книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

В переменных z, у уравнение для частоты ионизации имеет

вид

Оно определяет функцию z (у) при данных значениях параметров

очень наглядный физический смысл. Допустим, что частота возбуж­

121

Чтобы уяснить физический смысл этого равенства, составим

отношение потоков но энергетической оси в точках Д и Д. С по­ мощью определения потока / по формуле (4.7), выражения (4.17) и граничного условия (4.10) найдем

а = j (Д)// (l[) = ауЦус,h [{а — 1) у] + sh {(а — 1) г/]}. (4.27)

Эту величину можно приближенно интерпретировать как ве­ роятность электрону, обладающему энергией Д, проскочить через

Эти соотношения имеют ясный физический смысл. С точностью до численного коэффициента а2 (порядка 1) частота ионизаций

определяется временем набора необходимой энергии Те = и вероятностями электрону, во-первых, проскочить «опасную»

зону, а, и, во-вторых, совершить ионизующее столкновение после этого, (5. Электрон т = 1/сф раз совершает цикл движения по энергетической оси, набирая энергию выше потенциала возбуж­ дения и без пользы теряя ее, прежде чем ему удастся ионизовать атом. Разумеется, оценочную формулу (4.28) можно было бы запи­ сать и непосредственно из физических соображений, но без рас­ смотрения кинетического уравнения трудно было бы сколько-

характерную форму. Положим, что ширина «опасного» энергети­

2a exp [— (а — 1) у] = 2 exp

где АДа = А2/25(Д) — время, примерно в течение которого элек­ трон диффундирует через участок А на энергетической оси.

В противоположном предельном случае малых потерь на участ­

1 Вообще говоря, в нестационарном случае такой вероятностью следовало

= 1 — а~г ж 0,3, временной множитель близок к 1.

122

V, = 0,8 уе- Е с л и же считать (5 1 и произвести разложение sh ау по малой в этом случае величине ау, найдем ау ~ 6|3 или V; = ve(3. Чтобы произвести размножение, электрону требуется совершить 1/р циклов движения по энергетической оси, что также естественно.

Сама функция Fx непосредственно определяется функцией F, вве­ денной выше. Подобие по Е/р, как известно, свойственно многим важным величинам, характеризующим поведение ионизованного газа в постоянном поле [4,23], например скорости дрейфа электро­

ля на 1 см. Отношение ai/p является функцией Е/р. Величина же ионизации, производимой электроном при прохождении разности потенциалов в 1в, гц = а ,[Е — Vj/p,e£'2, сама является функцией

Е/р.

Полученное выше решение для частоты ионизаций позволяет оценить первый таунсендовский коэффициент сс* или коэффициент Ц;. Для этих величин имеются экспериментальные данные, и интересно сравнить расчет с экспериментом. Рассмотрим случай малых Е/р, т. е. больших неупругих потерь и малых частот иони­

разумное согласие расчета с измерениями (упругие потери при этих условиях несущественны). Еще лучшее согласие получается

123

для ксенона. Сечения возбуждения ксенона в отличие от других инертных газов не были измерены до недавнего времени. В 1968 г. появилась работа Диксона и Энгеля [24], по данным которой в интервале от порога I* — 8,4 до 12 эв сечение растет с примерной константой наклона С ж 4-10~17 см2/эв. Выбирая в соответствии

шение Elat в отличие от Е1р для низких. Функция F2определяется функцией F. В крайних случаях низких и высоких давлений, как и в низкочастотном случае, можно написать явные выражения для

Не следует думать, что отмеченные выше законы подобия свой­ ственны лишь приближенному решению. Им подчиняется частота ионизаций, определяемая точным решением уравнения (3.25) (но, конечно, соответствующая установившемуся спектру). В этом легко убедиться путем непосредственного анализа уравнения (3.25) и определения (1.48) частоты ионизаций. Существование подо­ бия имеет большое значение, так как позволяет делать пересчеты от одних условий к другим, позволяет, например, использовать экспериментальные данные по частотам ионизации, полученные путем измерения порогов пробоя в одном частотном диапазоне, для расчета применительно к трудноисследуемому диапазону

ивообще к другим условиям.

