Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

22.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5230 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

290 ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

рывное по е, причем р (t, 0) = р° (t), q (t, 0) = ф (р° (/), t). Это решение условно асимптотически устойчиво относи тельно k + г-мерного многообразия начальных значений.

Если предположить, что правые части системы (3.21) и решение (р°, ф (р°, t)) соответствующей вырожденной системы — периодические (почти-периодические) по t, то, согласно теоремам 3.2 и 3.3, ограниченное решение (р, q) системы (3.21) также будет периодическим (почти-перио• дическим) по t.

§ 4. Интегральные многообразия линейной нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений

В настоящем параграфе исследуется вопрос о существовании и свой ствах условно асимптотически устойчивого интегрального многообра зия линейной нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений.

1. Существование	интегрального многообразия.			Рас
смотрим систему уравнений
/ІY
-ELr=A{t)x + B(t)y + h(t),
,				(4.1)
е ~ЧГ = С ^ У + ef (0* +
где X, h — m-векторы,	у,	Н — /г-векторы, А,	В, С,	F —
соответственно (т X т)-,		(т х п)-, (п X п)-,	(п X т)-мат-
рицы, е > 0 — малый параметр.
Пусть выполняются следующие условия:				*
1) функции А, В, h, С,		dC		*
1) функции А, В, h, С,		- Д - , F, Н непрерывны и ограни

чены на всей вещественной оси R;

2) собственные значения А/ матрицы С (t) удовлетворяют условию ReA/ с — (і = 1, ..., г), Re А/ >- а2 (/ = г + Ч- 1, ..., п), где аѵ а 2 — некоторые положительные посто янные.

При этих предположениях докажем теорему о существо вании интегрального многообразия системы (4.1). При до казательстве частично используется схема А. Халаная, примененная им для исследования интегральных много образий линейной нерегулярно-возмущенной системы с за паздывающим аргументом в устойчивом случае 1207].

	§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ		291
Т е о р е м а 4.1 [81. Пусть		относительно	системы
(4.1)	выполняются условия 1), 2).	Тогда существует такое
е0 >	0, что для всех значений е с	е0 система (4.1) имеет

т-параметрическое интегральное многообразие St, предста вимое соотношением вида

	y — ty(t, X, e)~zL(t, е) x + g (t, е),					(4.2)
где (п 'X	т)-матрица L и п-вектор g непрерывны по і и
	\ L ( t ,	е)\| <	М	8 )>	к(^, 8) \|< Х а(е),	(4.3)
причем	X,- (е)	О (і =	1,	2)	при е-*-0.	рассмотрим
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Прежде всего	рассмотрим
однородное уравнение
		8~~§~ — £ (0 9у				(4-4)

где матрица С (t), по предположению, непрерывна, ограни чена и имеет собственные значения, удовлетворяющие предположению 2). Тогда, согласно лемме 2.1 и замечанию 2.1, существует фундаментальная матрица Y (t) уравнения (4.4) такая, что для малых значений е матрица

\|У (/)РгУ - ‘ (5),	t> s ,	(4.5)
IY(t){Pr - I n) Y - x(z),		(4.5)
IY(t){Pr - I n) Y - x(z),		t < s ,
удовлетворяет неравенству	«>
\|У((,5)\|<КХ^''“"	«>	(4.6)

при всех вещественных t, s, где Pr = diag [Іг, 0], Ir, ln — соответственно (г х г)-, (п X л)-единичные матрицы.

Определим теперь две последовательности

L0 =	0, Ln(/, е) =			U (t, s) F (s) Xn-i (s, 0 ds,		(4.7)j
		oo	U (t, s) [F(о)
go =	g n	(t, e) = j			(a, t) + H (<r)] da
			J
		(n = 1,2, .. . ) .				(4.7),
Здесь Xn-i — матрица,			удовлетворяющая уравнению
		~ Р Г ~ = (A+ BLn_ x)				(4.8)

10*

292	ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

и условию Хп-1 (s, s) — I ml U (t, er) — матрица, определяе мая посредством выражений (4.5), и

Лп-1 (t, Ч) = I х п~IЦ, а) [В (а) g„_! (а, е) + h (а)] da

(« = 1 , 2 , . . . ) .	(4.9)
Исследуем сходимость последовательностей (4.7).
Обозначим I ■I = sup \| • \|. Так как из (4.8) следует, что

