книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

это лишь после того, как перейдем от функции распределения по векторам скоростей к распределению по энергиям электронов.

Рассмотрим слагаемое I (/) — так называемый интеграл столк­ новений. Будем считать атомы до столкновения покоящимися, что вполне оправданно, так как они гораздо тяжелее электронов и температура атомного газа в начале пробоя почти не отличается от комнатной. Тогда из законов сохранения энергии и импульса следует, что скорость электрона v после упругого рассеяния на угол 0 с точностью до величины второго порядка малости по а — т/М равна

v = v' ( 1 — а), а = ~М( 1 — cos в)* (3-8)

где г/ — скорость до столкновения \ Теперь, принимая во внимание, что

величина скорости электрона после столк­ новения однозначно определяется углом рассеяния, составим выражение для ин­ теграла столкновений. Обозначим £2 — вектор направления скорости, гй2 — интер­

вал (телесный угол) направлений. Функ- Рис. 3.2. Угол рассеяния

ция распределения21 является функцией

от величины и направления скорости / (v) = / (гг, £2). Из данного элементарного объема в пространстве скоростей v2dvdQ. около конца вектора v (гг, £2 ) в единицу времени вследствие столкнове­ ний уходит / (гг, £2 ) v2dv di2 v,. (гг) электронов, где vc (v) — частота столкновений. В эту величину вносят свой вклад акты рассеяния на всевозможные углы (рис. 3.2). Пусть q (гг, £2, £2') dQ,' — вероят­ ность того, что при рассеянии электрон со скоростью v (гг, £2 ) приобретает направление £2' в интервале направлений с2£2'. Ве­ роятность того, что электрон приобретет любое направление, рав­

на 1, т. е. § g (у, £2, £2') di2' = 1. Число уходящих электронов можно подробно расписать в виде

лучается (3.8).

2Вообще говоря, / = / ( » , 0-), но для последующих рассуждении направле­ ние скорости является существенным, поэтому мы оставляем более общую

|форму / (гг, й).

91

электронов. Начальные значения скорости v' и интервалы dv при данном угле рассеяния связаны с конечными v, dv уравнением (3 .8 ), в котором 0 — угол между векторами £2 ' и {2 .

Результирующее изменение числа электронов в рассматривае­ мом интервале I If (v, £2)] v2dv dQ равно разности выражений (3.10) и (3.9). Выразим v'4v' в (3.10) через v*dv с помощью урав­ нения (3.8): v,2dv' да v2dv (1 + За) (здесь произведено разложение с учетом того, что а 1). Это соотношение выражает тот факт, что из-за небольшой потери в скорости электроны приходят в данный элемент объема в пространстве скоростей из несколько

большего объема.

Далее, величина, характеризующая вероятность перехода при столкновении из одного направления в другое, q (£2 ' £2 ), зави­ сит не от самих направлений £2 ' и £2 , а лишь от угла 0 между^ними, поэтому в выражении (3.10) величину q (г/, £2', £2) = q (г/, 0) с равным успехом можно интегрировать как по конечным направ­ лениям £2, так и по начальным £2\ Составляя теперь разность (3.10) и (3.9), вынося дифференциал объема v*dv dQ и сокращая

где направления £2 ' и £2 отклонены друг от друга на угол 0 и интегрирование ведется по всем направлениям £2 '.

Имея в виду, что скорость v' отличается от v лишь на очень малую величину av, разложим первое слагаемое под знаком ин­ теграла около значения скорости v и пренебрежем величинами второго порядка малости по а. В результате простого вычисления интеграл столкновений (3.11) представляется в виде суммы двух слагаемых:

Этот член, пропорциональный m/M, как мы увидим ниже, характеризует роль упругих потерь энергии электронов.

92

13. Классическое уравнение для энергетического спектра электронов

13.1 Вывод уравнения из кинетического. Кинетическое урав­ нение (3.6) с правой частью, определяемой формулами (3.7), (3.12), (3.13), (3.14), в математическом отношении очень сложно, так как оно является интегродифференциальным по углу "O'. Стандартный метод решения кинетических уравнений состоит в том, чтобы превратить интегродифференциальное уравнение в дифференциальные путем приближенного описания угловой за­ висимости распределения по скоростям. Представим решение урав­ нения в виде разложения по полиномам Лежандра Рк (cos -ft):

1 , cos ft,...,

/ ( г ,V, ft) = l/o (f, у) -f cos ft/i (f, 17) + ~ (3 cos2 ft — 1) f 2{t, v)-\- ...

