книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

в 1 см , в интервал частот da и интервал телесного угла dQ около

какого-то направления О, j^dadQ, (/„ — это излучательная спо­ собность газа).

Для тормозного излучения эта величина равна Ne (dQw)dQ/4.n, где а(Ло усредняется по спектру скоростей электронов. В процессе усреднения вклад электронов с различными скоростями просто суммируется. Далее, пусть (Q) dco^£2 — количество лучистой энергии обеих поляризаций частоты со в интервалах частот da и телесного угла dQ около направления £2, которое проходит в 1 сек через площадку в 1 см2, нормальную к направлению распростра­ нения Q; / шназывается интенсивностью излучения. Поглощается из интервала dadQ в 1 см3 в 1 сек энергия Iwda di2цш, где — не­ который средний по спектру электронов коэффициент поглощения. В отличие от испускания о способе усреднения заранее ничего определенного сказать нельзя. В подразделе 4.2 мы видели, что поглощение волны — это средний результат некоего процесса, при котором энергия электрона все время меняется, и будет ли просто суммироваться вклад в поглощение электронов с каждой данной энергией, заранее сказать трудно. Как станет ясным из дальнейшего, простое суммирование осуществляется только при

ставляя равенство излучения и поглощения и подставляя dQw, по формуле (1.28) найдем коэффициент поглощения

Из этой формулы видно, что только при условии независимости частоты столкновений vm от скорости электрона мы приходим

ранее Ф°РмУле (1Л8) ДЛЯ Що (поскольку (mv2y =

-- const. Этот вывод следует и из более строгого вычисления ко­

эффициента поглощения, основанного на применении кинетическо­ го уравнения для электронов [11, 16] (см. также гл. 3).

31

5.Нарастание энергии электронов

вполе фотонов

5.1.Стохастический характер квантового процесса. Еще в первой работе Мейерэнда и Хота [6], о которой говорилось в раз­ деле 2, отмечалось, что оптический пробой в плотных газах сле­ дует трактовать как процесс лавинной ионизации, но что теория СВЧ-пробоя к данному случаю, видимо, неприменима, так как энергия колебаний электронов в поле и среднее приращение его энергии при столкновении гораздо меньше величины кванта.

Действительно, для частоты рубинового лазера со = 2,7 •1015 рад/сек и пробивающего поля Е ж 107 в!см по классической формуле (1.10) Де = 2еКОл ~ 2,3-10~2 эв, что на два порядка меньше, чем Па, = 1,78 эв. Нарастание энергии электрона в поле при этом следует рассматривать с позиций квантовой теории, и основным механизмом поглощения света, как указывалось в [6], является эффект, обратный тормозному испусканию кванта при упругом рассеянии электрона нейтральным атомом. Для краткости в даль­ нейшем будем называть его тормозным поглощением. (В сущности это квантовый аналог процесса, который рассматривался в раз­ деле 4.)

Лавинная теория пробоя на основе квантовых представлений была впервые развита в работе Я. Б. Зельдовича и автора [17]

в1964 г., вслед за появлением первой публикации по эксперимен­ там с оптическим пробоем [6]. В этом разделе мы рассмотрим толь­ ко элементарные процессы и разберем вопрос о взаимоотношении квантовых и классических представлений о нарастании энергии

вполе электромагнитной волны и поглощении света. Расчеты ла­ вины и пробивающих полей для лазерного пробоя будут изложены

вгл. 4; там же будет говориться и о других теоретических работах на эту тему.

Для того чтобы сразу было ясно, какие вопросы должны нас интересовать в первую очередь, если мы задались целью объяс­ нить процесс размножения электронов в поле фотонов, целесообраз­ но с самого начала пояснить, как протекает этот процесс.

Основным механизмом нарастания энергии электрона является поглощение световых квантов при столкновениях с атомами. Как

ив классической теории, столкновения здесь играют решающую роль, т. к. изолированный электрон не может поглощать кванты — это противоречило бы закону сохранения импульса. Действитель­ но, приобретая энергию, электрон получает и импульс. Между тем импульс фотона ничтожно мал. Следовательно, в акте поглоще­ ния должна участвовать еще одна частица. Таковой в данном случае является атом, который воспринимает импульс отдачи.

Чтобы достичь потенциала ионизации, электрону достаточно приобрести энергию, соответствующую сравнительно небольшому

32

квантов. Наряду с актами поглощения все время совершаются акты вынужденного испускания квантов под действием светового поля, опять же при столкновениях с атомами. Оказывается, что вероятности тех и других актов почти одинаковы, но с превыше­ нием вероятности поглощения. Электрон совершает некий стоха­ стический процесс блуждания по оси энергии, то приобретая энер­ гию, то отдавая ее порциями Йсо, но в конечном счете энергия его все же постепенно возрастает до величины, необходимой для того, чтобы произошел акт размножения. Очевидно, чтобы рассчитать время, которое для этого потребуется, необходимо знать частоту скачков по оси энергии, которая определяется вероятностями по­ глощения и вынужденного испускания квантов или соответст­ вующими коэффициентами.

