1.6. Применение экспертных методов при выборе оптимального решения

Рассмотрим один из случаев использования экспертных методов [7]. Экспертам предлагается несколько вариантов решений той или иной проблемы, каждый из вариантов оценивается по n критериям. Требуется выбрать один из предложенных вариантов. Решение производится в два последовательных этапа.

Первый этап. Группа экспертов сравнивает между собой попарно критерии К_i(), по которым производится выбор решения, по шкале относительной важности, приведенной в табл.1.1.

Таблица 1.1. Шкала относительной важности

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснение
0	Несравнимые	Нет смысла сравнивать элементы
1	Одинаково значимые	Элементы равны по значимости
3	Слабое превосходство одного над другим	Существуют показания о предпочтении одного элемента над другим
5	Заметное превосходство	Существуют некоторые доказательства того, что один из элементов более важен
7	Очевидное превосходство	Существуют убедительные доказательства того, что один элемент имеет большую значимость, чем другой
9	Важность несравнима	Убедительное превосходство по важности одного элемента над другим
2, 4, 6, 8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Применяются в компромиссных случаях

Затем на основании проведенных сравнений составляется матрица попарных сравнений W.

		К1	К2	…	Кn
	К1	a11	a12	…	a1n
W=	К2	a21	a22	…	a2n
	…	…	…	…	…
	Кn	an1	an2	…	ann

Полученная матрица является квадратичной, ее размер n  n; a_ij = 1/a_ji, где n – число элементов в нечетком множестве, а a_ij – значение данной матрицы. Матрица W имеет собственный вектор  и собственное значение , которые вычисляются следующим образом:

1) собственный вектор матрицы :

 = (₁, ₂, . . ., _j, . . ., _n)^T,

где _j = 1/R_j ,

–сумма каждого столбца матрицы;

2) собственное значение матрицы :

.

Насколько точно определен собственный вектор , можно проверить по усредненному значению :

.

Тогда точность решения будет

.

Более определенно можно оценить точности, введя индекс согласованности (ИС):

.

(1.3)

Полученные данные нужно сравнивать со значениями случайной согласованности (СС), которые приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2.Значения случайной согласованности

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Значение случайной согласованности	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Оценка согласованности (ОС) определяется таким образом:

.

(1.4)

Величина ОС вычисляется в процентах и должна быть в диапазоне 10 – 20 %, т. е. если ОС < 20 %, то это означает, что суждения экспертов не противоречивы. Тогда на основании рассчитанных выше данных проставляются значения весов критериям в следующем порядке: тому критерию, у которого значение собственного вектора матрицы  наибольшее, присваивается вес, равный 1, остальным критериям присваивается вес, равный .

Второй этап. После того как определен вес каждого критерия, переходят к процедуре выбора оптимального варианта. При отборе вариантов эксперты по критериям проставляют оценки. На основании проставленных оценок формируется матрица вариантов. Процедура поиска предпочтительного объекта осуществляется методом «смещенного идеала».

На основании данных матрицы вариантов формируется «идеальный объект» по указанным критериям со значениями, равными максимальным значениям показателей, полезность по которым возрастает, и минимальным, полезность по которым убывает. В результате получаем «идеальный объект» Y⁺ (или «наилучший объект»), вектор значений которого составлен следующим образом:

Y⁺  {K⁺₁, K⁺₂, . . ., K⁺_n}.

Далее формируем модель «наихудшего объекта»:

Y^–  {K^–₁, K^–₂, . . ., K^–_n}.

Если критерии разнородные, то для сопоставления значений критериев необходимо перейти к нормированным единицам, преобразовав их значения по формуле

(1.5)

где К_j – текущее значение критерия сравниваемого объекта.

Значения критерия в относительных единицах d_j интерпретируются как расстояние j-го объекта по критерию K_j от «идеального объекта». «Идеальный объект» имеет расстояние d_j = 0, а «наихудший» – d_j = 1.

Для выявления «наилучших объектов» находят свертки (расстояния до «идеального объекта»), используя следующую обобщенную метрику:

(1.6)

где Р – степень концентрации, позволяющая переходить к различным метрикам. При P=2 обобщенная метрика L^P соответствует критерию евклидова расстояния. Чем больше значение L, тем ближе объект Y_i к «идеальному объекту» Y⁺.