16.5.Влияние возбуждения молекулярных колебаний. В под­ разделе 16.1 отмечалось, что расчет лавины в молекулярных газах по сравнению с одноатомными осложняется по двум причинам: во-первых, из-за потерь энергии электронов, связанных с возбуж­ дением молекулярных колебаний и, во-вторых, с присутствием сравнительно низко расположенных уровней электронного воз­ буждения в молекулах. В полной мере эти эффекты учитываются при численных расчетах, как в работах [12, 19], но, конечно, представляет интерес возможность аналитических оценок. Один из эффектов — возбуждение молекулярных колебаний — был приближенно рассмотрен в работе Ю. В. Афанасьева, Э. М. Беленова и И. А. Полуэктова [21]. Это было сделано в рамках урав­ нения типа (3.36) или (4.7).

Вподразделе 14.2 было показано, что член упругих потерь электронов можно преобразовать таким образом, что в выра­

жении для потока по энергетической оси появится слагаемое —nuct соответствующее «сносу» в сторону уменьшения энергии элек­ трона, где ис — Аеупр/тс — «скорость сноса». Это возможно по­ стольку, поскольку потеря энергии электрона Деупр при одном

124

буждения колебаний. К потоку/по энергетической оси добавится слагаемое — nuv.

Сечение возбуждения молекулярных колебаний электронами обычно имеет значительную величину только в сравнительно уз­ ком интервале энергий Де„. Например, в азоте энергетическая ширина пика сечения Де„ ж 2 эв и пик лежит при энергии электро­ нов е„ яг; 2 эв, величина его a<,max ~ 3-10-16 см2. Положим приб­ лиженно, что сечение возбуждения <зи = 0 вне указанного ин­ тервала энергий и частота возбуждений постоянна внутри интер­ вала Де„. Тогда вне интервала остается справедливым уравнение (4.7); остаются в силе и граничные условия (4.10), (4.11), а внутри интервала Де„ к величине / добавляется слагаемое — пив с ив = = const.

Поскольку интервал Де„ узкий и основную роль здесь играет член неупругих потерь на возбуждение колебаний, поток / здесь можно считать постоянным, а в выражении (4.7), описывающем набор энергии под действием поля, пренебречь слагаемым пи по сравнению с 33дп1де (это соответствует приближению Де„

ею). Тогда падение энергетической плотности электронов на участке Де„ получается равным

а„ = ге(е„ + Де„/2)/п(г„ — Дею/2) ^?ехр [— /Mi)BAe„/TB4e„].

Эту величину можно приближенно интерпретировать как

упругие столкновения, в том числе и возбуждение колебаний в молекулах азота. Спектры электронов в гелии и аргоне обладают

125

п, 1/яВ

Рис. 4.3. Рассчитанные [12] функции распределения электронов

Интенсивность излучения рубинового лазера 7,8-1010 егп/см2; функция нормирована условием S / (е) VTTde = 1

Рис. 4.4. Энергетический спектр электронов, полученный путем решения упрощенной задачи

Пунктир — точное численное решение Фелпса [12]

очень слабо выраженной периодической структурой с периодом, равным энергии фотона Йсо = 1,78 эв. В азоте периодическая структура выражена чрезвычайно резко. Наряду с квантовым численно решалось и классическое кинетическое уравнение при том же самом отношении Е/аз, которым характеризуется действие

поля в условиях, когда ю2 Для аргона и гелия квантовый и классический спектры почти совпали, в азоте различие значи­ тельно.

Оценка по формуле (1.59) показывает, что при значении Е/аз =

ны, и, следовательно, можно сопоставить найденное выше при­ ближенное решение с точным расчетом Фелпса (в гелии упругие

следующий из приближенного решения подраздела 16,3* пред­ ставлен на рис. 4.4. Расчет сделан со следующими значениями параметров: Е/оз = 2-10~9 в сек/см, как и в точном решении, а =

= VTJFi = 1,2, р = 0,2, vm/v* = 26.

