книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

вопросу о поглощении электромагнитной волны: классическая теория оперирует только результирующим коэффициентом погло­ щения, который в сущности представляет собой разность между истинным поглощением и вынужденным испусканием.

Мы видели, что в пределе малых квантов результаты квантовой теории как в отношении фактического поглощения излучения, так и в отношении скорости нарастания энергии электрона сводятся к результатам, которые дает классическая теория. Но, имея такую глубокую параллель квантовых и классических представлений в качественном отношении и точный предельный переход для ре­ зультирующих эффектов, естественно задаться вопросом: а не су­ ществует ли количественного соответствия между эффектами кван­ тового истинного поглощения и классического истинного приобре­ тения энергии от электромагнитной волны при столкновении, а также — вынужденного испускания и классической истинной от­ дачи энергии? Если обратиться к формулам, с которыми мы имели дело выше, мы сразу же убедимся в том, что никакого количествен­ ного соответствия нет. Действительно, средняя энергия, которую электрон в квантовом случае приобретает в одном столкновении

мится к бесконечности.

В то же время истинная энергия, которую электрон может по­ лучить при столкновении, согласно классической теории (см. подраздел 4.2), порядка mvu, т. е. пропорциональна первой сте­ пени поля и имеет вполне конечную величину.

Однако это расхождение еще ни о чем не говорит, ибо такое со­ поставление неправомочно. В самом деле, изложенная выше квантовая теория не в состоянии описать всех эффектов, соответ­ ствующих пределу Йсо ->0, ибо она оперирует только одноквантовымн процессами. Обычно этого бывает достаточно, так как вероятности многоквантовых процессов резко зависят от величины поля и проявляются только в очень интенсивных полях (см. при­ мер многофотонной ионизации, раздел 3). Но даже из формулы

то вероятности многоквантовых процессов становятся значитель­

вые. Следовательно, без анализа квантовомеханической теории, учитывающей возможность и многоквантовых процессов, нечего и ожидать буквального перехода к классике во всех отношениях.

Имеется и другой вопрос, на который трудно ответить без та­

гии электрона в поле хотя и кажется естественным, все же являет­ ся умозрительным. Переход от одного предельного случая к дру-

41

тому осуществляется путем включения млогокваытовых процессов. Хотелось бы получить теоретически обоснованный критерий и вы­ яснить, каково соотношение между вероятностями поглощения различного количества квантов.

Многоквантовые процессы тормозного поглощения и вынуж­ денного испускания излучения при рассеянии электронов сило­ вым центром рассматривали Ф. В. Бупкин и М. В. Федоров [21] с целью оценки роли этих эффектов при оптическом пробое. Веро­ ятность перехода электрона, находящегося в электрическом поле световой волны Е = Z^sincoC из состояния с импульсом р в со­ стояние с pj в результате действия рассеивающего поля по теории возмущений в борцовском приближении представляется в виде 1

w = 2 w(n)- Слагаемые суммы up) пропорциональны б (//2/2 т —

—оо

р2/2т — nha), и их можно трактовать как вероятности одно­ временного поглощения (если п Д> 0) или вынужденного испуска­ ния (п < 0 ) п фотонов. Соответствующие сечения поглощения и

вынужденного испускания определяются как o(ri>= u>(«) /F, где F = S/Tuо — плотность потока фотонов.

В работе [21] сечения вычисляются применительно к случаю рассеяния электрона на кулоновском потенциале, т. е. ионами. Последнее не влияет, однако, на выводы о соотношении сечений для процессов с участием различного числа квантов. Сечения тор­ мозных процессов всегда пропорциональны сечению рассеяния, независимо от того, происходит ли рассеяние на кулоновском по­ тенциале или на резко спадающем с расстоянием потенциале ней­ трального атома. Просто в первом случае появляется «кулонов­ ское» сечение рассеяния порядка (7,e2/mv2)2, где v — скорость на­

летающего электрона, 7 — заряд иона, а во втором — сечение рассеяния атомов ат.

В качестве основного параметра, которым характеризуется действие электромагнитного поля, в выражениях для сечений вы­ ступает безразмерное отношение у = evE0/huj2. Но это есть не что иное, как отношение классического масштаба истинных изменений энергии электрона при рассеянии в присутствии электромагнитного поля к величине кванта: у = mvu/tm, где и ---- eEJrrna (см. под­ раздел 4.2). При у <^1, когда процесс имеет существенно кванто­

вый характер, ш(п) ~ F —Е'дп, что как раз и соответствует обычным

представлениям о многоквантовом переходе. Сечения o(n) ~ Fn~x

ZT'2(n—1)

~ , сечения одноквантовых процессов сФ) от потока фото­ нов и поля, естественно, не зависят.