Пример 1.1. С использованием экспертных методов подобрать на должность N одного из списка предложенных кандидатов. Пусть необходимо отобрать руководителя некоторого подразделения. Отбор кандидатов на должность осуществляется по следующим критериям:

К₁ – уровень профессиональной подготовки (обладает ли кандидат достаточными профессиональными знаниями и навыками, специфичными для данной должности);

K₂ – умение ориентироваться в сложной ситуации;

К₃ – умение работать с людьми (умеет ли кандидат четко и доходчиво разъяснить задание, своевременно проконтролировать его выполнение, ориентируется ли в деловых возможностях подчиненных или коллег);

К₄ – способность к деловому общению (умеет ли кандидат выслушать и понять собеседника, достичь взаимопонимания и убедительно высказать свои мысли в беседе);

К₅ – умение организовать эффективную работу отдела (насколько хорошо кандидат умеет ставить цели работы, распределять задания, планировать деятельность отдела);

К₆ – мера ответственности (всегда ли выполняет взятые на себя обязательства);

К₇ – умение доводить дело до конца;

К₈ –стаж работы по данной или близкой к ней специальности.

Первые семь критериев К₁ – К₇ являются оценками экспертов и измеряются по пятибалльной шкале, а критерий К₈ – берется из трудовой книжки.

1. Сравнивая между собой попарно критерии К_i, на основании которых принимается решение, по шкале относительной важности (см.табл.1.1), получим матрицу попарных сравнений (табл.1.3).

Таблица 1.3. Матрица попарных сравнений критериев

Критерии	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
К1	1	1	3	5	1	5	3	1
К2	1	1	3	5	0,333	3	3	1
К3	0,333	0,333	1	5	1	3	3	3
К4	0,2	0,2	0,2	1	0,2	0,333	0,333	0,5
К5	1	3	1	5	1	3	2	1
К6	0,2	0,333	0,3333	3	0,333	1	0,5	0,333
К7	0,333	0,333	0,3333	3	0,5	2	1	3
К8	1	1	0,3333	2	1	3	0,333	1

2) Проведем расчет весовых коэффициентов для критериев:

	0,197			1,587			8,042		max	9,08958		1
	0,139			1,365			9,825			14%		0,704
	0,109			1,232			11,33					0,551
	0,034		W	0,249			7,21		ИС =	0,15565	Вес =	0,175
	0,186			1,473			7,906		СС =	1,41		0,944
	0,049			0,405			8,245		ОС =	11%		0,249
	0,076			0,796			10,48					0,385
	0,092			0,893			9,674		k =	5,06667		0,468

3) Введем экспертные оценки в таблицу (табл. 1.4).

Таблица 1.4. Экспертные оценки

Nп/п	Кандидаты	Критерии
		К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
1	Иванов И. И	5	4	5	5	5	5	4	10
2	Петров А. А.	4	5	5	4	3	5	5	3
3	Сидоров К. К.	3	5	5	4	5	5	5	4
4	Соколов П. К.	3	4	4	3	4	4	4	5
5	Смирнов Е. В.	4	3	4	5	4	5	3	8
6	Козлов Н. К.	2	3	4	3	3	4	2	2

4) По этой таблице сформируем «идеальный» и «наихудший объекты»:

Y+ =	5	5	5	5	5	5	5	10
Y- =	2	3	4	3	3	4	2	2

5) Рассчитаем значения критериев в относительных единицах d_j (табл. 1.5).

Таблица 1.5. Приведенные оценки

N п/п	Кандидаты	Критерии
		К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
1	Иванов И. И.	0	0,5	0	0	0	0	0,3333	0
2	Петров А. А.	0,333	0	0	0,5	1	0	0	0,875
3	Сидоров К. К.	0,667	0	0	0,5	0	0	0	0,75
4	Соколов П. К.	0,667	0,5	1	1	0,5	1	0,333	0,625
5	Смирнов Е. В.	0,333	1	1	0	0,5	0	0,667	0,25
6	Козлов Н. К.	1	1	1	1	1	1	1	1

6) Для определения наилучшего кандидата вычислим метрику L^P при P=2 для каждого кандидата (табл.1.6).

Таблица 1.6. Значение метрики для каждого кандидата

L(Y1)	L(Y2)	L(Y3)	L(Y4)	L(Y5)	L(Y6)
1,642	1,21	1,426	0,745	0,948	0

7) Из полученных значений выберем наибольшее значение

.

