книги из ГПНТБ / Касаткин В.Н. Азбука кибернетики
.pdfКогда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих предположений.
Какое место на чемпионате заняли Наташа, Рита, Майя и Лида?»
Итак, нам даны некоторые высказывания (пред положения о результатах чемпионата), и необходимо найти такие высказывания, которые будут ответом на вопрос задачи.
Если в обычной алгебре ты при решении задач буквами обозначал числа (известные и неизвестные количества), то в алгебре высказываний буквами мы будем обозначать высказывания.
В этой задаче высказывания обозначим так: «Первой будет Наташа» — это высказывание обо
значим через Нь
«Майя будет второй» — Мг.
«Рита займет четвертое место» — Р4 и т. д.
Первый болельщик высказал предположение, ко
торое является |
сложным |
высказыванием. |
Формула |
||
его такова: Н 1М |
2 . Это предположение впоследствии |
||||
оказалось |
ложным, то есть Н 1М2 |
= 0. |
|
||
Но в |
условии |
задачи |
сказано, |
что либо |
Н 1 = 1, |
либо М2 = 1, поскольку этот любительспорта был прав в одном из своих предположений и или Наташа заняла первое место или Майя — второе.
Эту мысль можно |
выразить высказыванием: |
Н1М2 |
+ Н1М2— 1 (1) |
Рассуждая таким же образом, составляем форму лы высказываний для второго и третьего болель щика:
6Э
Л2Р4 |
+ Л2Р4 |
= 1 |
(2) |
Н2 Р3 |
+ н 2 Р3 |
= 1 |
(3) |
Эти формулы можно назвать логическими урав нениями — они содержат высказывания, для которых мы разыскиваем их значения (истинность).
Высказывания (1), (2) и (3) правильно отража ют события на чемпионате — именно так все там и происходило. Если из этих грех высказываний обра
зовать логическое произведение, то оно будет истин ным.
Так и поступим. Вот это произведение:
(Н1Мг+Н1М2)(Л2Р4+Л2Р4)(Н2Р3+
н2р3) = 1
Умножим сначала вторую скобку на третью.
Лг Р4НгР3+Л2Р4Н2Р3+ Л2Р4Н21+
Л2Р4Н2Р3= 1
61
Первое слагаемое
Л2Р4 Н2 Р3= 0 т.к. Л2 Н2 = 0
— на втором месте Наташа и Лида одновременно не были.
Четвертое слагаемое
также ложно (равно 0), ибо
Р 4 Р3 = 0
так как Рита заняла какое-то одно место, а не два одновременно.
Исключая эти высказывания, получаем: |
|
|
Л2Р4П2Рз + Л2Р4 |
НгР3=1 |
(4) |
Уравнение (4) умножим |
на уравнение |
(1). |
Н М Л 2Р4 Нг Р3+ н м Л 2Р4Н2Р3+
Н М Л 2 Р4 Н2 Рз+Н 1М2Л2Р4 Нг ^ = 1
62
В этом сложном высказывании нулю равны (лож ны) второе, третье и четвертое высказывания. (Объ ясни почему.)
Первое высказывание истинно:
Н1М2Л2Р4Н2Р3 = 1
Прочтем его:
Н 1 = |
1 |
— |
«Наташа займет первое место». |
||
Лг = |
1 |
— |
«Лида |
займет второе |
место». |
Рз = |
1 |
— |
«Рига |
— третье». И |
Майе остается |
последнее — четвертое место.
Теперь необходимо обязательно проверить, соот ветствует ли решение задачи условиям ее. Определи, кто из болельщиков что угадал.
А вот задача, при решении которой ты сможешь проверить, научился ли ты решать логические задачи:
«При составлении расписания уроков в школе учи тель математики просил, чтобы его урок был первым или вторым; историк мог давать либо первый, либо третий уроки, а преподаватель литературы — только второй или третий.
Как следует составить расписание чтобы удовле творить требования всех учителей? Сколько вариан тов расписания может бытьР»
Еще задача:
«Совершено убийство. Подозрение пало на троих: Брауна, Джона и Смита. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления;
БрлОД . Я НЕ ДЕЯДЛ ©ТОГО.
Д^гой Не дйядя ©того.
63
Х ^ о г 7 : Б р д у й № Д Ё 5 Л 5 Т э 7 о Г о . Э - г о с д г Ё л д д г С м и т .
Смйт: Я 1гв ^ЕУтдл этого.
Эго едслдл Кр^ул.
б протоколе было указано, что один из подозревае мых всеми уважаемый старик и он оба раза сказал правду, второй известный мошенник и он оба раза солгал, третий подозреваемый ничем не примечатель ный житель города, и одно из его высказываний было истинным, а второе ложным».
