книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

наибольший интерес, и реальных размерах R (миллиметры, сан­ тиметры) плазма достаточно прозрачна для своего теплового из­ лучения и величина Ф определяется в основном ее излучательной способностью. 13 некоторых частях спектра, в частности в спект­ ральных линиях, существенна реабсорбция, но так или иначе для плазмы удается приближенно ввести потери на излучение как функцию ее температуры Ф (Г).

В холодной части волны перед фронтом нагрева далекая уль­ трафиолетовая часть излучения плазмы полностью поглощается, участвуя в нагревании газа. Здесь величина Ф отрицательна и с локальной температурой никак не связана. Возможен даже такой чисто радиационный механизм нагревания холодного газа и прод­ вижения волны разряда, который действует так же, как и тепло­ проводность: перекачивает энергию из нагретой части волны в холодную и тем самым обеспечивает необходимую для диссипа­ ции поля ионизацию. Радиационный механизм распространения будет рассмотрен в разделе 26 применительно к условиям, кото­ рые реализуются при гигантских лазерных импульсах. Оказыва­ ется, эффективность его при этом сравнима с эффективностью детонационного механизма. Лучистый теплообмен, конечно, дей­ ствует и при не очень высоких температурах, отвечающих дозву­ ковым режимам медленного горения, но здесь роль лучистого нагревания, по предварительным оценкам, не превышает роли теплопроводности, и мы будем рассматривать только теплопроводностный механизм распространения.

При очень высоких давлениях, когда плазма сильно поглощает тепловое излучение, на первый план может выступить другая предельная форма лучистого теплообмена —■лучистая теплопро­ водность. При этом вместо включения в уравнение баланса энер­ гии типа (6.25) величины Ф в виде источников следует просто соответствующим образом определить коэффициент теплопровод­ ности X (Т) (см. [5]). Надо сказать, что вопрос о лучистом тепло­ обмене как возможном механизме медленного распространения волн разрядов еще не был рассмотрен должным образом. Все же по расчетам в режимах с не очень высокими температурами и дав­ лениями и при тех радиусах R, которые отвечают представляющим интерес условиям, потери на излучение чаще всего либо меньше теплопроводностных, либо сравнимы с последними, так что не­ точности в задании потерь на излучение не могут кардинальным образом сказаться на результатах расчетов.

Итак, резюмируя все сказанное выше, будем описывать теплопроводностную волну разряда нелинейной системой трех обык­ новенных дифференциальных уравнений первого порядка (6.25),

191

выражается через Т и S при помощи известных материальных функций ‘К(Т), Ф (Т) (функции цш(Т) и Ф (Г) исключи­ тельно быстро стремятся к пулю при понижении температуры в области малых ионизаций). Систолы содержит неизвестный пара­ метр — скорость распространения волны и.

Поскольку координата х входит в уравнения только под зна­ ком дифференциала, порядок системы (6.25), (6.28) можно по­ низить на единицу, поделив уравнения друг на друга. Система сведется к двум дифференциальным уравнениям, например

Систему уравнений необходимо снабдить соответствующими граничными условиями. Условия эти вытекают из физической постановки задачи. Перед волной разряда невозмущенный газ холодный; при отсутствии отражения света от плазмы световой поток S0 здесь определяется только мощностью генератора Р и радиусом луча: Р — S0nR2. Таким образом,

[Из уравнения баланса энергии (6.25) видно, что если темпе­ ратура обращается в нуль только на бесконечности, то вместе с ней автоматически стремится к нулю и поток тепла, так что для системы (6.30), (6.31) условие перед волной гласит:

Поскольку система (6.30), (6.31) не содержит никакой инфор­ мации о пространственных условиях задачи, для нее факт об­ ращения в нуль потока тепла J при Т = 0 не является тривиаль­ ным. Уравнения эти вполне допускают существование интеграль­ ных кривых, для которых при Т = O n S = S0 J=^§.

Граничных условий (6.33), (6.34) достаточно для того, чтобы при заданном значении параметра и начать интегрирование урав­ нений от точки перед волной. Но результат такого интегрирова­ ния при произвольном значении и вовсе не обязательно будет со­ ответствовать условиям задачи. Условия же эти таковы, что газ сначала нагревается в волне разряда, а потом, когда поток элект­ ромагнитной энергии израсходуется настолько, что тепловыделение достаточно упадет, охлаждается до конца из-за потерь энергии, как показано на рис. 6.16. Следовательно, за волной

192

ная «переопределенность» задачи и позволяет в ходе ее решения

теории обычного горения. В результате решения будет определена и максимальная температура Тшах. Именно эту величину естест­

1Заметим, что это конечное значение SK отлично от нуля и часть потока,

пусть даже очень малая, при учете потерь обязательно просачивается на «бес­ конечность». Это связано с тем, что коэффициент поглощения уменьшается при падении температуры чрезвычайно резко и оптическая толщина тем-

ниченна.

