постоянного сечения.

Закон изменения поперечного сечения лопатки на участке рав­

ного сопротивления ( г < Ra ) получим на основании формулы

(2.1.2), заменив в ней R2 на Ra:

fU>2

F = F2e ^ “

24

Величина Ra определяется из условия, что в сечении г — Ra напряжение равно о0. Расчет ведется по формуле (2.1.1) для бруса постоянного сечения:

Отсюда

Длина а участка лопатки с постоянным сечением будет полу­ чаться меньше при увеличении радиуса R2 и угловой скорости со и больше — при увеличении расчетного напряжения о0 . Напря­ жения в лопатке здесь также не зависят от абсолютных размеров ее сечения, т. е. не зависят от ее толщины и ширины.

2.2. БЫСТРО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е з а д а ч и . При конструировании различных турбин, реактивных двигателей и компрессоров большое значение имеют вопросы прочности быстро вращающихся дисков. Вращающийся с большой скоро­ стью диск может разрушиться от сил инерции (центробежной силы). Чтобы судить о прочности вращающегося диска, необхо­ димо уметь вычислять возникающие в нем от действия сил инер­ ции напряжения.

Рассмотрим задачу определения напряжений в диске пере­ менной толщины, вращающемся с постоянной угловой скоро­ стью «>. Каждая частица диска массой dm будет источником силы инерции, направленной по радиусу от центра диска и рав-

ной dj = dmm2r (фиг. 2.2.1).

Фиг. 2.2.1

В силу симметрии действующих сил, напряжения будут рас­ пределяться симметрично относительно оси вращения диска, и их величины будут зависеть лишь от координаты г. Толщина диска Н также является функцией только г.

25

Получим условие равновесия элемента abed (фиг. 2.2.1). На этот элемент действуют усилия Т и R, а также сила инерции

d j = drmо2г = — hr dm dr u>8г. g

Здесь 7 — объемный вес материала диска.

Напряжения по граням этого элемента показаны на фиг. 2.2.2.

Усилия в тангенциальном направлении равны между собой:

Т — st h dr.

Усилия в радиальном направлении различны:

R — orhrdm\ R + dR = ar hr dy + d(orhr) dy.

Напишем уравнение равновесия элемента, приравняв нулю сумму проекций всех сил на биссектрису утла fib:

R + dR - R - 2 Г sin ^ + dj = 0.

2

Подставляя сюда значения усилий R и Т и учитывая, что

sin fifep dy

2

получаем

d (or hr) d's — at h drdo + — hr dv drm2r =» 0. g

26

После деления на dr dy будем иметь!

Это выражение является дифференциальным уравнением рав­ новесия элемента диска переменной толщины.

Условие равновесия дает лишь одно уравнение для определе­ ния напряжений ог и а( . Поэтому обратимся к рассмотрению деформаций. Вследствие симметрии деформация диска может быть выражена через радиальное перемещение и его точек, при­ чем это перемещение будет зависеть только от координаты г данной точки. На фиг. 2.2.3 показано положение элемента до деформации abed и после деформации a'b'c'd'. Точки окружности радиуса г получили перемещение и, а точки окружности радиуса г rd — перемещение и--\-du. В результате деформации отно­ сительное удлинение в радиальном направлении равно:

Е

(Ь + 1“ г).

1 - Р 2

выразим напряжения через перемещение и и таким путем сведем задачу к определению одной неизвестной величины и. Выражения для напряжений принимают вид:

Подставив эти значения напряжений в уравнение равновесия (2.2.1) и произведя некоторые преобразования, получим диффе­ ренциальное уравнение для перемещения и:

27

Считая толщину диска известной функцией радиуса h — h(r), можно найти радиальное перемещение и = и ( г ) , а затем и напря­ жения ог и at . Постоянные интегрирования определяются из гра­ ничных условий, соответствующих конкретной задаче. Дифферен­

Общее решение уравнения (2.3.4) получается путем добавле­ ния частного решения данного уравнения к общему решению со­ ответствующего однородного уравнения, имеющего вид:

Частное решение уравнения (2.2.4) будем искать в виде:

и — Сг3.

Подставляя его в дифференциальное уравнение (2.2.4), нахо­ дим коэффициент С:

с — b u i i x . ! .

8е е

Общее решение дифференциального уравнения (2.2.4) при­ нимает вид:

Используя формулы (2.2.2), получаем общие выражения для

28

Произвольные постоянные А и В определяются из условий на цилиндрической поверхности диска. Для диска с отверстием (фиг. 2.2.4) при отсутствии сил на его поверхности имеем:

аг ~ О при г = Ь.

В развернутом виде эти условия имеют вид:

Решая эту систему относительно А и В, находим

29

Для случая, когда радиус отверстия а очень мал, вторым членом можно пренебречь:

шах з, = ^ + ' чро2Ь2.

4g

Распределение напряжений в диске с отверстием показано на фиг. 2.2.4.

Получим напряжения для диска без отверстия. Так как в цен­ тре диска (г — 0) перемещение и равно пулю, то постоянная В должна быть равна нулю. Постоянная А определяется из усло­

вия па внешнем контуре диска:

Подставляя значения постоянных в формулы для напряжений,

Сравнивая значения тахз, для сплошного диска и для дис­ ка с небольшим центральным отверстием, замечаем, что вслед­ ствие концентрации напряжений з, на краю отверстия получает­

ное для диска постоянной толщины, показывает, что не все части диска напряжены одинаково. Наиболее напряженными являются те части диска, которые расположены ближе к оси вращения. Для более рационального использования материала, а также в целях экономии веса толщину диска следует брать переменной, усиливая его в наиболее напряженной части. Наиболее рацио­ нальной будет такая форма профиля диска, которая обеспечи­ вает одинаковую напряженность материала в любой точке дис­ ка. Найдем закон изменения толщины h = h(r) для равнопроч­ ного диска, у которого ar = at = a = const.

30

В этом случае уравнение-(2.2.1) принимает вид:

После преобразований получаем

dh 7

'г dr.

h g°

Интегрируя это уравнение, находим закон изменения тол­ щины:

7gi

где h0 — толщина диска при г = 0.

Профиль равнопрочного диска, построенный согласно послед­ ней формуле, показан на фиг. 2.2.6. Для крепления диска к валу на диске делаются специальные приливы, например, такого типа, как показано на рисуцке.

Равнопрочный диск имеет некоторые кон­ структивные недостатки. Иногда толщина ho получается слишком большой. Кроме того, отсутствие центрального отверстия приводит к необходимости создавать специальные кон­ струкции для крепления диска к валу.

Вообще расчет дисков переменной толщи­ ны сопряжен с математическими трудностями, возникающими при интегрировании дифферен­ циального уравнения. В ряде случаев задача расчета дисков может быть решена лишь приближенными методами.

2.3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ДИСКЕ

Определим напряжения в диске с отверстием, если известно распределение температуры в диске, которое считаем симметрич­

воспользовавшись законом Гука, составим выражения для отно­ сительных удлинений:

Е

s<= — (3f - | * 3r) + *Т-

Е

31