Пунктиром на том же рисунке нанесен точный спектр, который получается по данным рис. 4.3(функцию / рис. 4.3 надо умножить

126

лрад/сек

Соответствующая этой зависимости логарифмическая прямая lg vb/Na = 7,3+ 2 lg Eliо с удовлетворительной точностью сов­ падает с кривой Фелпса в области больших полей, когда только и имеет смысл сравнивать приближенный расчет с точным. При малых полях существенны упругие потери, частота возбужде­ ний становится относительно меньше, и кривая Фелпса отклоняет­ ся вниз от асимптотической прямой. Но на этот случай прибли­ женный расчет и не распространяется.

В работе Нильсена, Канавана и Роквуда [19] численно реша­ лось нестационарное квантовое уравнение (3.33) для молекуляр­ ного дейтерия в поле излучения рубинового лазера (также с уче­ том возбуждения колебаний). Спектр быстро устанавливается во времени. Считалось, что энергия электрона может принимать зна­ чения, только кратные Н оу, проведенная через дискретные точки

127

кривая подобна гладким кривым рис. 4.3 без периодической струк­ туры.

16.7. Сверхсильные оптические ноля. Выше, в разделах 16.1 — 16.4, предполагалось, что электроны, достигшие энергии / 1, мгновенно совершают неупругие столкновения с атомом. Это до­ пустимо, если среднее время, необходимое для неупругого стол­ кновения при е = 1г l/vHeyn (Л), гораздо меньше, чем время нарас­ тания энергии в поле до величины т. е. vjj ^неуп (1г). При пробое газов наносекундными лазерными импульсами это нера­ венство выполняется достаточно хорошо. Так, например, при про­

секундными импульсами, когда пороговые интенсивности дости­ гают 1013—1016 вт/см2(см. раздел 9). В этом случае скорость раз­ вития лавины лимитируется не набором необходимой энергии в поле, что происходит быстро, практически за одно столкновение, а относительно малой скоростью неупругих столкновений. (В очень сильных полях возбужденные атомы немедленно фотоионизуются', так что любое неупругое столкновение ведет к размно­ жению.) Развитие лавины в таких условиях рассматривалось в

ботах было составлено (на чисто классической основе) и решено кинетическое уравнение для функции распределения электронов по энергиям. Для использования классической теории здесь име­ ются даже большие основания, чем при пробое наносекундными импульсами. В очень сильном поле при столкновении электрон приобретает большую энергию, превышающую hw (так, при S = = W14 вт/см2 Ае = 8,6 эв ж БД со), что и свидетельствует о «клас­ сичности» процесса *.

В ходе решения кинетического уравнения в [17] определяется постоянная времени лавины 6. Мы не будем останавливаться на этом решении, которое довольно громоздко, но для пояснения су­ щества дела выведем формулу для 0 из элементарных соображений (конечно, с точностью до численного коэффициента).

1Авторы [17] исходили прямо из уравнения (3.25) для распределения элект­ ронов по энергиям п (е). Было бы интересным, однако, вывести такое урав­ нение из общего уравнения, (3.6) для функции распределения по скоростям применительно к данному случаю. Дело в том, что в сверхсильных полях нарушается условие еЕ/тш 1, при котором^было выведено уравнение (3.25) (см. подраздел 13.2). Поэтому вопрос о применимости уравнения (3.25) сам по себе требует специального анализа.

128

Если скорость нарастания энергии электрона очень велика, время, необходимое для размножения 0, равно примерно сред­ нему времени жизни электрона по отношению к неупруго­ му столкновению тнеуп(ё) при той характерной энергии ё, ко­ торую электрон успевает приобретать в поле за это время. Энер­ гия ё определяется равенством ё = ( dzldt)E тнеуп (ё). Подставляя

сюда ( deldt)E = Aevm и т н е у(ёп ) = [NaY 2г1т ан е у (пё)Н , полу­ чим уравнение для ё. Допустим [17], что электрон до неупругого столкновения успевает приобрести значительную энергию, кото­ рая лежит за максимумом кривой сечения сгНеуп(е), где сечение спадает как 1/е. Полагая а н е у п crmem/e,~ где ет и ат о т н о с я т

к максимуму сечения, найдем ё ж (&.s)2Vmm/2Nlam£m- Постоян­

ная времени лавины 0 ^ т н е у(ёд), откуда 1/0 ж 2NlomSm/mvmA.e. (В [17] это выражение содержит еще множитель я).