(3.15)

ипоставим задачу отыскания функций / 0, Д, / 2... Главный член разложения / 0 определяет функцию распределения электронов по энергиям, так как в силу ортогональности полиномов Лежандра

исогласно формулам (3.2), (3.3)

1

§ / dQ, =з 2тс § P0fd (cos ft) — 4зт/ 0 — ф(г?)/у2 = m*!tn (&)/ Y 2е. (3.16)

—1

Для многих задач знания угловой зависимости функции рас­ пределения вообще не требуется и единственной целью решения кинетического уравнения является отыскание одной лишь ее изотропной составляющей /„.

Представление функции распределения в виде ряда (3.15) облегчает задачу решения кинетического уравнения лишь в том случае, если в разложении можно оставить небольшое число чле­ нов, скажем два, а остальные отбросить. Поскольку причиной, вызывающей угловую зависимость функции Д является поле, то, очевидно, такой способ решения имеет смысл в случае небольших полей. В отсутствие поля решение уравнения (3.6) от направления скорости не зависит. Следовательно, разложение (3.15) можно рассматривать как разложение по малому параметру, который пропорционален величине поля: Д — Е, Д ~ Е2 и т. д. Что на са­ мом деле представляет собой этот малый параметр, который, ко­ нечно, является безразмерным, станет ясно из дальнейшего.

Для того чтобы вывести уравнения, которым подчиняются новые функции /„, Д, Д ,..., будем умножать кинетическое урав­ нение (3.6) на Р т и интегрировать по углам с учетом ортогональ­ ности и других свойств полиномов Лежандра [2]. Получающиеся в результате вычислений первые три уравнения имеют вид

93

dh_eE_ dt m

CTdQ. (3.18)

Выражения в квадратных скобках слева легко получить путем непосредственного вычисления, так как первые несколько поли­ номов выглядят очень просто. Точки в скобках означают, что опу­ щены малые по отношению к оставленным члены порядка Е2,

Е4 и т. д.

Система (3.17) выписана с гораздо большей степенью полноты, чем это фактически потребуется для приближенного решения. Это сделано для того, чтобы продемонстрировать, как «зацепляют­ ся» уравнения и почему так получается, что в разложении (3.15) fk ~ Е&. Ограничимся только двумя первыми членами разложе­ ния (3.15), представив функцию распределения в простейшей форме

/ = /o + /iCostf = /0 + (-^-g(y), g(v) = -f ± p . (3.19)

Соответственно ограничимся двумя первыми уравнениями (3.17), опустив в них члены порядка / 2 и выше. Тогда система из этих двух уравнений относительно неизвестных функций / 0 и / х

становится замкнутой.

Рассмотрим первое из уравнений (3.17). Интеграл по углам от слагаемого h в (df/dt)CT (формулы (3.7), (3.12), (3.13)) автомати­ чески обращается в нуль при любой функции / (й) (действитель­ но, число электронов с любым направлением скорости от упругих столкновений не меняется). В слагаемом / 5 , которое и само по себе мало, так как оно пропорционально т/М, оставим только старший член / 0. Тогда эта величина становится не зависящей от направ­ ления скорости и равной

В таком виде согласно (3.18) она и включается в качестве сла­ гаемого в L0. В слагаемом Q (/) (3.7) мы также оставим только старший член функции распределения / 0, поскольку величина Q (/) мала из-за редкости неупругих столкновений. Таким обра­ зом, первое из уравнений (3.17) превращается в уравнение

Как следует из этого уравнения, в отсутствие поля распределение электронов по энергиям изменяется с течением времени из-за

94

упругих и неупругих потерь энергии, причем упругие потери дают­

Рассмотрим второе из уравнений (3.17). Слагаемое, пропор­ циональное / 2, в левой части опускаем. В интеграле Lx слагаемые подынтегральной функции cos й / а и cos й Q при интегрировании

Старший член в этом интеграле, который мы только и оста­ вим, пропорционален / х, так как / 0 (П) = const. Тогда

Li = -g^fi (у) vc(v) ^cos й dQ ^ (cos й' — cos й) q (0 ) dQ'.

£2 £2'

cos й' = cos й cos 0 + sin й sin 0 cos ф',

найдем

^ (cos й' — cos й) q (0 ) dtp’ sin 0d0 = cos й (cos 0 — 1 ).

Заметим, что до сих пор мы еще нигде не оговаривали харак­ тер зависимости поля от времени. Уравнения (3.21), (3.22) опре­ деляют асимметричную функцию распределения электронов (3.19)

95

в любом достаточно слабом однородном поле Е (t) постоянного направления, в частности в случае постоянного поля.