Параметр разложения в сумме по п для вероятностей много­ квантовых переходов зависит от соотношения энергий электрона и фотона. Для быстрых электронов при е = т>2/2>/гсо возможны

1Действие светового поля учтено в волновых функциях электрона; возму- щением же является рассеивающих! потенциал.

42

как поглощение, так и испускание многих квантов и параметром

разложения служит величина у2<с;1: и>(п) ~ у1п', ° {п) Вероятности быстро убывают с ростом числа фотонов, что и обос­ новывает обычную практику рассмотрения только однокванто­ вых процессов в относительно слабых полях, когда у2<^ 1. В слу­ чае медленных электронов, е<^Ясо, параметром разложения слу­ жит большая величина у2 (Йсо/е), которая представляет собой не что иное, как отношение классического среднего прироста энергии

вого поглощения или испускания имеют гораздо более формальный смысл, чем в предыдущем, когда вероятность одновременного поглощения п фотонов была пропорциональной п-й степени их потока в полном соответствии с «корпускулярной» интерпретацией процесса. Случай у 1 и должен соответствовать переходу к

классике.

Надо полагать, что рубежом, разграничивающим однокван­

лать выбор между тем и другим приближением, надо сравнивать с величиной кванта масштаб истинных изменений энергии при столкновениях mvu, а не результирующее приращение энергии Де, которое имеет скорее формальный, чем буквальный физиче­

ский смысл.

Что же касается вопроса о количественном соответствии меж­ ду квантовыми понятиями истинного поглощения фотонов и клас­ сическими истинными изменениями энергии электрона при столк­ новении, то он пока остается без ответа. Теория [21] не позволяет разумным образом осуществить предельный переход к классике. Среднее приобретение энергии электроном в столкновении за счет

ианалогично средняя потеря за счет вынужденного испускания

—ОО

Д&- — S 2 |n|a<nVvc. Если подставить сюда сечения, вычислен­

ные [21] в случае у 1, и перейти к пределу Йсо ->■ 0 (у ->- оо), никакого разумного результата не получается (хотелось бы полу­ чить величину порядка mvu). Быть может, дело в том, что исход­ ные предпосылки теории [21] не позволяют перейти к классиче­ скому пределу (например, все вычисления сделаны в борновском приближении, которое, как известно, противоположно квазиклассическому). Вопрос остается открытым и требует специального

43

исследования, которое представляется нам заслуживающим вни­ мания.

В заключение отметим, что и в случае оптических частот воз­ можны условия, когда поведение электрона в поле является и по

ше, так как характерные энергии электронов в спектре заметно превышают На и здесь, безусловно, применима классика.

В настоящее время столь высокие световые интенсивности уже достигнуты, они фигурируют в опытах по пробою газов сверх­ короткими, сверхмощными пикосекундными импульсами (см. раз­ дел 9 и подраздел 16.6).

6.Лавинная ионизация и пробой

6.1.Потери энергии электронов и самих электронов. Процес лавинообразной ионизации газа в быстропеременных полях в самой основе своей не отличается от того, который происходит в посто­ янном электрическом поле и который ответствен за обычный про­ бой разрядного промежутка (последний описан в большинстве книг по газовому разряду). Отличаются детали механизма нара­ стания энергии электрона в поле. Но пробой на СВЧ и тем более на оптических частотах имеет много своих специфических особен­ ностей. В этом параграфе мы дадим лишь беглый обзор явлений СВЧ и оптического пробоя, а более подробно теория пробоя будет рассматриваться в главах 3, 4. Однако предварительно познако­ миться с основными теоретическими представлениями необходимо

сейчас, ибо без этого трудно обсуждать результаты опытов в гл. 2.