Следовательно, оптимальным решением считается выбор первого кандидата.

7. Применение метода « Дельфи» при исследовании направлений

развития проблемы

Метод «Дельфи» – это метод экспертной оценки будущего, разработан американской исследовательской корпорацией РЭНД [6]. Он служит для оценки вероятности наступления тех или иных событий.

Метод «Дельфи» построен на следующих принципах: в неточных науках мнение экспертов и субъективные суждения в силу необходимости должны заменить точные законы причинности, отражаемые естественными науками. Метод «Дельфи» позволяет обобщить мнение отдельных экспертов в согласованное групповое мнение. Ему присущи недостатки прогнозов, построенных на основе экспертных оценок. Однако он позволяет повысить гибкость, простоту и точность прогнозирования.

Метод «Дельфи» имеет три особенности.

1. Анонимность экспертов. Участники экспертной группы неизвестны друг другу, но знакомы с мнением других, поэтому могут менять свое мнение в очередном туре без публичного объявления об этом.

2. Использование результатов предыдущего тура опросов. Групповое взаимодействие осуществляется непосредственно с помощью ответа на анкету. Специалист, проводящий исследование по методу «Дельфи», извлекает из анкет только ту информацию, которая относится к данной проблеме. Специалист-прогнозист учитывает мнение экспертов «за» и «против» по каждому аспекту. Эта система дает возможность группе специалистов концентрировать свои усилия на первоначальных задачах, а не предполагать каждый раз что-то новое.

3. Статистическая характеристика группового ответа. Группа экспертов составляет прогноз, включающий точку зрения всех экспертов. Для характеристики ответа в методе «Дельфи» используются статистические показатели –медиана, которая отражает мнение группы, и квантили, характеризущие величину разброса ответов. Групповой ответ может быть представлен медианой (рис.1.3), т. е. в виде такого числа, оценки которого одной половиной группы экспертов были больше этого числа, а другой половиной – меньше, и одной или двумя квантилями (левой и правой).

Э₁ Э₂ Э₃ Э₄ Э_мед Э₅ Э₆ Э₇ Э₈

Левый квантиль Правый квантиль

Рис.1.3. Определение медианы

Сущность метода

Условия:

1) поставленные вопросы должны допускать возможность выражения ответа в виде числа;

2) эксперты должны располагать достаточной информацией для того, чтобы дать оценку;

3) ответ на каждый вопрос должен быть обоснован экспертом.

Опрос осуществляется в четыре тура. Во время каждого тура мнение каждого эксперта получает числовое выражение на подготовленной заранее шкале оценок.

Во время первоготура эксперты могут пополнить или сократить перечень, подготовленный аналитиками. После первого тура опроса аналитики (или жюри) проводят статистическую обработку оценок, полученных от разных экспертов. Она заключается в уточнении перечня вопросов и в анализе характеристик ряда, т.е. в расчете медианы и квартилей. За медиануЭ_медпринимается средний член ряда, по отношению к которому число оценок с начала и конца ряда будет одинаковым. Затем определяются верхняя (правая) и нижняя (левая) квартили, т.е. границы, между которыми располагаются предпочтительные оценки (например, 10 или 25 % от начала и конца ряда). Медиана служит характеристикой группового ответа, а предпочтительный диапазон квартилей – показателем разброса индивидуальных оценок.

После первого тура каждому эксперту сообщают значение медианы и размах между крайними квартилями (предпочтительный диапазон). Экспертов, чьи оценки оказались за предпочтительным диапазоном, просят обосновать причины расхождения с мнением группы (анонимно). Эксперты могут пересмотреть свое мнение и исправить оценки. С результатами второго тура знакомят остальных. Проводится статистическая обработка оценок, о которой извещают экспертов. Все участники второго уровня должны обосновать свое мнение, учесть возражения и прокомментировать их.

После третьеготура опроса и статистической обработки оценок экспертов, чьи оценки вновь не вошли в предпочтительный интервал, просят выдвинуть аргументы в пользу своих оценок.

На четвертом туре экспертизы все мотивировки вновь доводятся до участников экспертизы, имеющих последнюю возможность пересмотреть свои ответы.

