книги из ГПНТБ / Касаткин В.Н. Азбука кибернетики
.pdfоказывание, |
которое |
называется о т р и ц а н и е м дан |
|||||||
ного |
и |
обозначается |
той же |
буквой, |
что_и данное, |
||||
но |
с |
чертой |
над |
буквой. |
(Читается А — «А с |
||||
чертой».) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведем примеры: |
|
|
|
||||||
|
|
|
„ П е г |
# |
б у д |
е |
т |
|
|
|
|
|
|
д й Ж у р Ь г ь г т т “ - А |
|||||
|
|
|
« Пе т ж Н е б у я е т |
||||||
|
|
|
|
,Д Е * У р г - Г Ы Т 1 а - А |
|||||
|
|
|
.. З л з т р д |
|
|
|
|||
|
|
|
|
П 'ЕТВЕрГ " В |
|||||
|
|
|
•ч |
З к |
в |
г р д |
|
|
~ |
|
|
|
|
ЬГЕ |
П Р Т В В р Г |
- |
и |
||
Если данное высказывание истинно, то отрицание |
|||||||||
его ложно, |
и наоборот. |
|
|
|
|
„ Т р и ж д ы т р ' и г
рдвйо семЛг6А- О
„Н е в е р н о , Т т о
трижды Три£
Р Д В ^ О С Е М И ^ А = I
Все это отражено в таблице истинности операции отрицания:
Придумай несколько высказываний, образуй их отрицания. Попробуй образовать отрицание первого отрицания и сравни его истинность с данным выска зыванием.
Ф ОРМ УЛЫ СЛОЖНЫХ ВЫ СКАЗЫВАНИЙ
11Жростые |
высказывания |
могут |
участвовать не в |
од- |
||
■ "“ ной, а |
в |
нескольких операциях. Рассмотрите |
сле |
|||
дующее высказывание: |
|
|
|
|
||
„ 5Г т т с п а д у . в Д в т о Г у с В |
|
|||||
И Л И |
В |
|
|
- |
|
|
и до д ороге |
ц о Ь и |
|
||||
|
|
Т 7 Ш |
к н |
и г у |
4<. |
|
Легко увидеть те три высказывания, из которых |
||||||
создано данное сложное высказывание: |
|
|
||||
А у Я |
ц о е д у |
в я в т о в у с е "': |
|
|||
В Д О Й Д У В Т р А Г Ш Д Е “ |
|
с - „ Д о д о р о Г Д д о С щ т д ю
книгу “
41
Предложение «А » и предложение «В » образуют логическую сумму — «А + В». Третье простое вы сказывание «С » вместе с высказыванием А + В обра зует логическое произведение
(А +В )-С
Полученное сложное высказывание можно теперь записать так:
"х =Га + в )-с
Еще пример:
Яй -й д в я ш й г е з г * 4/
Если |
высказывание « Р е ч к а |
д в и ж е т с я » |
обо |
||||
значить |
через |
«А », |
то |
высказывание «Р е ч к а |
не |
||
д в и ж е т с я » |
будет |
отрицанием |
данного и |
должно |
|||
быть обозначено через «А ». |
|
|
|
||||
Все |
высказывание |
« Р е ч к а |
д в и ж е т с я |
и |
не |
||
д в и ж е т с я » |
запишется |
в виде |
формулы: |
|
|
А
Высказывания могут быть очень сложными. Вот несколько формул таких сложных высказываний:
X =л в |
л |
|
X |
- (А |
В С) А |
X |
=(А+ В С) В |
|
Предлагаем |
выполнить упражнение |
Даны высказывания: *
И й Т # В Д К Т т з ^ в т о в у о я - Л . * 6
5 , П в г # ^ т-з е г К Ш г у - В “
55 1 г е т $ г З э д е в и < ? г ь г в н Е т - С 6<
Зная эти обозначения, попробуйте прочесть сле дующие высказывания, заданные в виде формул:
X - А В С
Х= А ’ В)-С
Х= А В *С X А В С
X - А В С |
43
Посмотри, как это можно сделать на примере. Пусть дано высказывание:
З Г =А В С
Вот как можно расшифровать формулу данного вы сказывания:
„П & Т Я - &Е Е Д Е Т В /1 8 ТО-
в Т с в и ; ь № й ц е в 1 1 е т ы в д д г ,
Чм ' г д к х к в г и ц г сс.
£щ е одно небольшое упражнение
Составьте формулу для высказывания:
Э З ^ В Е Р И О , § Т О 1^В^Г5Г
.ЕДЕТ В ЗСВ^ОБ^ОЕ
кй д е в к е т ь Е в д н т и
Х=АС
Нужно хорошо научиться уверенно и безошибочно составлять формулы сложных высказываний.
44
ТАБЛИЦЫ ИСТИНЫ И ЛЖИ
Л^Ще раз возвратимся к задаче определения истин ности сложных высказываний. Пусть какое-ни
будь сложное высказывание дано нам в виде фор мулы:
Это высказывание есть логическая сумма выска зываний «А » и «В».
Рассмотрим таблицу:
п а и м
ОШ ВО]
Наше данное сложное высказывание «X » трижды равно «1», то есть истинно, и только один раз ложно
(при А = 0 и В = 1).
Такие таблицы составляются для выяснения ис тинности самых сложных высказываний, заданных в виде формул. Эти таблицы принято называть таб лицами истинности.
Составьте таблицу для высказывания:.
45
В этий таблице будут такие колонки:
Постарайтесь ответить на вопрос: при каких зна чениях А и В все данное высказывание У ложно?
Что ты можешь сказать об истинности таких сложных высказываний:
к
У =В В
Это примеры особых высказываний. Первое из них тождественно-истинное, а второе — тождествен но-ложное.
Первое высказывание всегда истинно, независимо
от того, |
что означает «А », — |
его истинность опреде |
ляется |
не смыслом, не содержанием высказывания |
|
«А », а |
тем, как построено все |
высказывание «X ». |
Такие высказывания можно |
в формулах заменять |
|
единицей — «1». |
|
45
Второе |
высказывание всегда |
ложно, |
и это тоже |
не зависит |
от того, о чем идет |
речь |
в высказыва |
нии «В». Такие высказывания мы будем обозначать нулем — «О»,
СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Ж# аждая из рассмотренных нами логических one- * раций алгебры высказываний обладает определен*
ными свойствами.
Логическое сложение, например:
А+ В = В+А
—от перемены порядка высказываний истинность их логической суммы не меняется.
(Это переместительное свойство, как и у обычно* го сложения.)
А+ (В + С) =(А +В)+С
—а это сочетательное свойство — оно также имеется и у обычного сложения,
А+ А +А + ... + А = А
—а это уже необычное свойство: истинность сум мы не меняется, если высказывание повторить не сколько раз.
47
1 + 1 = 1
А + 0 = О
— проверь с помощью таблицы истинности.
Авот сводка свойств логического умножения:
АВ = В А
А( Б С Ы А В ) С
А • А ■А . . . А = А
А • 1 = А
А - 0 = 0
А это свойства операции «отрицание»:
48 |
ь |
А = А; А+А= 1; А • А = 0
Все три операции связаны между собой распреде лительными свойствами; как и в обычной алгебре, умножение (логическое) обладает распределительным свойством относительно сложения (логического):
А (В+С)= АВ+АС
Но в алгебре высказываний имеется «чудо». Ока зывается, что распределительным свойством облада ет и логическое сложение относительно логического умножения:
а + в с = ( а + в )(а + с )
Чтобы убедиться в этом, составим таблицу истин ности. Вот как она выглядит для данного случая:
4 В. Касаткин |
49 |