5.2. Поглощение и вынужденное испускание квантов при столк­ новениях электронов с атомами. Коэффициенты тормозное по­ глощения и вынужденного испускания можно приближенно вы­ числить при помощи полуклассического приема, в основе своей подобного тому, которым Крамере еще в 1923 г. нашел коэффи­ циент тормозного поглощения, соответствующий рассеянию элек­ тронов в поле ионов. Существо этого приема состоит в том, чтобы от классической формулы для интенсивности тормозного испускания частоты со перейти к квантовому эффективному сечению испуска­ ния кванта Йоз (подробно см. об этом в книге [14]). После этого коэффициент обратного процесса — поглощения легко опреде­ лить, воспользовавшись квантовым принципом детального равно­ весия.

Количество энергии, которое электрон со скоростью v, стал­ киваясь с атомами, излучает в 1 сек в спектральном интервале den, по классической теории дается формулой (1.28). На кванто­ вом языке эту энергию следует представить в виде Ha>Navdaш, где doa — дифференциальное сечение испускания квантов от /ко до На + d(/ko). Определим приближенно квантовое сечение из­ лучения, приравнивая эту величину классическому выражению dQa. В результате найдем

В силу существования корреляции между отдельными столкно­ вениями сечение в общем случае оказалось зависящим от плот­ ности газа (через vra = Navom). ^

Как следует из самого вывода, формула (1.30) должна быть справедливой применительно к излучению малых квантов Гт

е = тгз2/2. Однако известно, что вычисленные таким же спо­ собом сечения тормозного излучения при рассеянии электрона ионами превосходно согласуются^ с точными квантовомеханиче­ скими результатами для квантов, сравнимых с энергией электрона, чуть ли не до самого предела Йозтах — е [14]. Имеются щквантовомеханические расчеты тормозных сечений для столкновений

с нейтральными атомами [18, 16]. Сравнение с ними простой формулы (1.30) показывает, что формула дает результаты, вполне приемлемые для практического использования. Квантовомеха­ нические формулы и выводы их, как правило, весьма сложны.

Воспользуемся теперь принципом детального равновесия Эйн­ штейна для излучения.

Обозначим cp (у) функцию распределения электронов по ско-

оо

1 сек в интервал частот dco и интервал телесного угла dQ электро--

С учетом вынужденного испускания эту величину следует помножить на 1 + я, где п — число фотонов с определенным на­ правлением поляризации, уже находящихся в той же фазовой

дано в подразделе 4.5. Полное испускание с учетом вынужденного есть

(„') dvV (l + U /„). (1.32)

Пусть после испускания кванта Йсо скорость электрона стано­ вится равной V. Скорости у' и v связаны законом сохранения энергии

Обозначим коэффициент тормозного поглощения, рассчитан­ ный на один атом и один электрон скорости у, аи (у) см5. Количе­ ство лучистой энергии из интервала dcodO, которое поглощается в 1 см3 в 1 сек электронами, обладающими скоростями от у до у + dv, есть

Аналогично определим понятие коэффициента вынужденного испускания Ъш(у') см5 так, чтобы величина

давала количество энергии, испускаемой вынужденным образом электронами со скоростями у'. Эта величина эквивалентна второ­ му слагаемому в (1.32). Сопоставляя (1.35) и (1.32), получим связь двух радиационных коэффициентов из трех (аш, Ъш, da^/dw):

34

По принципу детального равновесия при полном термодинами­ ческом равновесии величины полного испускания (1.32) и погло­ щения (1.34) в точности равны. Подставляя в это равенство рас­ пределение Максвелла

и имея в виду соотношения (1.33), найдем еще одну связь коэффи­ циентов:

Подставляя в формулу (1.39) найденное приближенно сечение тормозного излучения (1.30), получим формулу для коэффициента

где а^к — классический коэффициент поглощения, определяемый формулой (1.18), но рассчитанный на один электрон и один атом:

Мы специально так сгруппировали сомножители в формуле (1.41), чтобы выделить эту величину.