\|X0(s,OI<eß\|,-sl						(Р = ИІО-		(4Л°)
то из (4.6), (4.7)!,		(4.10) при
				е <	а			(4.11)
имеем				е <	2ß			(4.11)
имеем
I < 2	F К	I		+p)<'-s)ds <			4* DF II-г = гКх.
Предположим,		что такая			же оценка		верна и для	Ln—i'
			I L„_! I <			е/б2.
Тогда из (4.8) следует
I Х„_і I < <?№+*,) 1<-1						(у = 1В II).		(4.12)
Учитывая неравенства (4.6) и (4.12), получаем
\La\ < 2 K \ F \				‘ , ( - т +р+Т£К,)('_5)-
\La\ < 2 K \ F \							ds.
Пусть, кроме (4.11),			выполняется неравенство
е <	Y**			0 < Ѳ— const <				(4.13)
е <	Y**			J				(4.13)
Тогда
Поэтому имеем		ß 4- уе/С2 < (1 + 9 ) ß -						(4.14)
Поэтому имеем
\| T „ I < 2 K \| F \|	Jи	ev	8		1	ds*C
<2/C \|\|F\|\|				\ g(6-i) ß (t—s)ds			2/CpFD	Ë/C2,
<2/C \|\|F\|\|				\ g(6-i) ß (t—s)ds			(1 — Ѳ) ß	Ë/C2,
							(1 — Ѳ) ß

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕ МЫ

293

где

К 2= 4/СI /*" I) (1 — Ѳ) "‘а -1.

Следовательно,

\Ln\ < е К 2 ( * = 1 , 2 , . . . ) . (4.15) Оценим теперь разность Ln+i — Ln. Из соотношения

	0					а
Кп— Х^-і = УА (Хп					Хп—і) d u \ В (Ln— Ln_\) X ndu +
	1					t о
						-f- j* BLn^\ {Xn— Xn—i) du
вытекает неравенство						t
вытекает неравенство
					t
I X n— Xn—1	1■< (ß + YI LnI)					I Xn(uy t) — Хл—	1	(w, t) I du +
					а
					t
				+	y$n ]	I X n\du
			t		а	t
			t			t
< (1 +	Ѳ)ß			I X* -	X ^	I du + ybn f '+> P «-*ds <
		(T				(I
	t		J		„ _ l\| du+ (1^ p - e ( 1+e)ßl<- ffi, (4.16)
< ( l + 0 ) ß f \|			J		„ _ l\| du+ (1^ p - e ( 1+e)ßl<- ffi, (4.16)
		X n- X
где обозначено				ö„ =	\|\| Ln — Ln-\ \|\|.
Пусть
V (t) =				(1+ 6 )	p 1 * ~ ff 'I Xn ( в , t) - X n - i		( o , t) I;
тогда, в силу (4.16), находим
v ( t ) <				+ (1 + Ѳ) ß J г“ (І+Ѳ) 131 '- а 11				(и, t) -
								t
— Х„_,(ы, t)\du <						(1 ^ \| )B + (1 +		9)ß J v(u)du.
Применяя лемму Гронуолла—Веллмана,								получаем
					VÖ«	-. ßU+ö) Р I Г-s I
			*40 < - (1 + Ѳ)р

294	ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е				СИСТЕМЫ
откуда	следует
I Хп( о,і )~ Хп^		(а, і) і <		в*	Р "~М. (4.17)
Из (4.7)!, (4.6) и (4.17) находим
\|Ln+1- L n\|<2/C\|F!\|		j e	8	° \|X „ (a ,0 - X „ _ 1(a,0\|dcr<
		2^ f \| A _ Г ( - ^ a + e j ß ^ - a ,
		(1 + Ѳ ) ß J
Пусть				----СО
Пусть
тогда		е <	Ж	’-	(4Л8>
тогда

— T- + 2 ( l + 6 ) ß < -
и, следовательно,	2VC\|\|F\|T8B	3e
I Ln+\ LnI
	(J + 0)ß	(1 — 2Ѳ)а

или

б/г-j-i К3г8,

(4.19)

= К3гЬп,

(4.20)

Отсюда вытекает,	что для	е < 1//С3	последовательность
[Ln\ сходится.
Докажем сходимость последовательности (4.7)2. Так
как в силу (4.9) и (4.10) справедливо неравенство
К ( ст. 01 < - ^ е Р \|<~а\|,
то, учитывая (4.6), получаем
	( , ( - т « ) « - ѵ +
	—со
+ 2 \|Я \|\| J	{t~a)da < е		+	= еСи
- —.Суп			^
Пусть \|g„_1\| <	еС2; тогда, согласно неравенству (4.14),
имеем
т ь -і (0 g I <	J e<ß+veKi) I t- a I [у гС і + 1h \|\|] da <
	^0	(1+Ѳ) ß I	,
	yeQ-Ь \|\|/i\|\|	(1+Ѳ) ß I	,	(4.21)
^	(l + 0)ß	e		(4.21)
^	(l + 0)ß	e