Скорость размножения электронов зависит не только от того, как быстро нарастает их энергия в поле. Она существенным об­ разом зависит и от потерь, которые тормозят развитие лавины, а в случае недостаточно сильных полей и вовсе делают размноже­ ние невозможным. Существуют два рода потерь: это потери энер­ гии электронов и потери самих электронов. Первые связаны с уп­ ругими и неупругими столкновениями. В каждом акте упругого соударения с атомом электрон в среднем отдает атому малую долю своей энергии порядка отношения масс электрона и атома (см. формулу (1.9)). Эти потери сопровождают процесс нарастания энергии электрона в поле все время, начиная от самых малых энергий и до конца. Роль их тем больше, чем легче газ. Неупругие потери появляются только по достижении электроном достаточно большой энергии, приближающейся к потенциалу ионизации, и связаны с возбуждением атомов. В инертных газах, например, потенциалы возбуждения первых уровней составляют примерно две трети—три четверти от потенциала ионизации.

44

p f p i

Рис. 1.9. Сечения возбуждения и ионизации ксенона [22]

В молекулярных газах электронные уровни часто лежат ниже, кроме того, обычно бывают значительными неупругие потери, свя­ занные с возбуждением колебательных состояний в молекулах. Совершив акт возбуждения, электрон сбрасывает накопленную в поле энергию, и ему приходится начинать все заново. При не слишком большой скорости нарастания энергии в поле относитель­ ная вероятность возбуждения весьма значительна, и электрон может много раз набирать энергию и терять ее на возбуждение, прежде чем ему удастся «прорваться» через «опасный» энергети­ ческий промежуток] между потенциалами возбуждения и иони­ зации и получить возможность ионизовать атом. Даже при энер­ гиях, превышающих потенциал ионизации, все равно имеется значительная вероятность того, что электрон не ионизует, а толь­ ко возбудит атом и, следовательно, снова потеряет^свою энергию. Типичные зависимости сечений ионизации at и возбуждения ато­ мов о * от энергии вблизи от порогов этих процессов показаны на рис. 1.8, 1.9.

45

Обычно, когда дело касается пробоя в постоянном электриче­ ском поле или в СВЧ-диапазоне, возбуждение атомов играет вред­ ную роль, тормозя развитие лавины. Можно, конечно, допустить возможность ступенчатого процесса ионизации, когда электрон возбуждает атом, а затем возбужденный атом ионизуется другим электроном, даже не очень энергичным, ибо энергия связи элек­ трона в возбужденном атоме значительно меньше, чем в невоз­ бужденном. Однако при полях, близких к пороговым, такие це­ почки играют очень малую роль, и на самой величине порогового

для пробоя поля сказываются мало.

Действительно, произойдет ли пробой в данном поле или нет — это решается на самых ранних стадиях лавины, когда начинают размножаться первые затравочные электроны. Это вопрос о том, сумеют ли они начать лавину или погибнут. При малой концен­ трации электронов очень мала вероятность встречи возбужденного атома с электроном, слишком долго пришлось бы ждать акта иони­ зации возбужденного атома. Таким образом, на ранней стадии ла­ вины возбужденные атомы в игре не принимают участия, они ча­ стично высвечиваются, частично накапливаются (в метастабиль-

ных состояниях).

Другое дело — пробой на оптических частотах. В этом случае иногда возможны условия, когда возбужденные атомы активно участвуют в процессе размножения, а именно: электрон выры­ вается из такого атома излучением. Действительно, в отличие от ионизации невозбужденных атомов, чтобы оторвать электрон от возбужденного атома, достаточно небольшого числа квантов. Так, например, потенциал ионизации аргона I — 15,8 эв, а потенциал возбуждения нижних уровней / — 11,5 эв; энергия связи электро­ на в возбужденном атоме АI = 4,3 эв, т. е. для отрыва электрона достаточно трех квантов рубинового лазера, /ш = 1,78 эв, и четы­

числом квантов, вообще говоря, могут оказаться и не столь ма­ лыми. В отношении роли ионизации возбужденных атомов свето­ вым излучением в процессе оптического пробоя до сих пор нет полной ясности. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться ниже. Для определенности сейчас укажем лишь, что на частоте руби­ нового лазера, скорее всего, такой процесс играет существенную роль, а что касается частоты неодимового, оценки и опыт свиде­ тельствуют об обратном.