По поводу выражения (1.41) необходимо сделать несколько за­ мечаний. Конечно, эту формулу следует рассматривать как сугубо приближенную, полукачественную. Строго она справедлива лишь в пределе малых квантов Й ох^е'. Формально она должна

содержать еще множитель [со2 + (е)]/[со2 + v2m (е')], но, помня о том, что принятый корреляционный коэффициент, строго говоря, правилен, только если vm (г) = const, мы положили указанный множитель равным единице. Вообще на оптических частотах, как

правило, со2 Jg> и корреляция сказывается только при очень высоких давлениях газа (однако эффект корреляции проявился

на опыте, см. гл. 2). Если интересоваться частотами co2^>Vm> когда корреляции нет, то требование постоянства частоты стол­ кновений vm (е) = const не обязательно. Поэтому мы сохранили в формуле фактическую зависимость о т (г).

Однако, распространяя классическую формулу (1.28) для тор­ мозного излучения на случай излучения больших квантов, следу­ ет, по-видимому, учесть неодинаковость энергий электрона до и

коэффициенты аа и Ьа для аргона и гелия на частоте рубинового лазера. В основу расчетов положены экспериментальные кривые сечений упругих столкновений, изображенные на рис. 1.7 (там же приведены кривые для молекул воздуха). На этих рисунках вме­ сто эффективного сечения представлена часто употребляющаяся величина «вероятности соударений» Р с, по определению равная

36

числу столкновений, которое испытывает электрон, проходя расстояние в 1 см при давлении газа р0 = 1 мм рт. ст. и Т = 0° С. Эта величина связана с сечением и частотой столкновений соотно­ шениями ос — 0,283 -10~16 Рс см2, vc = Pcvpотор сек-1, где р0 —

«приведенное» давление, характеризующее плотность газа, р 0 =

=273 р/Т°, р — фактическое давление.

5.3.Предельный переход к классике. Вернемся к общим соот­ ношениям между радиационными коэффициентами для непрерыв­ ного спектра, не конкретизируя выражения для них, которые полу­

чаются путем фактического вычисления одного из коэффициентов для каждого процесса.

Если из опыта находится изменение интенсивности луча света при прохождении через среду, это в принципе не дает возможно­ сти различить эффекты истинного поглощения и вынужденного испускания. Изменение интенсивности зависит от результирую­ щего коэффициента поглощения, который определяется разно­ стью между поглощением и вынужденным испусканием. Такой ко­ эффициент поглощения иногда называют эффективным или ис­ правленным на вынужденное испускание. Как следует из выра­ жений (1.34) и (1.35), результирующий коэффициент поглощения

электрон еще может испустить квант На.

Подставим в это выражение Ьш(г/) по формуле (1.40) и вос­

Роль вынужденного испускания сводится к уменьшению сред­ него коэффициента истинного поглощения множителем 1 —

— ехр (—Ha/кТ). Вклады вынужденного испускания и истинного

ет малую разность порядка ha/кТ двух больших и почти одинако­ вых эффектов поглощения и вынужденного испускания.

37

Результаты квантовой теории должны переходить в классиче­ ские в пределе малых квантов, т. е. при Йсо 0. Пусть Ясо —v 0 в общей формуле для результирующего коэффициента поглоще­

Выражая коэффициент а« через сечение испускания по форму­ ле (1.39) и принимая во внимание, что, по определению, haiNavd<jw представляет собой количество энергии, испускаемой в da и во все стороны одним электроном в секунду dQa, получим предельный коэффициент поглощения

Соотношение (1.45) имеет самый общий характер и справедливо для любого процесса излучения в непрерывном спектре, если dQjdiM — соответствующая этому процессу лучеиспускательная способность одного электрона V Оно было выведено Б. А. Труб­ никовым [20] в 1958 г. в связи с исследованием циклотронного излучения быстрых электронов в термоядерных установках.

Применим общую формулу (1.45) к нашему процессу столкно­ вений электронов с нейтральными атомами. Подставив в качестве dQa точное выражение (1.28), найдем точный классический коэф­ фициент поглощения

Эта формула справедлива при любой зависимости vm (г;) и при произвольном спектре электронов. В частном случае vm (v) = = const, интегрируя (1.46) по частям, получим в точности класси­ ческую формулу (1.18) независимо от характера электронного спектра.

Показательно, что, если исходить не из рассмотрения движе­ ния отдельного электрона, как это было сделано при выводе (1.18), а из кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов ф (г;), получается в точности та же фор­ мула (1.46) (см. гл. 3). Характерным для нее является способ ус­ реднения величины, зависящей от скорости электрона, в котором фигурирует не сама функция распределения электронов, а ее про­ изводная.

