книги из ГПНТБ / Шляпоберский В.И. Основы техники передачи дискретных сообщений

любая кодовая комбинация, является образующим мнО' гочленом кода, то

Для рассмотренного выше примера минимальный многочлен для а есть т(х)=х* + х+\. Следовательно, в данном случае

Р (х) = т {х) = х* -|- х + 1.

Циклические коды, задаваемые с помощью корней образующего многочлена, получили название кодов Боуза — Чоудхури 1 ) . Ими доказано, что если среди кор­

значений кратности гарантийно исправляемых или об­ наруживаемых ошибок или, что то же, к определению

кодов, действительно обладающих этими свойствами, за­ висит от правильного выбора образующего многочлена.

Чтобы найти вид образующего многочлена, обеспечи­

340

в которой приведены минимальные многочлены до вось­ мой степени включительно.

Образующий многочлен находим из выражения

но определить нижнюю границу числа проверочных эле­ ментов группового (я, &)-кода, исправляющего пакеты ошибок длиной Ь. Обозначим через С число различных сочетаний ошибок в л-элементной комбинации, которые необходимо исправить. Тогда число проверочных элемен­ тов искомого кода г = п-—к должно быть таково, чтобы обеспечивалось неравенство 2 г ^ С + ' 1 .

341

кет из двух элементов, состоящий .из двух единиц, мо­ жет занимать одно из п—1 возможных положений, а оди­ ночная ошибка — одно из п положений. Из сказанного следует, что

С = п+ 1 + £ 2 ' ' - 2 (n — i + 1).

1=2

Используя формулу для арифметическо-геометриче- ской прогрессии, данное выражение можно преобразо­ вать к виду

С = 2b~l (д — Ь + 2) — 1.

Отсюда

Логарифмируя это выражение, получим r > ( 6 - l ) + l o g ( * - b + 2).

Таким образом, наименьшее число проверочных эле­

Из всех известных в настоящее время избыточных ко­ дов специально предназначенными для исправления па­ кетов ошибок являются коды Файра, которые являются циклическими и образуются посредством многочлена вида

q(x)=P(x)(xe+\),

где Р(х) — неприводимый многочлен степени г, являю­ щийся сомножителем разложения бинома х1+1 =

= х 2 - ' + 1 .

') В пакете ошибок два крайних элемента всегда единицы.

342

Длина кодовой комбинации п равна наименьшему

ночный пакет ошибок длиной Ь и менее и одновременно

ды только для обнаружения ошибок, то можно обнару­ жить любой одиночный пакет ошибок, длина которого

код исправляет пакет ошибок, состоящий из двух эле­ ментов, т. е. смежную двойную ошибку в кодовой ком­ бинации. Рассмотрим корректирующие возможности ко­

длиной 4 или 5 или 6 элементов. Используя этот же об­ разующий многочлен, можно построить и укороченные коды Файра с большей избыточностью, например, коды

к числу блочных кодов, в которых кодирование на пе­ редаче '(формирование проверочных элементов) и деко-

343

дироваыие на приеме (обнаружение и исправление оши­ бок) выполняются в пределах каждой кодовой комбина­ ции (блока) в отдельности. Наряду с блочными кодами разработаны и получили распространение коды, в кото­ рых кодирование и декодирование представляют собой операции, непрерывно совершаемые над последователь­ ностями элементов без деления их на блоки. Такие ко­ ды получили название непрерывных или рекуррентных [14, '66, 94]. Принцип построения этих кодов рассмотрим на примере цепного кода [108], который является самым простым из всех известных непрерывных кодов.

В цепном коде каждый проверочный элемент форми­ руется путем сложения по модулю 2 двух информацион­ ных элементов, отстоящих один от другого на t—k—i элементов, где 4 — шаг сложения:

di®ak = b.k ,

а каждый проверочный элемент формируется по двум информационным, то число проверочных элементов, сформированных за время Т, будет равно числу инфор­ мационных элементов, поступивших за то же время на вход кодирующего устройства. Поэтому избыточность цепного кода равна 1/2. В канал связи передается после­ довательность импульсов, в которой за каждым инфор­ мационным следует проверочный а, Ь, а, Ь, a, b и т. д.

