книги из ГПНТБ / Касаткин В.Н. Азбука кибернетики

Д в с ва д+вс д-в 1 1

10

то 1

4 0 О

0

0 1 О

0О

ОО О

Заполни эту таблицу и сравни 5-ю и 8-ю колон­

и другим. Эквивалентные высказывания можно соеди­ нять знаком. « = » .

Это важный тип высказываний.

Рассматривая свойства логического умножения, ты уже, наверное, заметил, что оно обладает всеми свойствами «умножения чисел». Одинаковость в свой­

50

«Отрицание логического произведения двух выска­ зываний эквивалентно логической сумме отрицаний &тих же высказываний».

Вторую формулу прочти самостоятельно.

Помни, что число простых высказываний, участ­ вующих в таких формулах, может быть большим, не­ жели два:

АВСД... К=А+ В+С +Д+...+К

А + В+ + К = АВС • • • • К

Следующие формулы упрости так, чтобы в полу­ ченных формулах не содержались отрицания слож­ ных высказываний.

Х - А В + В

2 = А С + В С

52

КТ с л о ж н о г о К ПРОСТОМУ*

ЖЖтак, ты познакомился с основными свойствами операций «логическое сложение», «логическое

умножение» и «отрицание». Как же их можно ис­ пользовать?

Прежде всего формулы сложных высказываний можно рассматривать как своеобразные многочлены алгебры высказываний, и, как в обычной ал­ гебре, с этими многочленами можно проводить все действия.

Но так как в алгебре высказываний свойства опе­ раций не совсем совпадают со свойствами обычной алгебры (вспомни, например, что имеется второй рас­ пределительный закон А + ВС = (А + В). (А + С), то и преобразования формул будут несколько своеоб­ разными.

Прежде всего следует научиться упрощать форму­ лы сложных высказываний. Что значит у п р о щ а т ь ?

Условимся под упрощением понимать такое преоб­ разование данной формулы, в результате которого формула должна содержать как можно меньше букв и не содержать отрицаний сложных высказы­ ваний.

Вот как это делается — рассмотри несколько при­ меров.

* Смотри также и приложение.

53

X = А + АВ, то есть пример, рассмотренный только что. Следовательно:

Формулы (1) и (2) следует запомнить — иногда упрощение, проводимое по этим формулам, называет­

ет другие слагаемые, в которые оно входит сомно­ жителем, — так можно раскрыть содержание фор­ мулы (1).

Попробуй аналогично раскрыть содержание фор­ мулы (2).

Еще две полезные и часто используемые при упро­ щении формулы:

54

(3)

(А+В)(Д+В)=А

Доказательство справедливости этих формул про­ веди сам — это можно сделать, привлекая таблицу истинности. Упрощение, проводимое по этим форму­ лам, часто называется с к л е и в а н и е м .

Упрости:

Х= АВ+А X =АВ+АВС

ЗС=А+АВ ЗС =А +АВ +В

ЭС=АВ + А ЭС=АВС+АВС+ Х=А+ДЙ АВС+АВ

Сверь свои ответы с данными в конце книги.

55

РАССКАЗ КИВЕРА

*Л то событие произошло в Стрелецкой бухте, вблизи развалин древнего города Херсонес.

Здесь под Севастополем расположился лагерь Ма­ лой академии наук школьников Крыма «Искатель». Вместе с математиками, физиками, химиками и аст­ рономами в лагере отдыхали и занимались юные лю­ бители кибернетики из различных городов Крыма.

Как всегда, лагерный сбор завершался научной конференцией — подготовили свои сообщения и ки­ бернетики.

— Предлагайте любую формулу, возможную в ал­ гебре высказываний, и наш автомат ее упростит, — такими словами начала свое сообщение действитель­ ный член МАН ялтинская школьница Оля Коробицша.

Как, удивился я, разве можно такую работу, где требуется немало смекалки и опыта, поручить машине?

Да, оказывается, можно, Оля убедила всех в ре­ альности предлагаемого проекта, который она разра­ ботала вместе со своей подругой Людой Корчагиной.

— Жаль, что нам не удастся построить этот авто­ мат, — продолжала Оля, — мы уходим из школы, но, может быть, найдутся ребята и смогут его изго­ товить.

И автомат изготовлен. Недавно я был на ВД Н Х в Москве и видел в действии этот автомат. Его изго­ товили симферопольские восьмиклассницы Люба Буд­ никова и Вера Костина.

Такого автомата еще не делал никто. Это удиви­ тельный автомат — ведь за формулой алгебры выска­ зывания скрывается умозаключение, иногда очень сложное, — и автомат помогает его высказать более кратко и четко. Машина, помогающая выражать мысль, — отличный успех юных кибернетиков.

53

IIервым применением алгебры высказываний, с ко­ торым ты познакомишься, будет решение логиче­ ских задач и анализ некоторых простейших умоза­

ключений.

Обычно решение логических задач требует немало смекалки — алгебра высказываний облегчит тебе ик решение.

Г л ав а

Он записал предположение, что командиром ко­ рабля будет Сергеев, Матвеев не будет физиком, а Алексеев, утвержденный радистом, командиром ко­ рабля быть не может.

Позже выяснилось, что только одно из этих ут­ верждений оказалось верным.

Какие обязанности на корабле выполняли Сергеев, Матвеев и Алексеев?»

Эту задачу мы предлагаем тебе решить самостоя­ тельно.

Решил?

А теперь познакомься с тем, как решают такие задачи с помощью алгебры высказываний.

КТО ЧЕМ ПИОН М ИРА?

Еще одна задача: «Идет чемпионат школы по гим­ настике. Болельщики горячо обсуждают ход борьбы и высказывают немало предположений о будущих победителях.

Один из любителей гимнастики считает, что пер­ вой будет Наташа, а Майя будет второй.

Другой из болельщиков на второе место прочит

•Лиду, а Рита, по ею мнению, самая слабая — ей он отводит четвертое место.

Третий любитель спорта с ними не согласился.

Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

59