Применим уравнения (3.21), (3.22) к случаю монохромати­ ческого поля. Для наглядности представим поле в действительной форме Е — Ео sin соt. Временная зависимость симметричной ча­ сти распределения / 0 или распределения по энергиям складывает­ ся из двух частей. Это, во-первых, возможная медленная зависи­ мость, вызванная упругими и неупругими потерями энергии при столкновениях или рождением (исчезновением), она определяется слагаемыми / 0 и Q (/0) в (3.21). На это медленное изменение / 0 налагается вызванная переменным полем высокочастотная сос­ тавляющая порядка Efx — Ег. Ясно, что физический интерес представляет энергетический спектр электронов, усредненный по периоду колебаний поля. При интегрировании (3.22) мы в правую часть подставим усредненную за период колебаний функцию <д/0/дг;> (высокочастотная составляющая дала бы в fx (t) член высшего порядка по Е). Интегрируя (3.22), получим

Подставим (3.23) и (3.20) в (3.21) и усредним уравнение по вре­ мени за период колебаний поля, выделяя только «медленную» вре­ менную зависимость/0. При этом <cos wf sin a>t} = 0, a <sin2w£} = = 1/2. Опуская знак усреднения < ) у / 0, получим уравнение для функции /о (t, v)

Переходя от функции / 0 к функции распределения по энер­ гиям с помощью формулы (3.16) (напоминаем, что п (г) de = = 4ju?f0dv), представим (3.24) в виде уравнения для энергетиче­ ского спектра

13.2. Параметр разложения и пределы применимости. Пределы применимости уравнения (3.25) фактически определяются допу­ стимостью пренебрежения членами порядка / 2 и выше в разло­ жении (3.15), т. е. возможностью представить асимметричную функцию распределения в простейшей форме (3.19). Рассмотрим

случай высоких частот, когда co2 ^>VmКак видно из равенства (3.22), по порядку величины

96

где и — еЕ0/ты — амплитуда скорости колебаний электронов в поле. Далее, из третьего уравнения (3.17) следует, что по поряд­ ку величины

Точно так же, рассматривая последующие уравнения, мы убе­ дились бы в том, что каждый следующий член разложения (3.15) отличается от предыдущего множителем порядка u/v. Таким образом, параметром разложения (3.15) является величина eE0/ma>v = u/v — отношение скорости колебаний электронов в по­ ле к характерной скорости хаотического движения. Параметр этот пропорционален полю, и условие справедливости приближе­ ния заключается в том, чтобы параметр этот был малым: и v. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, это условие выполняется (см. оценки в разделе 4), так что урав­ нением (3.25) пользоваться можно.

В низкочастотном случае co2<^Vm, который по существу соот­ ветствует пределу постоянного электрического поля, как видно из (3.22) или (3.23),

, еЕ /о мс ,

где ис — eE/mvm = еЕ хт/т — дополнительная скорость, кото­ рую приобретает электрон, ускоряясь в постоянном поле Е, в течение времени хт между двумя столкновениями. Характерным масштабом времени для изменения высших составляющих в раз­ ложении (3.15) является именно время между столкновениями, так что из третьего уравнения (3.17) следует, что / 2/хт ~ (еЕ/m) (fi/v), т. е. в этом случае параметром разложения является вели­ чина ujv. Для справедливости приближения нужно, чтобы элект­

В случае действительно постоянного электрического поля сле­ дует положить dfjdt = 0 и (3.22) дает f1 — (еЕхт/т) (дf 0/dv). Эта формула была выведена еще Лорентцом, который решал ки­ нетическое уравнение для свободных электронов в металле с целью определения проводимости (см. подраздел 13.4), решал его в сущности тем методом, о котором говорилось выше. Уравнения для энергетического спектра (3.24) или (3.25) сохраняются в силе

идля этого случая, если положить в них со = 0 и E\i 2 = Е2.

13.3.Неупругие столкновения и диффузионные потери. Для того чтобы сделать уравнение (3.25) вполне определенным, необ­ ходимо еще* раскрыть выражение^ Q, описывающее неупругие процессы. Уход электронов в 1 сек из энергетического интервала de, связанный с процессами возбуждения и ионизации атомов,

равен п (е) de v* (е) и п (б) dev, (е), где v* (е) и v* (е) — частоты воз­ буждения и ионизации, v* (е) = Navo*, vt (е) = Navat, а о*, аг — сечения соответствующих процессов. В акте возбуждения элект­ рон, обладающий начальной энергией е', теряет энергию /* , рав­ ную потенциалу возбуждения, плюс еще небольшую энергию еа, которая, как и при упругом соударении, идет на сообщение ато­ му такой скорости va, чтобы суммарный импульс электрона и ато­

на, величиной еа практически можно пренебречь. Следовательно, обладая вначале энергией е' в интервале de', электроны после акта возбуждения остаются с энергией е ж е ' — I* в таком же интервале de — de'. Таким образом, сколько электронов уходит

слагаемое, связанное с актами ионизации. В результате акта йот

нии электрона с энергией е' энергия одного из электронов после ионизации будет равна е и попадет в интервал de. Вероятность q

2 перед интегралом появляется из-за того, что любой из двух «рождающихся» электронов попадает в интервал от е до е + de с вероятностью q. Если электроны прилипают к тяжелым частицам с частотой vnj>, <?Пр — — пхпр. Так же можно учесть и рекомби­ нацию; впрочем, в условиях развития лавины рекомбинация

98

обычно несущественна (для этого электрон должен встретиться с ионом, а последних, так же как и электронов, мало).

