3.1. Предварительный анализ временного ряда

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда (эксцесс), а также в определении наличия тренда в исходном временном ряде. Рассмотрим эти операции более подробно.

Метод Ирвина для выявления аномальных уровней временных рядов предполагает использование следующей формулы:

; t = 2, 3,…, n,

(3.2)

где среднеквадратическое отклонение (СКО) _y рассчитывается, в свою очередь, с использованием формул

.

(3.3)

Расчетные значения ₂, ₃ и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина _q и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение y_t уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости q = 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Зависимость  от n

n	2	3	10	20	30	50	100
q	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого ряда, то b[ устраняют либо заменой аномальных уровней простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.

Пример 3.2. Для временного ряда, приведенного в примере 3.1, требуется установить отсутствие аномальных значений уровней. Воспользуемся методом Ирвина. Результаты расчетов представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3. Расчет критерия Ирвина

Дата	Номер квартала.	Кол-во продаж		Критерий Ирвина
	t	Yt	Yt - Y t-1	t
Январь – март 1998	1	239
Апрель – июнь	2	201	-38	0,41
Июль – сентябрь	3	182	-19	0,20
Октябрь – декабрь	4	297	115	1,23
Январь – март 1999	5	324	27	0,29
Апрель – июнь	6	278	-46	0,49
Июль – сентябрь	7	257	-21	0,23
Октябрь – декабрь	8	384	127	1,36
Январь – март 2000	9	401	17	0,18
Апрель – июнь	10	360	-41	0,44
Июль – сентябрь	11	335	-25	0,27
Октябрь – декабрь	12	462	127	1,36
Январь – март 2001	13	481	19	0,20
Математическое ожидание		= 323,15
СКО		t = 93,31

Поскольку ни одно из расчетных значений критерия не превышает критическое _q = 1,44, то гипотеза об отсутствии аномальных значений уровней ряда может быть принята.

3.2. Определение наличия тренда

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется метод проверки разностей средних уровней. Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

На первом этапе исходный временной ряд y₁, y₂, y₃ ,…, y_n разбивается на две примерно равные по количеству уровней части: в первой части n₁ первых уровней исходного ряда, во второй – n₂ остальных уровней (n₁ + n₂ = n).

На втором этапе для каждой из этих частей вы­числяются средние значения и дисперсии:

; .

(3.4)

Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F – критерия Фишера.

Гипотеза основана на сравнении расчетно­го значения этого критерия

(3.5)

с табличным (критическим) значением критерия Фишера F_q с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) q. В качестве q чаще всего берут значения 0,1 (10 %-я ошибка), 0,05 (5 %-я ошибка), 0,01 (1 %-я ошибка). Величина 1 -  называется доверительной вероятностью.

Если расчетное значение F меньше табличного F_q , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F больше или равно F_q , гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t – критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле

,

(3.6)

где  – среднеквадратическое отклонение разности средних:

.

(3.7)

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента t_q с заданным уровнем значимости q, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение t_q берется для числа степеней свободы, равного n₁ + n₂ – 2 , при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

Пример 3.3. Определить наличие тренда по данным временного ряда, описанного в примере 3.1. Результаты вычислений по формуле (3.6) представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4. Расчет критерия Стьюдента

1-я выборка		2-я выборка
1	239	8	384
2	201	9	401
3	182	10	360
4	297	11	335
5	324	12	462
6	278	13	481
7	257
МО1	254,00	МО2	403,83	Среднее СКО двух выборок	53,89
СКО1	50,91	СКО2	57,27	t-критерий Стьюдента	5,00
D1	2592,00	D2	3279,77	Критическое значение критерия	2,57

Вычисленное значение критерия 5,00 значительно превышает критическое, поэтому гипотезу о равенстве математических ожиданий двух выборок следует отвергнуть и согласиться с наличием тренда.