Попробуй, не привлекая других данных из прото кола, выяснить, кто совершил убийство, как звали всеми уважаемого старика, как звали мошенника и ничем не примечательного жителя города?
Но не только для решения задач можно исполь зовать алгебру высказываний. Вот еще одно ее при менение.
Наблюдатель рассматривает числа, записанные на длинной бумажной ленте, медленно проходящей пе ред ним. У наблюдателя имеется инструкция, в со ответствии с которой он должен вычеркивать некото рые из чисел, записанных на ленте.
Вот эта инструкция:
«Вычеркивайте числа, которые одновременно де лятся на 3, оканчиваются нулем и имеют сумму цифр, большую 31. Необходимо вычеркивать и те числа, которые не делятся на 3, оканчиваются нулем и сум ма цифр не превышает 31, или же те числа, которые оканчиваются нулем и делятся на 3, но сумма цифр в них менее 31. Необходимо вычеркивать и числа,
64
оканчивающиеся нулем, с суммой цифр большей чем 31, но не делящиеся на 3. И наконец, это последнее требование инструкции, вычеркивайте числа, крат ные 3, не оканчивающиеся при этом нулем и сумма цифр которых больше 31».
Не правда ли, длинная и запутанная инструкция? Попробуем составить формулу этой инструкции, этого весьма сложного и запутанного высказывания.
Пусть высказывание —
5 5 ^ 4 С Л О Д Е Л И Т С Я Я д 3 ' А
От п е л о
^№ 0 ИВГ-ЕСЙТ
-Ц-Ифр,-ВОлъйую 31^ - С
Тогда формула сложного высказывания инструк ции имеет вид:
Я,=АВС+АВС+АВС +АВС+АВС
Попробуйте ее теперь упростить. Если ты все сде лаешь верно, то ответ будет таким:
ЗС2=В+АС
5 В. Касаткин
Прочтем эту новую инструкцию:
«Вычеркивайте числа, оканчивающиеся нулем, или числа, кратные 3, с суммой цифр, большей чем 31».
В том, что высказывания X : и Хг эквивалентны, убедись с помощью таблицы истинности.
Не правда ли, интересное применение новой алгеб ры? От запутанной инструкции к очень краткой и понятной. Прочти еще раз эти абзацы.
Такая перефразировка мысли имеет специальное название — м и н и м и з а ц и я . Минимизация — большой и важный раздел алгебры высказываний. Следует обязательно познакомиться с лучшими спо собами минимизации, их существует несколько *.
* Смотри приложение.
66
РАССКАЗ КИБЫ
ТЖогическне задачи — твердый орешек! Действительно, алгебра высказываний помогает их
решать, но все равно это нелегкие задачи.
Вот их-то, думал я, не сможет решать машина. Разве это ей доступно?
И вдруг я слышу новость — такая машина есть, устройство для решения логических задач изготовле но. И кем, вы думаете? Ребятами! Да, два юных лю бителя кибернетики из Ялты, Слава Воскресенский и Витя Компаниченко, построили автомат для реше ния логических задач. И первую задачу, которую их
автомат решил, и была |
задача, |
приведенная |
в « А з |
буке кибернетики» в |
начале |
3-й главы, — |
задача |
осоставе экспедиции.
Япоехал в Ялту, чтобы убедиться в том, что та
кое «чудо» есть.
Да, есть, я видел их машину — это белая с крас ным, красивой формы пластмассовая модель.
А внутри — шаговый искатель и электромагнит ные реле. Просто.
Обозначай данные в условии задачи высказыва ния буквами и с помощью телефонного диска вводи условие в машину.
Через мгновение ответ готов.
Я был поражен и обрадован. Замечательно! Ребя та увлеченные и старательные. Только таким под си лу большие результаты.
Не удержался, спросил, над чем они работают сейчас.
— Подумываем над автоматом для распознавания образов — это увлекательная проблема. Может быть, и мы что-нибудь интересное сможем сделать, — отве тил мне Витя Компаниченко.
б* I |
67 |
И они сдержали слово — через год я слышал, как академик Андрей Николаевич Колмогоров хорошо отозвался об их проекте небольшого распознавающего автомата — они выступали с докладом на очеред ной конференции Малой академии наук.
Счастливого пути, юные искатели!
Все, чем ты занимался до сих пор, могло казаться уебе весьма далеким от создания автоматов. Сей
час ты убедишься, что это не так.
Пора брать в руки паяльник. Ты почувствуешь, как голова помогает рукам, ты узнаешь, как алгебра высказываний используется при создании «умных» машин.