Рис. 6.3. Формирование провар очных элементов цепного «одя

344

(Принцип декодирования принимаемой последователь­ ности импульсов и вытекающие из него корректирующие возможности цепного кода легко уяснить, проанализиро­ вав изложенный выше принцип формирования провероч­

и проверочных элементов определяет процедуру декоди­

точно так же, как формировались проверочные элементы

нятым из канала связи соответствующим проверочным

ных элементов, сдвинутых друг от друга на / элементов (7 — шаг сложения), указывает на то, что искажен ин­

') Информационные и проверочные элементы, принятые из ка­ нала связи, а также сформированные на приеме контрольные эле­ менты будем обозначать со штрихами (а', Ь', с').

345

b*b_i k ) - Наличие одного несовпадения контрольных й проверочных элементов указывает па ошибочный прием проверочного элемента.

^шаге сложения t вся последовательность пе­

••ч кой на (314-4) элемент.

^ч рис. 6.4.

346

ред передачей в канал связи задерживается на время

Рис. 6.5. Исправление пакетов ошибок цепным кодом

мированы проверочные элементы (рис. 6.56). Переда­ ваемая в канал связи последовательность элементов представлена на рис. 6.5е. Теперь предположим, что под действием помехи элементы принимаемой последо­ вательности искажены (обведены пунктиром, рис. 6.5г). Отделим информационные элементы от проверочных (рис. 6.55). По принятым информационным элементам а' сформируем, контрольные элементы- с' (рис. 6.5э/с). Со-

347

приняты искаженными, так как проверочные и контроль­ ные элементы, расположенные влево и вправо на шаг

(г=-2), указывают на то, что общие для них информа­ ционные элементы ая и а 9 искажены и их принятые зна­ чения необходимо изменить на обратные.

Таким образом, цепной код сравнительно просто, правда, ценой большой избыточности (1/3), позволяет бороться с групповыми ошибками в канале связи. Изме­ няя величину шага сложения, можно согласовать ис­ правляющие возможности кода с характеристиками ка­ нала связи. Если в канале связи в данный момент пре­ обладают пакеты ошибки небольшой длины, то, выби­ рая соответствующий шаг сложения, можно увеличить допустимую частость ошибок. При наличии редких, но продолжительных пакетов ошибок шаг сложения сле­ дует увеличить. :Кроме того, аппаратуру щепного кода можно 'применять в любой дискретной системе связи не­ зависимо от числа элементов в комбинациях первичного кода.

Рекуррентные коды могут быть построены с любой сколь угодно малой избыточностью (Я = 1/п), т. е. так, чтобы на каждые а переданных элементов приходился всего один проверочный. Однако по мере уменьшения избыточности рекурретного кода резко возрастает слож­ ность кодирующих и декодирующих устройств и умень­ шаются его исправляющие возможности. Так, для кода (1/5), исправляющего до пяти информационных элемен­ тов, пораженных одним пакетом ошибок, требуется при­ мерно в пять раз больше элементов для построения ко­ дирующих и декодирующих устройств, чем для кода (1/2); величина защитного интервала также возрастает примерно в пять раз. Поэтому только специальные тре­ бования по уменьшению избыточности могут заставить отдать предпочтение коду '(1/я).

•К непрерывным кодам относятся 'Также так называе­ мые евёрточные коды £14]. В основу построения евер1

348

точных кодов положен принцип, согласно которому каж­ дый информационный символ, поступающий на вход ко­ дирующего устройства, вызывает появление на его вы­ ходе V элементов, образованных суммированием по мо­ дулю 2 данного символа и (/<—1) -го предыдущих. Пояс­ ним сказанное на конкретном примере.

Пусть кодирующее устройство представляет собой пятиразрядный двигающий регистр (/( = 5), выходы каж­ дого разряда которого поданы на 3 сумматора по мо­ дулю 2 (1/==3), как показано на рис. 6.6, и пусть посту­

ходов сумматоров, составят последовательность симво­

дет переписан во второй разряд), распределитель пере­ даст в канал последовательность символов 010. Третий информационный символ (1) вызовет передачу в канал последовательности 100. Затем будут переданы группы символов 001, 000, 011. После поступления на вход ре­ гистра последнего информационного символа подаются последовательно k нулей по числу разрядов регистра. В этом случае в канал связи будут переданы еще четыре группы символов: 011, 000, 000, 000.

Таким образом, информационная последовательность символов 10100 будет преобразована кодирующим уст­ ройством в последовательность у, состоящую .из 30 сим­ волов — 11101 ЮОООЮОООМОШООООООООО. В общем случае y=(L + K)V. Обычно информационная последователь­ ность состоит из большого числа символов, так что L>>/(. Поэтому применение рассматриваемого способа кодирования приводит к уменьшению производительно-

349