Медиана этих окончательных ответов принимается за оценку, наиболее близкую к единому мнению. Если эксперты приходят к согласию раньше, то остальные туры не проводятся.

Метод «Дельфи» дает возможность эффективно взаимодействовать аналитикам при контроле руководителя группы (суммирование аргументов). В развитии метода «Дельфи» применяется перекрестная коррекция. Будущее событие представляется как огромное множество связанных и переходящих друг в друга путей развития. Представив прогноз научно-технических сдвигов как D₁,D₂,…,D_n, а соответствующие вероятности какР₁, Р₂,…, Р_n и полагаяР₁ = 100 %, находят изменения значенийР₁,Р₂,…, P_i-1, P_i,…, Р_n.

Недостатком метода является сложность в реальной жизни измерить корреляционные связи, которые варьируются в широких диапазонах в зависимости от рассматриваемых достижений.

Пример 1.2.Перед студентами (экспертами ) ставится задача определения важности ряда дисциплин, прочитанных им, ранее при выполнении курсового проекта. Для оценки важности каждой дисциплины берется десятибалльная шкала (0 10).

Вначале формируется группа аналитиков, составляющих список дисциплин, которые следует оценивать (примерный список приведен в табл.1.7).

Таблица 1.7. Экспертные оценки

Дисциплины	Эксперты
	Э1	Э2	Э3	Э4	Э5	Э6	Э7
Высшая математика	8	7	8	6	9	8	7
Дискретная математика	7	6	7	8	6	7	8
Теория вероятностей и математическая статистика	8	5	7	8	7	9	6
Физика	6	7	5	7	6	8	7
Информатика	7	5	7	6	7	8	7

Эксперты во время первого тура могут пополнить или сократить этот перечень. После первого тура опроса аналитики проводят статистическую обработку оценок, полученных от разных экспертов, и определяют медиану и квартили (рис.1.4).

Высшая математика

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Дискретная математика

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Теория вероятностей и математическая статистика

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Физика

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Информатика

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Левый квантиль

Рис. 1.4. Графическое представление результатов опроса первого тура

Результаты анализа направляются экспертам (табл.1.8).

Таблица 1.8. Результаты анализа первого тура

Дисциплины	Медиана	Квантиль
Высшая математика	8	2
Дискретная математика	7	2
Теория вероятностей и математическая статистика	7	2
Физика	7	2
Информатика	7	2

Во втором туре эксперты вновь выставляют оценки с учетом предыдущей обработки. Они должны обосновать свое мнение, если оно выходит за квантили, прокомментировать его. Обработка результатов второго тура аналогична обработке результатов первого тура.

В нашем примере мнения экспертов расходятся незначительно, поэтому после второго тура опрос завершается. Результаты показывают, что все предметы получили высокие оценки и являются значимыми.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. С использованием экспертных методов выбрать фирму  производителя электронной техники. Для анализа были оценены 6 фирм по 7 критериям (табл.1.9).

Таблица 1.9. Экспертные оценки

№ п/п	Фирмы	Критерии
		К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7
1	Samsung	5	0,4	5	3	5	4	8
2	Sony	5	0,9	5	4	5	5	9
3	LG	5	0,5	5	4	5	4	7
4	JVC	4	0,6	3	3	5	4	5
5	Toshiba	5	0,8	4	3	4	3	9
6	Thomson	4	0,4	4	3	3	4	6

Критерии определяются по относительным шкалам:

К₁– надежность (шкала 0–5);

К₂ – приведенная стоимость (шкала 0–1);

К₃ – качество (шкала 0–5);

К₄ – дизайн (шкала 0–5);

К₅ – доступность (шкала 0–5);

К₆– стабильность работы (шкала 0–5);

К₇ – количество видов выпускаемой продукции.

Сопоставить критерии, рассчитать их весовые коэффициенты, вычислить обобщенную метрику и выбрать наиболее предпочтительный вариант.

Задание 2. Сформулировать собственную задачу и решить одним из рассмотренных методов.

Контрольные вопросы

1. В чем отличие между прогнозом, планом и гипотезой?

2. В каких случаях следует применять интуитивные (экспертные) методы, а в каких формализованные?

3. Как осуществляется учет компетенции экспертов?

4. В чем заключается сущность метода «смещенного идеала»?

5. Как осуществляется сопоставление критериев?

6. Как рассчитываются медиана и квантили в методе «Дельфи»?