2Переопределенность задачи связана с групповыми свойствами уравнений. Общее решение системы (6.25), (6.28), в которую х входит только под

даны на бесконечности, а начало координат мы вправе поместить в любую точку, постоянная Ci, даже в окончательном решении остается неопре­ деленной. Определению подлежат только две, С2 и С3, тогда как гранич­ ных условий три: (6.33), (6.35).

венно называть «температурой плазмы» или температурой «за фронтом разряда».

24.2. Постановка в предельных случаях слабого и сильного поглощения. Зона остывания газа за температурным максимумом в той или иной мере всегда оказывает влияние на продвижение волны. Падение температуры здесь обусловливает отток тепла назад от фронта волны, т. е. дополнительные потери энергии, и эти потери суммируются с потерями тепла через боковую поверхность канала и потерями на излучение. Это видно из уравнений (6.25): в точке максимума температуры dTtdx = 0, d2T/dx2<i 0 и, сле­ довательно, F"^>0. Значит, еще на некотором расстоянии за мак­ симумом энерговыделение от поля продолжает превышать поте­ ри, но к фронту этот результирующий приток тепла уже не посту­ пает, он отводится назад (см. рис. 6.16).

По той причине, что зона остывания влияет на распростране­ ние волны, и приходится при строгой формулировке задачи о ре­ жиме с потерями рассматривать весь цикл, который претерпевает газовая частица, проходя через волну разряда: сначала нагрева­ ние, а затем охлаждение до исходного состояния с Т = 0. Надо сказать, что немонотонность хода температуры и необходимость «вылавливать» представляющую основной интерес величину Ттах, которая лежит где-то посередине волны, приводит к значитель­ ным трудностям при изыскании эффективных способов прибли­ женного решения уравнений; ведь о том, чтобы найти точное аналитическое решение нелинейной системы (6.30), (6.31), и го­ ворить не приходится 1.

Однако в двух практически важных предельных случаях: «слабого» и «сильного» поглощения потока электромагнитной энергии, когда потери энергии играют соответственно большую или малую роль, задачу о режиме можно существенно упростить, вообще исключив из рассмотрения зону остывания газа.

Если свет поглощается слабо в том смысле, что длина погло­ щения L, отвечающая характерной температуре плазмы Ттах, гораздо больше, чем радиус канала R, то в длинном) по сравне­ нию с радиусом столбе тепловыделение от поля остается почти постоянным. Газ нагревается до высокой температуры на расстоя­ нии порядка R или меньше, а затем устанавливается сбалансиро­ ванное состояние, в котором почти вся выделяющаяся энергия расходуется на компенсацию вытекания тепла через боковые стенки канала и потерь на излучение, причем вследствие посто-1

1 При численном интегрировании уравнений в теории режимов обычно применяется метод «попыток». Задаваясь разными значениями параметра и, интегрируют уравнения от одного конца, стараясь попасть в нужную точку на другом конце. «Загнав» искомое решение в «вилку», постепенно делают «вилку» все у же и у же, все уточняя значение параметра. Эффектив­ ный способ численного решения задач такого типа предложен М. О. Розов­ ским [92]. Суть его состоит в том, что параметр и рассматривается фор­ мально как неизвестная функция х и система дополняется новым диффе­ ренциальным уравнением duldx = 0.

194

распространение волны потери энергии в этом случае вообще не влияют, так как основная доля выделившейся энергии выносится вперед благодаря относительно большому градиенту температу­ ры в области ее подъема.

Таким образом, в обоих случаях зона остывания не оказывает влияния на продвижение фронта волны, поскольку отток тепла назад, пропорциональный температурному градиенту за макси­ мумом, гораздо меньше выноса тепла вперед, который пропорцио­ нален градиенту в области подъема. Поэтому ее можно вообще исключить из рассмотрения, считая «концом» волны место, где температура достигает наибольшего значения, и относя это место на бесконечность (см. рис. 6.17, в).

Предельный случай слабого поглощения реализуется на оптиче­ ских частотах при не слишком высоких давлениях, в частности при атмосферном (см. раздел 24.3). Случай сильного поглощения, как правило, реализуется в высокочастотном диапазоне (см. раздел 33), отчасти — в СВЧ (см. раздел 34), а в оптическом — при достаточно высоких давлениях. Впрочем, возможен также не дозвуковой, а сверхзвуковой («сверхдетонационный») теплопроводностный режим распространения лазерной искры, когда плазма не успе­ вает расширяться и потому сильно непрозрачна даже при не очень большом начальном давлении. Но это требует мощностей, соответствующих гигантским лазерным импульсам (см. раздел 25).

