книги из ГПНТБ / Касаткин В.Н. Азбука кибернетики

А ЛГЕБ РА ВЫСКАЗЫВ АИИ Й

Ж>азве есть такая алгебра?

* Да, есть. Среди многих и многих алгебр есть и . алгебра высказываний. И эта алгебра оказалась весь­ ма важной для кибернетики.

над чем в этой алгебре проводятся действия, опе­ рации.

Нет. Конечно, не любые.

ЪСЪРШ)Зуют<?$1 ТОЛЬКО ■угбЕР'

Дитвлыгьгя выс*;я(Зьгвл1ТИ91

П л р \4 этом"'агийото$геТО14с-

этцбо ТоТьГо ЖсЖ&ЪТВ. .

Примеры высказываний, являющихся объектами нашей алгебры: .

А т г З д р о Н в д я д Ъ Я и Ъ о м

ВСЁГДЛ СЛЕДУЕТ

ЗО С ' К р Е С й Й Ъ Е

Ъ- ^ ц Ъ ю три —

ДВ А Д Ц А ТЬ ОДИН

В7,ЛЁВадЬ-зСиЩНл я

НТ И Ц т * -

ГХ^.М-ИХМЗСОВ - СО ;

ВЙ Т с К У Й П И С А Т Е Л Ь .

Вшкольной алгебре буквами обозначались числа (те, кто учится в 9-м классе, знают, что буквами можно обозначать и векторы). Мы же буквами будем обозначать высказывания — объекты нашей алгебры высказываний.

Чему равны высказывания В и Г?

Нужно хорошо разбираться в том, какие выска­ зывания могут использоваться в алгебре высказыва­ ний, а какие нет.

Тренировочное упражнение

Среди следующих высказываний найдите сначала те, которые являются «нашими», а затем укажите из них истинные.

Ь2

днлмтся иа У

БЕЗ ОСТЛПСН“.

Б >ДожДЛуЙСТА5 ЯЕ курктя“

-ееё х - & = ± 1 “

Г -есЙЕХ^Л^ ВрлЩПЕТСЯ

ЕоКруГ сваей оси

Д-^Слойъг водится _ в ДфрМКЕ и Шгдик.

Е фГ-СоторъШ <Ьас?йс

жг,Лвтором ром лЯ к

т,Ти^й доы4‘явл>1- втсрг: ДлЕЙсйвГдр

ШолоХоз*с.

Все рассмотренные утверждения будем называть простыми, в каждом из них речь ведется 'об одном событии (истинном или ложном, но только об

одном).

В алгебре высказываний рассматриваются и со­ ставные, сложные высказывания, образованные из простых.

Вот мы и разобрались в том, над какими из все­ возможных высказываний, употребляемых людьми,

валгебре высказываний будут проводиться действия. Действия над высказываниями. Какие?

Это будут действия: сложение, умножение и от­

рицание.

ПРЕДЛОЖЕНИЯ МОЖНО УМНОЖАТЬ

Ж?от это неожиданно! Да разве можно умножать что-нибудь, кроме чисел? Математики утвержда­

ют: да, можно. (Кто из читателей учится в 9-м клас­ се, тот согласится с этим, ведь ему уже знакомо ум­ ножение не чисел — векторов.)

А в алгебре, с которой ты начинаешь знакомить­ ся, можно умножать высказывания. Как же можно перемножить два высказывания?

казалось бы, работы называются одинаково.) Составное высказывание, которое получается пос­

ле соединения двух данных с помощью союза «И»,

интересно знать, как зависит истинность логического произведения от истинности входящих в него простых

Разве это предложение истинно? Конечно, нет.

34

I I

го

О I

о о

Это таблица истинности логического произведения высказываний А и В. В ней указано, как зависит истинность произведения АВ от истинности простых высказываний А и В.

Логические произведения могут включать не два, а большее число высказываний. И в этом случае про­ изведение бывает истинным только тогда, когда ис­ тинны все входящие в него простые высказывания —» сомножители.

д $ п т 1 Л с е в е р е “ .

С“Л К 1 в Н Е СОВВрША -

ют перелетов

36

КАК СКЛАДЫВАЮ Т ВЫСКАЗЫВАНИЯ

ЖЛсли два высказывания соединить союзом «И ЛИ », л "“то образованное сложное высказывание можно на­ звать л о г и ч е с к о й с у м м о й .

Пример:

А- 5,СЕГодк51 Я эКЯУ

вгости Петю “.

В"„Сегодня Я ЖДУ

в гости ВЯШо.

Полученное сложное высказывание и есть логи­ ческая сумма, и обозначается она обычно:

Пример еще одной логической суммы:

„ С й Л Ь д Ъ г о д и т с я

-В Сйсдищ-Е

ИЛ И .

оЬ Д Е Л И Т С Я

37

Следует иметь в виду очень важное замечание, связанное с употреблением союза «ИЛИ » в грамма­ тике. Дело в том, что в грамматике союз «ИЛИ» употребляется в двух значениях. Это легко заметить, если рассмотреть два следующих составных выска­ зывания:

з - Д ю ь Г Ь м а с а д я И р О В Е Д У в Д Е -

р а в н е е ц з т и .

вг п ю Н в р а 1 с о 1 Ч '

«Х Л Г Е р Е 66.

;у р с & Е м о г у т

спросить

иш Пе т ю “

Впервом предложении союз «ИЛИ » употреблен

так, что подчеркивается мысль, что я могу быть либо в деревне, либо в лагере, но никак не в обоих местах одновременно. Союз «ИЛИ » употреблен в ис­ ключающем смысле — «ИЛИ - или», что-нибудь одно.

Такое употребление союза «или» не будет яв­ ляться операцией логического сложения.

Среди следующих высказываний найди логические суммы:

„ За КоЯтродЪЯуьо

р А Б О Т .У м й £ ц

„ Д О С Т А В Я Т 4 И]ГИ 3 .

38

„Когттд ЗНТРУ -

Б И Т г о р к и с т 9

др о с й е т Б й

ЧШ В д 1 ? г/ р

„Эту зядггёу

р Г О Ж Е Т Т Т Й й Г И Т Ъ Я д Т - Я -Т Г Н ЛЛП К яО Д “

Укажи, из каких простых высказываний образо­ ваны найденные тобой логические суммы.

Рассмотри таблицу и сформулируй ответ на вопрос: «Как от истинности простых высказываний зависит истинность их логической суммы?»

А В А+В

ОТРИЦАНИЕ

Если к сказуемому какого-либо высказывания присоединить частицу «Н Е » или ко всему высказы­ ванию слово «Н Е В ЕР Н О », то образуется новое вы-

33