Обращает на себя внимание обратная зависимость скорости нарастания лавины от интенсивности света (Аб ~ S ~ Е2)', что является следствием падения сечения неупругих столкновений с энергией Онеуп ~ 1/е в области больших энергий. Таким образом, если в полях умеренной интенсивности скорость развития ла­ вины 1/0 возрастает при увеличении поля, то в очень сильных она падает. Следовательно, зависимость 1/0 от поля имеет максимум.

Это было показано в работе Ю. В. Афанасьева, Э. М. Беленова, О. Н. Крохина и И. А. Полуэктова [18], в которой кинети­ ческое уравнение с явным выражением для члена неупругих по­ терь (типа(3.26), (3.28)) было решено в широком диапазоне интен­ сивностей лазерного излучения. Случаи умеренных полей, соот­ ветствующих обычным наносекундным импульсам, и сверхсиль­ ных получаются из этого решения как предельные. Параметром теории служит отношение характерных скоростей неупругих по­ терь и нарастания энергии электрона в поле р0 = / ^ неуП/ Aevm.

разделе. Максимум скорости развития лавины 1/0 лежит при р0 » 0,25. В работе [18] приводятся функции распределения элек­ тронов, полученные путем численного интегрирования универ­ сального обезразмеренного кинетического уравнения, и безразмеренная зависимость скорости развития лавины от параметра Ро (от поля).

В очень сильных оптических полях с лавинным механизмом ионизации конкурирует механизм многоквантового фотоэффекта. Надо сказать, что детальному теоретическому анализу экспери­ ментальные результаты по пробою пикосекундными импульсами (подраздел 9) не подвергались, хотя, безусловно, это представило бы интерес.

17.Расчеты пороговых полей

17.1.Случай быстрой ионизации возбужденных атомов. К не­ му, по всей видимости, относится пробой рубиновым лазером. Частота ионизаций vt определяется формулой (4.20). Пороговое поле Е можно вычислить при помощи общего, нестационарного критерия пробоя (1.59). Рассмотрим в качестве примера пробой аргона. Здесь имеются удобные для сравнения экспериментальные данные, полученные Алкоком, Де Михелисом и Ричардсоном [25] при помощи одномодового рубинового лазера (см. раздел 7). На­ поминаем, что поле многомодового лазера имеет резкие простран­ ственные неоднородности и определяемая обычно на опыте сред­ няя по сечению фокуса величина может заметно отличаться от тех истинных локальных полей, в которых на самом деле развивается

лавина.

Для тех невысоких давлений, с которыми мы будем иметь дело, со2 vm и частота ионизаций в аргоне приближенно равна

быть существенными только при самой острой фокусировке и самых малых А. При не малых Л диффузионные потери незна­ чительны и расчетное поле не зависит от Л. Для этого случая чисто «нестационарного» пробоя характерна зависимость порога

напротив, значительны и критерий пробоя ближе к «стационар­ ному»: vt ж v d. Для этого случая характерна зависимость Et ~ ~ 1/рЛ, St ~ 1/раА2. При всех фигурирующих здесь полях уп­ ругие потери в аргоне малы.

Рассчитанные пороговые поля согласуются с измеренными по абсолютной величине. Однако уже здесь намечается тенденция, которая особенно разительно проявляется при больших размерах фокуса, фигурирующих в других экспериментах (см. раздел 7). При больших Л диффузионные потери по расчету оказываются несущественными, критерий пробоя становится чисто нестацио­ нарным, и порог перестает зависеть от размеров фокуса. Между тем опыт показывает продолжающееся уменьшение порога при

130