2.4. Задачи поиска оптимального решения методом
линейного программирования
Пример 2.1. При планировании хозяйственной деятельности перерабатывающего предприятия руководство должно решить задачу оптимизации выпуска продукции. Пусть требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов: продукт 1 (молоко), продукт 2 (кефир), продукт 3 (сметана), продукт 4 (масло), для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода и прибыль, получаемая от реализации каждого типа продукции (в условных единицах), приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1. Исходные данные для расчета объема выпуска продукции
-
Ресурс
Продукт 1
Продукт 2
Продукт 3
Продукт 4
Знак
Наличие
Прибыль
60
70
120
130
макс
-
Трудовые
1
1
1
1
<=
16
Сырье
6
5
4
3
<=
110
Финансы
4
6
10
13
<=
100
Последовательность выполнения.
1) Составим математическую модель, для которой введем обозначения:
xj – количество выпускаемой продукции j-го типа (j=1,4);
bi – количество располагаемого ресурса i-го вида (i=1,3);
aij – норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;
cj – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.
Тогда математическая модель будет иметь вид
|
|
(2.23) |
2) Составим форму для ввода исходных данных в Microsoft Office Excel (табл.2.2).
Таблица 2.2. Исходная форма
|
|
А |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H | ||
|
1 |
Решение задач линейного программирования |
|
| |||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
3 |
|
Переменные |
|
|
|
| ||||
|
4 |
Имя |
Продукт 1 |
Продукт 2 |
Продукт 3 |
Продукт 4 |
|
|
| ||
|
5 |
Значение |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
6 |
Ниж.граница |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
7 |
Верх.граница |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
8 |
Коэф.в ЦФ |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
9 |
|
|
Ограничения |
|
|
|
| |||
|
10 |
Вид |
|
|
|
|
Левая часть |
Знак |
Правая часть | ||
|
11 |
Трудовые |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
12 |
Сырье |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
13 |
Финансы |
|
|
|
|
|
|
| ||
3) Введем исходные данные из табл. 2.1.
4) Введем зависимости из математической модели (2.23) (табл.2.3):
назначение целевой функции (ячейка F8);
ввод ограничений и граничных условий (ячейки F11-F13).
Таблица 2.3. Пример ввода математической модели
|
|
А |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H | ||
|
1 |
Решение задач линейного программирования |
|
| |||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
3 |
|
Переменные |
|
|
| |||||
|
4 |
Имя |
Продукт 1 |
Продукт 2 |
Продукт 3 |
Продукт 4 |
|
|
| ||
|
5 |
Значение |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
6 |
Ниж.граница |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
7 |
Верх.граница |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
8 |
Коэф.в ЦФ |
60 |
70 |
120 |
130 |
=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B8:E8) |
Макс |
| ||
|
9 |
|
|
Ограничения |
|
|
| ||||
|
10 |
Вид |
|
|
|
|
Левая часть |
Знак |
Прав. часть | ||
|
11 |
Трудовые |
1 |
1 |
1 |
1 |
=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B11:E11) |
<= |
16 | ||
|
12 |
Сырье |
6 |
5 |
4 |
3 |
=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B12:E12) |
<= |
110 | ||
|
13 |
Финансы |
4 |
6 |
10 |
13 |
=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B13:E13) |
<= |
100 | ||
5) Осуществим поиск решения командой Сервис/Поиск решения.
Появится диалоговое окно "Поиск решения", в которое вводится:
целевая ячейка – $F$8;
изменяемые ячейки – $B$5:$E$5;
ограничения
|
$B$5>=$B$6, $C$5>=$C$6, $D$5>=$D$6, $E$5>=$E$6, |
$F$11<=$H$11, $F$12<=$H$12, $F$13<=$H$13. |
Выполнить поиск решения (табл.2.4).
Таблица 2.4. Результаты расчета объема выпуска продукции
|
|
А |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H | |||||
|
1 |
Решение задач линейного программирования |
|
| ||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
3 |
|
Переменные |
|
|
| ||||||||
|
4 |
Имя |
Продукт 1 |
Продукт 2 |
Продукт 3 |
Продукт 4 |
|
|
| |||||
|
5 |
Значение |
10 |
0 |
6 |
0 |
|
|
| |||||
|
6 |
Ниж.граница |
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
7 |
Верх.граница |
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
8 |
Коэф.в ЦФ |
60 |
70 |
120 |
130 |
1320 |
Макс |
| |||||
|
9 |
|
|
Ограничения |
|
|
|
| ||||||
|
10 |
Вид |
|
|
|
|
Левая часть |
Знак |
Правая часть | |||||
|
11 |
Трудовые |
1 |
1 |
1 |
1 |
16 |
<= |
16 | |||||
|
12 |
Сырье |
6 |
5 |
4 |
3 |
84 |
<= |
110 | |||||
|
13 |
Финансы |
4 |
6 |
10 |
13 |
100 |
<= |
100 | |||||
Вывод: для получения максимальной прибыли следует выпускать продукцию двух типов: продукт 1 и продукт 3.