1В самом деле, в выражении (1.31) для испускания с самого начала можно было оперировать величиной dQa, не прибегая к понятию сечения

38

Интересно, что соотношение (1.40) в принципе допускает воз­ можность существования отрицательного поглощения электромаг­ нитной волны, т. е. усиления. Для этого в спектре электронов должны существовать участки с нарастающей функцией распреде­ ления д ((fv~2)/dv Д> 0 (нечто вроде инверсной заселенности) и, конечно, частота столкновений должна соответствующим обра­ зом зависеть от энергии электрона [16].

При исследовании вопросов пробоя нас не столько интересует, как поглощается электромагнитная волна, сколько, как нарастает при этом энергия электрона. Как отмечалось в самом начале раздела, процесс этот в квантовом случае имеет четко выраженный стохастический характер (впрочем, в свете сказанного в подразде­ ле 4.2 это относится и к классическому случаю; к этому мы еще вернемся чуть ниже). Поскольку акты поглощения и вынужденно­ го испускания происходят случайно и независимо, всегда есть вероятность того, что электрон поглотит подряд несколько кван­ тов, не испустив ни одного. Рассмотрение такой возможности не­ избежно требует применения методов исследования стохастиче­ ских процессов (по существу применение квантового кинетическо­ го уравнения, см. гл. 3). Однако некоторую среднюю скорость на­ растания энергии электрона можно оценить и более простым путем, в особенности в предельном случае, когда электрон совершает «блуждания по оси энергии» малыми скачками, т. е. в пределе малых квантов. В этом пределе среднюю скорость нарастания энергии электрона можно представить в виде разности скоростей приобретения и отдачи энергии (по существу так же, как и в чисто классическом случае; см. подраздел 4.2).

Если электрон находится в поле излучения / ш и его энергия превышает величину кванта е Тил, то, очевидно, средняя ско­ рость нарастания энергии есть

de/dt = ^dQ^ d&I^Na [аа (и) — Ьш(и)\.

В случае достаточной монохроматичности излучения можно пренебречь зависимостью коэффициентов аши Ьшот частоты в преде­ лах линии излучения и положить просто

где

U =-- ^ IwdmdQ,

по определению,— плотность энергии излучения.

Перейдем к классическому пределу 7ш — 0. G помощью фор­ мулы (1.40) для связи коэффициентов аши получим

lim [аа (v) — Ъа (п)] = В т [аш(г) — [(е — йсо)/е]‘ 2аш(е — Йсо)] ^

~ Тш> [аш(е)/2е ф- daM(&)/ds).

39

Подставляя сюда aw(е) по формуле (1.41), получаем, что при условии независимости частоты столкновений от энергии электро­

Наиболее существенным результатом этого довольно очевид­ ного вывода является заключение об условиях применимости клас­ сической формулы (1.7) [17J. Как следует из самого вывода, усло­ вием приближенной справедливости формулы (1.7) является ма­ лость величины кванта по сравнению не с энергией колебаний электрона в поле, как казалось сначала, а по сравнению с энер­ гией самого электрона е. Это условие На <^; е неизмеримо мягче, чем условие На ек0л, поскольку, как правило, екОЛ в.

Если на оптических частотах На не меньше, а, напротив, го­ раздо больше, чем екол, то условие На е с какой-то степенью приближенности еще можно принять. Действительно, основную роль в спектре электронов в условиях пробоя играют энергии^порядка нескольких и даже десяти электрон-вольт, тогда как для ру­

ческого описания процесса нарастания энергии электрона в поле при условии, что среднее приобретение энергии в одном столкно­ вении Де<^ Йсо, но 8 На, аргументируется доводами только математического характера. Физическая сущность процесса оста­ ется квантовой. Так, в примере, приведенном в начале подразде­ ла 5.1. при интенсивности излучения рубинового лазера S = 2,8х Х10п вт/см? и поле Е = 107 в/см получалось Де = 2,3-10~гэв, что примерно в 80 раз меньше На = 1,78 эв. Это означает, грубо говоря, что электрон испытывает семьдесят девять столкновений, не приобретая от поля никакой энергии Де, а на восьмидесятый раз сразу получит полную порцию На = 80 Де.

5.4. Параллель между квантовой и классической теориями и многоквантовые тормозные процессы. Итак, мы убедились в том,

что в квантовом случае среднюю скорость нарастания энергии электрона в поле излучения можно в каком-то смысле рассматри­ вать как разность между скоростью истинного поглощения и вы­ нужденного испускания квантов, как результат одновременного влияния этих противоположных воздействий. Но в сущности с та­ ким же положением мы имеем дело и в чисто классическом случае, когда в каждом отдельном столкновении электрон может как при­ обретать энергию от поля, так и отдавать ее, и средний прирост энергии на столкновение Де^также определяется результирующим эффектом этих противоположных влияний. То же относится и к

40