	$ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ										295
Учитывая это неравенство, находим
Ы ^,е)\|< 2/С J			е	т И-°)
Ы ^,е)\|< 2/С J			е
		—©о
Так	как, согласно			(4.11),
				-f- + (i - hѳ)Р<				\|Ѳ 2е			(4.22)
то справедлива			оценка
	(f Г)І^		4/С I) F [I (yeC1+ ИЛИ) 8					2K\\H \|\|e		_	Q
	\gnV, e)l<-				(1-02)aß---- - +				5	— e° 2-
Таким образом, для всех п =							1,2, ....
Оценим разность						!&.(*, е)\| < е С я.					(4.23)
Оценим разность
	б
Ля — Ля- 1 = J (Хп — Х„_і) (А + Bgn) du -f
	*							<7
								<7
							■Г J Хп—іВ (gn				gn—i) du.
								t
Учитывая (4.12), (4.14) и (4.17), имеем
I Ля — Лп-1 I <			У&п			I h II +	уеС2) f е2<'+ѳ>Р I				I du -f*
I Ля — Лп-1 I <		(1 +		Ѳ) р		I h II +	уеС2) f е2<'+ѳ>Р I				I du -f*
			+		уЕп I е(1+Ѳ) Р I и~а Ida с
^	У^п11hИ +	TgCg)		2 (1+Ѳ) ß I /—о			I I		gd+Ѳ) ß I /-СТ I ^
^	2 (1 +Ö )2 ß2						^ (l + 0 )ß
							< C se2<i+0)Pl^CT,(6, + £„).
где	обозначено		En =			\|\|#„ — g-«—іII-
Используя это неравенство, находим
				t	__a_ _
\|g«+i — g « l< 2 / C				J	e	8	І^ ІІЛ я — Ля-1\| * г<
			—о©
	<	2 K \ F IC8(8n + En) J						е( - т + 2(1+Н			(,- % а ,

296	ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

откуда, в силу (4.19), получаем

t \gn+\~ gn\<2K\\F\\C3(ön + Еп) J e

І+2Ѳ

а (I—а)

da <

<	6/fimi ся(0п+Е п)г		= гС^ ^		Ея),
или	(1 — 2Ѳ ) ß
	En+x <;eC4 (6 „		En).

Из этого неравенства и (4.20) следует						(4.24)
Еп+1 + б/г-Н <! 8(ßi +			/<з) (б„ +		Еп).
Таким образом, для всех е < е0,где
e0 =	min(-c	_____ ѳ р_		а		(4.25)
		Ks ’ 7*.		Ж

последовательности (4.7) сходятся и выполняются						неравен
ства (4.15), (4.23) равномерно по			t £ R.
Положим
L(t, е) =	lim L„(f, в), g(/,		в) =	limg„(*, в).		(4.26)
	П-+00			n-УОО
Очевидно, что L (t, г) и g (^, е) непрерывны по						В силу

неравенств (4.15) и (4.23) эти функции ограничены и удовлет воряют условию (4.3). Покажем, что соотношение (4.2), в котором L a g определяются формулами (4.26), представ ляет интегральное многообразие системы (4.1).

Пусть X (t, t0) — фундаментальная матрица уравнения

^ Г = іА + ВЬ)х;

тогда

X(t ,t0) = \ i m X n(t,t0).

п-*оо

Аналогично, если

П(А *о) = J * (*. s) f5 (s) S'(s, s) + h (s)l ds, to

t0)=*\imr\n(t, t0).

Я -Ѵ О О

(4.27)

(4.28)

При этом сходимость последовательностей {Хп} и {г)„} будет равномерной на каждом конечном интервале.

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ

297

Пусть X — х( — решение уравнения
=	[А (0 +	В (t) L (t, в)] x + B{t)g (t, г)+ h (/),
удовлетворяющее условию xtt — х0 при t = t0.			Используя
обозначение (4.27) и (4.28), запишем
	Xt = X ( t, t0)x0 + r\ (t,t0).		(4.29)
Тогда имеем
L(t, e)xt + g(t, е):		\ U (t, о) F (а) X (а, /) do	xt 4-
+	і U (t, а) { F (o)\](o, t) F-Н (о)} do—

с о

= f и (t, О) {F (о) [X (о, t) xt + Л (СГ, t)} 4- Н (о)} do. (4.30)

— с о

Обозначим yt — L (t, е) xt 4- g (t, e) и перепишем соотно шение (4.30) в виде

У,= ) U (t,o){F{o)xs + H{o))do.

—со

Дифференцируя это тождество по t, убеждаемся, что yt удовлетворяет уравнению

e ~ ]f = c (t)yt + zF (0 -И + е-Н (t).