В новой постановке, когда считается, что температура за вол­ ной асимптотически стремится к своему «конечному», отличному1

1 Если потери на излучение больше теплопроводностных, следует переоп­ ределить величину It, подразумевая под ней не радиус канала, а харак­ терное расстояние, на котором газ остывает из-за высвечивания.

от нуля значению Тк, граничное условие за волной:

Для системы с исключенной координатой оно согласно урав­ нению (6.25) выражает тот факт, что в конце волны источники исчезают:

= б'рш (Т), а в общей форме (6.27), справедливой для любых частот

и соответственно справедливо также для любых частот. Если по-прежнему оставить в силе уравнение (6.28) для светового по­ тока, то режим без потерь будет описываться уравнениями (6.39), (6.28) с граничными условиями (6.33), (6.37). Для системы (6.30), (6.31) с исключенной координатой имеем условие (6.34), а за вол­ ной —

/ = 0 при S = 0 или Е = 0. (6.40)

Последнее эквивалентно (6.38), так как в отсутствие потерь и в нагретом газе функция источников, т. е. тепловыделение от по­ ля, обращается в нуль только вместе с полем (этот результат также справедлив для любых частот). Температура плазмы Гк и скорость волны и, как и в общей постановке, находятся только в результате решения уравнений. Поскольку потери не учтены, режим существует при любых, даже очень малых значениях по­ тока S0.

Уравнение баланса энергии в отсутствие потерь (6.39) немед­

1Переформулировка одних лишь граничных условий за волной без внесения изменений в уравнения сама по себе к новой постановке задачи не приво­ дит. В самом деле, если температура на бесконечности отлична от нуля, оптическая толщина всего температурного профиля бесконечна и поток S на бесконечности ослабляется до нуля. Но при S = 0 функция F по фор­ муле (6.29)j обращается в нуль только при Т = 0, что и соответствует старой (общей) постановке задачи.

196

Он выражает закон сохранения полного потока энергии, ко­ торый складывается из потоков гидродинамического, теплопроводностного и электромагнитного. Задача теперь сводится к решению одного нелинейного уравнения, скажем, (6.31), где ./ выражено че­ рез Т и S по формуле (6.41). Если отнести равенство (6.41) к точке за волной, придем к общему уравнению баланса энергии в дозву­

которое было получено раньше из рассмотрения волны как гидро­ динамического разрыва (формула (6.4) в разделе 20).

опустить уравнения (6.28), (6.31). Режим описывается уравнения­ ми (6.25) или (6.30) с граничными условиями (6.33), (6.37) или (6.34), (6.38). Конечная температура Тк в данном случае определя­ ется еще до решения дифференциальных уравнений, из алгебраи­ ческого уравнения (6.38)

ном столбе, который заполняет световой канал за волной разряда. Конечно, для существования рассматриваемого режима преж­ де всего необходимо, чтобы уравнение (6.43) относительно темпе­ ратуры при данных значениях светового потока 5 0 и радиуса R имело нетривиальный (отличный от нуля) корень. Однако нали­ чие корня не является условием достаточным, и здесь при анализе этого момента мы подходим к важному вопросу об устойчивости

режима с потерями.

Вернемся к уравнению баланса энергии (6.25), переписав его в виде

Как следует из самой постановки задачи с исключенной зоной остывания, dTIdx > 0 и при асимптотическом стремлении Т Тк, a dTIdx ->• 0, вторая производная d2T/dx2 отрицательна. Учитывая, что второе слагаемое справа имеет при этом второй порядок ма­ лости, найдем, что функция F -> 0 за волной, будучи положитель­ ной. Другими словами, реальному режиму может соответствовать только тот корень функции F (Т), для которого dF/dT < 0. Если та­ кого корня у функции F (Т) нет, нет и режима.

197

можно трактовать как условие устойчивости волны. В самом деле, допустим на мгновение, что возникло стационарное состояние, в котором в точке за фронтом волны разряда при F = 0 dF/dT > 0 . Предположим, что температура за волной по какой-то случайной причине немного повысилась. Это немедленно повлечет за собой превышение тепловыделения над потерями (F станет положитель­ ным), что приведет к дальнейшему разогреву, т. е. к потере устой­ чивости (как бы «тепловому взрыву»). Если температура, нап­ ротив, понизилась, потери станут больше тепловыделения, газ начнет охлаждаться и «горение» погаснет. Напротив, если в ко­ нечной точке dF/dT </ 0, небольшое повышение температуры при­ ведет к превышению потерь над тепловыделением, и температура понизится, вернувшись к стационарному значению. Такое состоя­ ние, следовательно, будет устойчивым.