Существует еще одна ситуация, когда эффект возбуждения ато­ мов обращается «на пользу». Она связана с так называемым эффек­ том Пеннинга — резонансной передачей возбуждения одного ато­ ма на ионизацию другого. Если в газе, состоящем из атомов типа А, присутствуют атомы типа В, такие, что потенциал ионизации

Возможно, число необходимых квантов снижается на единицу из-за сни жения границы непрерывного спектра в поле световой волны (см. гл. 5)

46

I в меньше потенциала возбуждения / д , то при столкновении воз­ бужденного атома А с невозбужденными атомами В последние ио­ низуются. Обычно сечения таких процессов довольно велики, они иногда приближаются к газокинетическим. Примерами подобного

рода могут служить смеси гелия (Iне — 19,8 эв) и паров ртути

Потери самих электронов связаны в первую очередь с диффу­ зионным уходом их из области, где развивается лавина: в случае СВЧ-пробоя — диффузия на стенки волновода или сосуда \ при оптическом пробое — из области фокусного пятна. В электро­ отрицательных газах, таких, как кислород (и воздух, поскольку он содержит кислород), электроны исчезают и вследствие прили­ пания к молекулам или атомам.

Хотя воздействие потерь и того и другого рода в конечном счете одинаково в том смысле, что именно потери определяют по­ рог пробоя, т. е. минимальную величину приложенного поля, при которой еще происходит видимая ионизация газа, качественный характер влияния потерь энергии и потерь электронов существен­ но различен. Размножение электронов в лавине представляет собой процесс типа цепной реакции.

Потери электронов приводят к обрыву цепей. Потери энергии к обрыву цепей не приводят и лишь в той или иной степени затор­ маживают процесс достижения энергии, необходимой для размно­ жения (скажем, энергии, превышающей потенциал ионизации атомов). Конечно, достаточно большие потери энергии пресекают видимое развитие лавины. Но если отвлечься от того обстоятель­ ства, что пробой только тогда и можно назвать «пробоем», если ио­ низация нарастает бурно, одни лишь потери энергии без потерь самих электронов не могли бы воспрепятствовать пусть очень мед­ ленному, но все же накоплению числа электронов в газе. Действи­ тельно, в силу статистического характера потерь энергии при стол­ кновениях электрон всегда имеет шанс «прорваться» сквозь заслон потерь и все же приобрести энергию, достаточую для ионизации,— это лишь вопрос времени. В особенности это касается пробоя на оптических частотах, когда энергия электрона в поле меняется значительными скачками и для достижения потенциала ионизации достаточно сравнительно небольшого числа таких скачков. Стати­ стическая вероятность «прорыва» здесь становится вполне ощути­ мой. Проскочить область неупругих потерь легче, чем преодолеть

лишь на основе кинетического уравнения для электронов, почему

1 Если в СВЧ-резонаторе пробой развивается в области пучности поля — диффузия из этой области.

47

детальные теории пробоя и базируются на этом уравнении (см.

гл. 3, 4).

6.2. Критерии пробоя. Введем понятие частоты ионизаций, про изводимых электронами v,-. Так называют обратную величину среднего времени ть необходимого для того, чтобы в результате всех воздействий, которые претерпевает электрон на пути дости­ жения значительной энергии, действительно произошел акт раз­ множения. Не будем пока принимать во внимание те исключитель­ ные условия, когда возбужденные атомы способствуют размноже­ нию, и рассмотрим типичный случай, когда размножение происхо­ дит только в результате ионизации невозбужденных атомов элек­ тронным ударом. Наиболее строго частоту ионизаций можно оп­ ределить, зная функцию распределения электронов по энергиям (по скоростям).

Пусть п (е) cfe — функция распределения электронов по энер­ гиям, нормированная так, что интеграл от нее по всему спектру

энергии дает плотность электронов Ne. Тогда частота ионизаций есть

Частота ионизаций существенно зависит от величины поля (по­ ле влияет на функцию распределения электронов). В простейшем случае, когда потери на возбуждение не играют роли и процесс нарастания энергии можно описать просто путем задания скоро­ сти нарастания энергии электрона ds/dt (например, формулой (1.9)), частота ионизаций приближенно определяется временем, которое необходимо электрону для того, чтобы приобрести энергию от «нуля» до потенциала ионизации

(это предполагает, конечно, что электрон, обладающий энергией, чуть большей I, мгновенно ионизует атом).

Положим, что единственным процессом потерь электронов яв­ ляется их диффузия (этот случай типичный), и обозначим среднее

типичной для диффузионного процесса. Длина Д всегда имеет порядок характерных пространственных размеров системы. На­ пример, для области между двумя плоскими пластинами, распо­ ложенными на расстоянии L, А -■ Т,/д; для цилиндра радиуса г

и высоты L 1/Л2 = (2,405/г)2 + (я/Д)2; для сферы радиуса г Л = г/л [1,2].