Поэтому (xt, yt) — решение системы (4.1) и, следовательно, соотношение (4.2) определяет интегральное многообразие системы (4.1).

С л е д с т в и е 4.1. На интегральном многообразии S t, представимом соотношением (4.2), переменная х удовлет воряет уравнению

J ^ = [A(() + B (0 L (t, е)1 x + В (/) g (t, e) 4- h (t) (4.31)

и поэтому исследование решений системы (4.1) на интеграль ном многообразии St сводится к исследованию решений урав нения (4.31).

2. Устойчивость интегрального многообразия. Имеет место следующая теорема [8].

298	ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ
Т е о р е м а 4.2, Пусть относительно системы (4.1) вы
полняются условия 1), 2) приведенные на стр.			290.	Тогда
в окрестности интегрального многообразия S t			существует
r-мерное точечное многообразие Wг		начальных данных {у}
такое,	что
1°. Если у (Q £ Wr, то для всех f > t 0
	--f-	v-t „)
\y(t) — L(t, г)х — g(t, e)\|</C<?		\y(t0) —
	— L (/„, e) д:0 — g (fo, e) j.			(4.32)
2°. Если у (to) £ Wr и у (t) = 0		является единственным

ограниченным при всех вещественных t решением системы

(4.4), то

\y(t) — L(t, г)x — g(t, е)\|->оо		при	/->оо.
3°. Если г — п, т. е.
R e ^ C — а < 0	(і = 1,	. . . ,	п),

то многообразие \ѴГсовпадает со всей окрестностью интег рального многообразия St.

4°. Если г — 0, т. е.	(і—1, . . . . п),
ReA,f > a 2> 0

то многообразие Wr вырождается в точку y — L (t0, e)x0 + g(t0, е).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Наряду с дифференциальной системой (4.1) будем рассматривать интегро-дифференци- альную систему

- ^ = A(t)xt + B(t)yt + h(t), xt. = xо,	(4.33),
со
y t = U (t, t0)a + U (t, s) [F(s) xs + H (s)\ ds,	(4.33),

где a — постоянный п-вектор, t >

Нетрудно установить, что для каждого значения е <; 80 и а ( I а I < р = const >> 0) система (4.33) имеет единствен ное решение (xt, yt). Подставляя его в (4.33)2 и дифферен цируя полученное тождество по t как по параметру, находим

^ = dU.^ M . a + ^ . dH«zsL [F(s)xs + H(s)]ds + ^О

+ [U(t,t + 0 ) - U (t, t - 0)] [F (/) xt + H (/)],

§ 4. М Н О Г О О Б Р А З И Я Л И Н Е Й Н О Й СИСТЕМЫ

299

откуда, учитывая (4.4), (4.5), получаем

^ С

+ sF Wx t ~г гН (*)•

Следовательно, каждое решение (xt, yt) системы (4.33) является решением системы (4.1).

Обозначим У“ 1(t0)a = а0; тогда для t > t0 имеем

U (t, t0)a = Y (t) Pra0 (I a01< po = I У~’ (t0) | р).

Не нарушая общности, можно считать, что а0 — произволь ный я-вектор. Вектор Рга0 имеет лишь г первых координат, отличных от нуля. Решения системы (4.33) зависят от значе ний вектора Рга0 и, следовательно, от г произвольных постоянных. Но, в силу доказанного выше, каждое решение системы (4.33) является решением системы (4.1). Таким образом, решения системы (4.33) образуют семейство реше ний системы (4.1), которое зависит от г произвольных по стоянных.

Определим многообразие начальных данных этого се мейства решений. Из (4.33)а, учитывая структуру (4.5)

матрицы U (t, t„), Для координат у\ (і = 1, ..., п) решения (xt, yt) при t — t0 получаем следующие соотношения:

		[У-1 Р оЫ , = [Pr*o\i = «о				(* = 1, • • • . Г),		(4.34)
			о о
	&)УоЬ = ( [{Pr -			In) У~Х(S) [F (s)xs + H (s)j ds],				(4.35)
			t.
			(I =	r +	1 , . . . , n ),
где	I	I,	обозначает	і-ю	координату соответствующего
вектора.						г +	1......п равенствами
	Определим функции			'Т'дляі =		г +	1......п равенствами
			о о
Y	(аі,	... , аго) = )' 1(Р, -			/„) У"1(s) [Ft (xs) + Н (s)} ds)t.
								(4.36)
Обозначая			Y ~ \t0)ytl>=		запишем		соотношение	(4.35)
в виде			.... do)
			.... do)		(і =	г +	1, ... , п).

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5230 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