Приведенные общие соображения об устойчивости и неустой­ чивости стационарного состояния в зависимости от знака про­ изводной dF/dT станут еще более ясными, когда мы познакомим­ ся в следующем разделе с конкретным видом реальных функций F (Т). Дальше станет понятным, и «куда ведет» неустойчивость, и, вообще, когда какой из предельных режимов на самом деле осу­ ществляется.

24.3. Пределы и скорости светового горения. Этот вариант ре­ жима горения со слабым поглощением электромагнитного потока и большими потерями осуществляется при медленном распростра­ нении фронта разряда по световому лучу при умеренных дав­ лениях, в частности в наиболее интересных условиях, когда сре­ дой служит атмосферный воздух.

при температурах 10 000—20 000°, характерных для данного ре­ жима, связано с фотоионизацией возбужденных атомов и свободно­ свободными переходами электронов. Для большей точности коэф­ фициент поглощения следует вычислять по формуле Л. М. Бибермана и Г. Э. Нормана [93], которая усовершенствована по срав^ нению с формулой Унзольда — Крамерса (6.15) путем введения некоторых поправочных множителей. Коэффициент поглощения, исправленный на вынужденное испускание в области первой ио­ низации, удобно представить в следующей расчетной форме:

198

где g +, g a — статистические веса ионов и атомов; А© — снижение границы непрерывного спектра в плазме, которое оценивается по формуле Инглиса — Теллера

ПАа/кТ = 0,68pt0a?fUi(7’°/104)'1’27;

\ (©) — некоторая функция частоты, характерная для каждого сорта атомов, для нее имеются графики [93].

Длинноволновое инфракрасное излучение лазера на углекис­ лом газе, которое в свете сказанного в подразделе 23.2 представ­ ляет исключительный интерес, поглощается в основном за счет свободно-свободных переходов, и коэффициент поглощения здесь описывается формулой (6.1). К этой формуле можно перейти и от формулы (6.46), еслиположить в ней Йсо/йГ<^1, опустить фактор exp (ЙДю//сГ), влияющий только на фотоионизационные процес­ сы, и заменить поправочный множитель £ (©), также относя­ щийся к фотоионизации, на фактор Гаунта g. Расчетная формула для Й© = 0,124 эв имеет вид

На рис. 6.18, а для иллюстрации представлены коэффициенты поглощения света неодимового лазера (Й© = 1,17 эв) в воздухе.

Рис. 6.18. Коэффициенты поглощения в воздухе света

199

замедляется и поглощение проходит через максимум. Возникно­ вение максимума связано с тем, что мы рассматриваем зависимость |ЛШот Т при постоянном давлении. При температурах, соответ­ ствующих почти полной однократной ионизации, непосредственное воздействие температуры на коэффициент поглощения становится слабым и сказывается уменьшение плотности, которым сопрово­ ждается нагревание при постоянном давлении. Новый подъем поглощения при температурах выше ж 25 000° вызван действием второй ионизации. По завершении второй ионизации поглощение снова проходит через максимум и т. д.

Свет неодимового лазера в воздухе атмосферного давления по­ глощается очень слабо; максимальная величина Ц м тах ~ ^ 6-1СИ3 см~г, кстати, это значение согласуется с эксперимен­ тальной оценкой [9]. Свет лазера на углекислом газе поглощается на два порядка сильнее: Цсогтах~ 0,85 см~х. Однако и в этом слу­ чае при миллиметровых радиусах светового канала приближение слабого поглощения Цшй 1 еще не теряет силы (заметим, что

Рсошах ~ />2/ СО2).

В случае малого ослабления светового потока в волне темпера­ турная зависимость тепловыделения F+ ж £ 0цш(Т) в точности повторяет зависимость коэффициента поглощения. Наиболее важ­ ные для дальнейшего и типичные черты ее — это резкое стремле­ ние к нулю при не очень высоких температурах, наличие более или менее определенной температуры, при которой тепловыделение становится заметным (температуры «ионизации») — примерно 12 000—13 000° для воздуха атмосферного давления, и существо­ вание максимума с последующим спадом тепловыделения в неко­ тором интервале температур. Все это справедливо для любых газов.

Перейдем к функции потерь F_. На рис. 6.19 представлены коэффициент теплопроводности к [94] и потенциал потока тепла 0 в зависимости от температуры для воздуха при атмосферном дав­ лении.

Первое представление о потерях на излучение можно получить при помощи формулы для излучательной способности водородной

200