48

Коэффициент диффузии D зависит от характера диффузии. При малых плотностях электронов, т. е. в самом начале развития ла­ вины, электроны диффундируют самостоятельно; в условиях более развитой лавины, когда плотности заряженных частиц велики и между ними действуют кулоновские силы,— вместе с ионами. Диффузия при этом является амбиполярной. Однако пробой обычно определяется свободной диффузией электронов, так как главную роль играет самая ранняя стадия лавины, когда электро­ нов еще очень мало и «решается вопрос»: разовьется лавина или затухнет.

Величина коэффициента свободной диффузии зависит от энер­ гии электрона

где lm — v/vm — длина пробега электронов. Приведем полезные для оценок численные формулы, выражающие vm и D через ве­ роятность столкновений Рс, которая обычно приводится на гра­ фиках, и давление р (1 тор = 1 мм рт. ст.):

Величина 1 — cos0) обычно близка к 1. Для оценок приходится выбирать некоторые средние по спектру электронов значения D. Например, в условиях лазерного пробоя в аргоне при атмосфер­ ном давлении D ~ 104 см21сек (е ~ 5 эв), г ~ 10~2 см и xd ~ ~ 10~8 сек. Таковы же примерно времена диффузии и в условиях

ионизации определяется феноменологическим уравнением кинетики

и при условии Vj О- vd плотность растет по экспоненциальному закону. Величину 0 = (v* — можно назвать постоянной времени лавины. Ясно, что лавина может развиваться только при условии, что частота ионизации v* превышает вероятность диффу­ зионного ухода vd. В противном случае, даже если в начальный момент по какой-либо причине в газе возникла ионизация, плазма распадается.

Обычно в опытах с СВЧ-диапазоном условие vt (Е) = vd и яв­ ляется критерием пробоя, который определяет пороговое поле Et. Равенство это, строго говоря, свидетельствует о стационарности процесса: сколько электронов рождается, столько и исчезает. Ко­ нечно, для того чтобы на самом деле произошел пробой, необхо­

49

димо, чтобы частота ионизаций хотя бы немного превышала ча стоту уходов, т. е. поле было чуть выше Et, но обычно даже при небольшом превышении vt над vd постоянная времени лавины 0 оказывается столь малой, что пробой вспыхивает моментально (от­ сюда и резкость порога для пробоя). Это видно, из примера, ко­ торый был приведен выше. Если время диффузии электронов t d= 5 -КГ8 сек, vd = 2-107сек-1, то даже при vt — vd = 0,lvd 0 = 2 х X 10-6 сек, и лавина развивается за каких-нибудь несколько десят­ ков микросекунд. Для опытов с неимпульсными СВЧ-источника-

ми это мгновение.

Итак, в условиях «стационарного» пробоя, когда время дей­ ствия поля достаточно велико, пороговое поле вычисляется из

энергии электронов в поле и потерь энергии за счет упругих и не­

упругих столкновений.

Совершенно иная ситуация возникает, когда действие поля чрезвычайно кратковременно, как это обычно имеет место для ги­ гантских лазерных импульсов. Здесь необходимо большое превы­ шение частоты ионизаций над частотой уходов электронов, и по­ тому потери электронов вообще не кардинальным образом сказы­ ваются на величине порога (хотя и влияют на нее, см. гл. 4). Здесь вопрос о том, произойдет пробой или нет, определяется тем, успеет ли за короткое время гигантского импульса ( ~ 3-10 8 сек) наро­ диться достаточное для заметного эффекта число электронов.

Именно таков «нестационарный» критерий пробоя гигантским лазерным импульсом [17]. Например, опыты [6] показали, что ви­ димая вспышка возникает, если полное число электронов в области

фузии из области фокуса, следовательно, дело не в потерях элек­ тронов. Просто, если поле будет несколько ниже порогового и постоянная времени станет, например, вдвое меньше, чем при по­ роговом поле, то, скажем, вместо 1013 появится только Ю13/2 ~ 3-106 электронов, а этого будет явно недостаточно для регистра­

ции факта пробоя. Итак, в условиях «нестационарного» пробоя пороговое поле должно вычисляться из приближенного равен­ ства

где ti — длительность импульса, аЖ , и JV' 0— конечное и началь­ ное числа электронов.

50