книги из ГПНТБ / Касаткин В.Н. Азбука кибернетики
.pdfЗадача 13. А уто десятично-двоичный дешиф ратор:
Д ВЕ С Х Е М Ы В ЗАПИ СНУЮ КНИЖКУ:
Схема полусумматора:
*1
УС
А в
Вкя
Схема сумматора:
М2
ПРИ ЛО Ж ЕН И Е |
|
|
||
|
|
ГЕОМЕТРИЯ ПОМОГАЕТ |
||
|
|
(Один из способов минимизации) |
||
алгебре, |
высказываний |
формулы часто записы- |
||
Л 9 ваются |
в |
виде суммы |
произведений |
букв и их |
отрицаний. |
|
|
|
|
Несколько |
примеров так |
записанных |
формул:. |
|
X = АВС +АС +ВС ЭС= АВ + АВ З С = А + ВС
От любой формулы всегда можно перейти к таким образом записанной. Если данная формула содержит скобки, то их следует раскрыть:
х=(А+В)(А +с )=а с +а в +в с
или = А (В+С)= АВ+АС
Если формула содержит отрицания сложных вы сказываний, то, применив формулы А. Моргана, отри цания можно распространить только на отдельные простые высказывания.
143
Например:
X = АВС=(А+В)С=АС+ВС ЭС = АВС+АВ=А+В+С+АВ
|
и ДР. |
Таким образом (сумма произведений простых вы |
|
сказываний или их отрицаний) |
записанные формулы |
считаются записанными в |
д и з ъ ю н к т и в н о й |
н о р м а л ь н о й ф о р м е . |
|
Имеется еще и с о в е р ш е н н а я д и з ъ ю н к т и в |
|
н а я н о р м а л ь н а я ф о р м а |
(С Д Н Ф ) для записи |
формул сложных высказываний. |
|
Она от/шчается от нормальной тем, что каждое слагаемое в ней (слагаемыми являются произведения) содержит в с е простые высказывания либо их отри цания.
Пример:
я = а в с +а в с +а в с +а в с
ОС =АВ+АВ
144
А вот эта формула не является записанной
в С Д Н Ф :
АВС+АВС
В этой формуле в первом слагаемом нет высказы вания С, нет и его отрицания.
От всякой дизъюнктивной нормальной формы лег ко перейти к С Д Н Ф .
Рассмотрим на примере, как это делается. Пусть нам дана формула, не записанная в С Д Н Ф :
А+АВ
в
(В первом слагаемом |
нет ни |
В, ни В.) |
|
Поступаем так — первое |
слагаемое, в котором от |
||
сутствует буква |
В, |
умножаем на (В + В ) = 1, от |
|
этого значение X |
не изменится. |
||
ЭС=А(В+В)+АВ =АВ+АВ+АВ
Полученная формула уже записана в С Д Н Ф , ибо все слагаемые содержат все простые высказывания либо их отрицания.
Еще пример:
10 В. Касаткин |
145 |
ОС = АВС + АВ
Второе слагаемое, где нет ни С, ни С, умножаем на (С + С ) = 1.
Ж=АВС+АВ(С+С)=АВС+ АВС+АВС+ДВС
Итак, каждую формулу можно записать в С Д Н Ф . Минимизация любой формулы и начинается с того, что данную формулу записывают в С Д Н Ф .
Для каждого сложного высказывания, в соответ ствии с его формулой, можно построить геометриче скую модель.
Каждую формулу, в которой используются три простых высказывания, можно изобразить на трех мерном кубе. Куб помещают в начало пространст венной системы координат, оси называют теми же буквами, которыми обозначены простые высказыва ния данной формулы.
Дана формула:
ЭС=АВС+АВС+АВС+АВС
Вот как она изображается на кубе:
146
Еще один пример:
Ж=АВС+АВС + АВС
Как же используются для минимизации геометри ческие модели формул?
10* |
147 |
Пусть дана формула: X = А ВС + АВС. Геомет рическая ее модель такова:
т
ш
Отмечены две соседние вершины. Обращаем вни мание на то, что возможно склеивание по букве С. Тогда имеем X = АВ. Ребро с отмеченными верши
нами было параллельно С, |
и склеивание произошло |
по атой же букве. |
|
Каждому ребру можно |
приписать название. |
А
143
Пусть некая формула нанесена на куб — имеется три ребра с отмеченными вершинами:
Используем для записи формулы названия ребер:
0С=АВ+АС +ВС
Восстановим первоначальную формулу — формулу, которая заносилась на куб:
Х=АВС+ АВС+АВС+АВС
143