Пространственную диффузию электронов можно было бы стро­ го учесть, если бы мы сохранили в исходном кинетическом уравне­ нии (3.5) член с пространственным градиентом v df/dv. Это, конеч­ но, усложняет, вернее, загромождает, вычисления (см. [4]), и мы сознательно обходим этот момент, ибо главное внимание должно быть сосредоточено на вопросе о распределении по скоростям. В приближении (3.19) выражение для диффузионного потока элект­ ронов имеет обычную форму. Условие справедливости такого при­ ближения, т. е. условие, обеспечивающее возможность пренебре­ жения членами высших порядков в угловом разложении функции распределения, состоит в малости пространственных градиентов функции. Плотность электронов должна слабо меняться на рас­ стоянии порядка длины пробега электрона, т. е. размеры области, в которой действует поле, должны быть гораздо больше, чем про­ бег электрона. Фактически в расчетах лавины и пробоя диффу­ зионный уход электронов учитывается просто путем добавления к правой части уравнения (3.25) слагаемого

— «частота» диффузии, т. e. величина, обратная времени диффу­ зионного ухода электрона из области действия поля (см. подраз­ дел 6.2). Функция п (е) при этом считается не зависящей от коор­ динат. Пространственное распределение электронов приближенно учитывается путем соответствующего определения характерной диффузионной длины А, которая для каждой геометрии опреде­ ленным образом связана с размерами области. Формально это получается, если сохранить в кинетическом уравнении член с пространственным градиентом, но в дальнейшем разделить пере­ менные, представив функцию распределения в виде произведения функций от пространственных координат и скорости [4].

Итак, в уравнении (3.25)

где соответствующие слагаемые определяются формулами (3.26)— (3.30). Заметим, что в молекулярных газах необходимо учитывать

вQ и столкновения, сопровождающиеся возбуждением колебаний

вмолекулах. Они описываются слагаемыми типа (3.26).

13.4.Проводимость и диэлектрическая постоянная. Одним из

важных результатов, который немедленно следует из приближен­ ного представления функции распределения в виде (3.19) и уста­ новления связи (3.23) f1 с / 0, является уточнение элементарных формул (1.14), (1.21) для проводимости и диэлектрической по­ стоянной ионизованного газа [2]. Подставим (3.19) в общее вы-

ражение (3.4) для плотности полного тока. Вследствие осевой симметрии функции распределения ток направлен только вдоль поля, и величина его равна

Подставим сюда выражение (3.23) для f1. Та часть тока, ко­ торая находится в фазе с полем, т. е. пропорциональна полю и sin соt, представляет собой по определению (по закону Ома) ток проводимости. Та часть, пропорциональная cos соt, которая сдвинута по фазе по отношению к полю на л/2, т. е. пропорцио­ нальна dE/dt, есть ток поляризации. В соответствии с определе­ ниями проводимости а и диэлектрической постоянной ed найдем

оо

Если частота столкновений vm(v) не зависит от скорости, то, интегрируя по частям с учетом (3.1), (3.16) и принимая во внима­ ние, что при v ->■ сю / 0 (г;) 0, получим формулы (1.14) и (1.21). Таким образом, условием справедливости элементарных формул является независимость частоты столкновений от энергии элект­ ронов. Выражение (3.31) совпадает с формулой, которая полу­ чается при предельном переходе от квантового принципа деталь­ ного равновесия к классике (см. подраздел 5.3).

14.Квантовое уравнение и переход к классике

14.1.«Блуждания» по оси энергии. По самому существу клас­ сических представлений об изменении энергии электрона в поле распределение электронов по энергиям является функцией не­ прерывной. Дело не только в том, что кинетическое уравнение опи­ сывает статистическое поведение большого числа частиц, которые могут начинать движение с самыми различными скоростями. Функцию распределения всегда можно трактовать в вероятност­ ном смысле. Величина / (t, v) dv/-Ne представляет собой вероят­

ность того, что тот единственный электрон, за которым мы следим,

ную скорость и энергию, все равно с течением времени вероят­ ность обладания какой-то энергией е «расплывается», становится

100