книги из ГПНТБ / Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд
..pdfРис. 11.26. Расчетная схема двухслойной конструкции при осесимметричной на грузке
Вработах [32, 33, 34, 36] приведены ос новы метода решения осесимметричной за дачи применительно к однородному, двух- • слойному и многослойному полупростран ствам.
Вдвухслойной системе (рис. 11.26) каждый слой характеризуется модулем
упругости Eit |
коэффициентом Пуассона [хг |
||||
и толщиной |
hi (причем hi = |
оо). Сопряже |
|||
ние слоев характеризуется |
приведенными |
||||
ниже граничными |
условиями. |
|
|||
На |
поверхность |
первого слоя действует |
|||
равномерно |
распределенная |
по |
площади |
||
круга |
вертикальная нагрузка, |
которую |
|||
удобно представить |
через интеграл |
||||
|
|
оо |
|
|
|
р (г) = рр J Jx (pa) J0 (pa) |
da. |
(11 A) |
|||
Рассматриваемая задача является осесимметричной задачей теории упругости, и решение ее сводится к отысканию системы функций cpi.(rz), (i = 1; 2), с которой напряжения и перемещения связаны за висимостями:
_д_ |
|
|
д2 |
< |
дг |
|
|
дг2 |
|
|
|
д2ср |
|
|
|
|
дг2 |
|
|
дг |
|
г |
дг |
(II.5) |
|
|
|
д2 |
|
irz — ~дг ( i |
- n , ) |
W |
ф |
|
дг2 |
||||
и = 1 + И< |
д2Ц . |
|
|
|
дг дг |
' |
|
|
|
Ei |
|
|
||
2 ( l - ^ ) V 2 c p - | ?
Ei
Как известно, функция ф г (г, г) приемлема, если она удовлетворяет бигармоническому уравнению в цилиндрических координатах:
|
V 2 V 2 ф г (гг) = 0 |
(II.6) |
и граничным условиям. |
|
|
В |
равенствах (II.4) — (П.6): <з1г, о/, ое — нормальные |
напря |
жения |
в точках /-го слоя (i — 1;2); %lrz —касательные напряжения; |
|
Wlt иг |
— вертикальные и горизонтальные перемещения; у 2 — символ, |
|
90
аналогичный оператору Лапласа; 1Х фа), / 0 (рсс) — функции Бесселя первого рода первого и нулевого порядка;а — параметр интегрирования; р = _; р = _
Подстановкой в уравнение (II.6) можно убедиться, что ему удов летворяет следующая система функций напряжений [54, 64]:
ф2 |
J {Л2 + В2 |
[а (г]— 1) + 2jx2]} е - ч « / 0 (pa)da; |
|
|
Фх = |
$ {A1e-w |
+ B1[a(i\ |
— \) + 2V.i\ е - к » + |
(II.7) |
|
||||
|
о |
|
|
|
+ |
[(1—2pii) s/za(l — т|) + а ( 1 — T])cha(l — т))] + |
|
||
+ |
D1 [2p,1 c/ia(l — т ] ) — а ( 1 — T])sha(l — г])]} JQ([ja)da. |
) |
||
. После подстановки значений |
ф х и ср2 из системы (II.7) в |
равенства |
||
(П.5) получены для составляющих напряжения и перемещения точек обоих слоев формулы, в которых содержатся шесть произвольных
коэффициентов At, Bit |
Съ |
Dlt |
определяемых следующими граничными |
|||
условиями: |
|
|
|
|
|
|
а) на поверхности |
двухслойной |
системы (л = |
= 0 ) |
|||
|
о, |
= |
—р |
при |
r<R; |
(II.8) |
|
0 |
при |
r>R; |
|||
|
|
|
xrz |
= |
0 |
|
б) на контакте (ц — = 1) при всех условиях сопряжения слоев:
---Xrl* = 0 |
при отсутствии |
трения |
||
|
|
(гладкий |
контакт), |
|
или |
|
|
|
(II.9) |
т ^ ' — т ^ ' ; |
U1 |
|
|
|
= U2 при спаянных |
||||
|
|
слоях, |
|
|
или |
|
|
|
|
т ^ ^ т Я ' ; |
тЯ'=Л1 с ^/1 |
при |
сцеплен |
|
|
|
|
ных |
слоях. |
В результате указанных выше действий с помощью равенств (II.4), (II.5), (П.7), (П.8) получены следующие формулы для определения всех составляющих напряжения и перемещения в любой точке двух слойного полупространства при разных условиях сопряжения слоев:
а) второй слой (т]>>1,0).
91
|
Составляющие |
напряжения и перемещения: |
|
|||||||
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
— т)а |
|
|
Ог21 = |
-рР |
J |
{*г |
+ ^ [ 1 + а (л - |
1)]} i |
— |
- Л (ра) / 0 (Р«) <*а; |
||
|
|
|
|
о |
|
|
г |
|
|
|
|
= |
pp J |
|
|
U 11 - «(Ч - 1)1} |
А (Р«) Л (Р«) |
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
т<2> |
2ri2 РР J ~ — Ji (Ра )Jo (ра) <Ьс + |
|
|||||
|
+ р Р $ { * 1 |
- М 1 - 2 ц 2 - а ( 1 1 - 1 ) ] } e - l " |
^ ( Р а ) / х (ра) da; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p a |
(11.10) |
|
r<2) |
|
|
|
|
e - n a |
|
|
|
|
|
|
- PP ^ Vi + ^ a (TI — 1)] —— /1 (P«) J г (pa) da; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
_ |
1+^2 рЯ 2 $ U i — ^ t l — 2 ц 2 - а ( л — 1 ) 1 } |
X |
||||||
|
|
|
|
|
|
X / t (Pa) / t |
(pa) |
|
|
|
|
^ 2 = |
|
P# J {*i + h [2 (1 - |
h,) + «(Л - 1)1} |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qt |
|
|
|
|
|
|
|
X y t ( P a ) J 0 ( p a ) |
|
|
|
|
|
б) первый |
слой |
( 0 < i i < l , 0 ) . |
|
|
|
|
|||
|
Составляющие |
напряжения и перемещения: |
|
|||||||
т<1) . |
|
{^1 |
+ |
/ Л 1 - а ( 1 - л ) ] - С 1 е -а |
(1—п) а(1 —т])х |
|||||
X sha (l — T]) + D1e" -а (1-т)) [sha(l—т])—а(1—г)) cha(l—r|)]} х |
||||||||||
|
|
|
|
|
X |
Л (Ра ) Jo (pa) da; |
|
|
|
|
о^1 |
> = РР J |
|
- |
к |
[ 1 + а (1 - т])] - |
С, е~а ( 1 ~ Т 1 |
> [2 ch а (1 - |
т)) + |
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
а(1 —г])sh«(1 — 11)1 — 5!e~ a ( I - T 1 ) |
[sha(l—т]) + а(1 — T I ) X |
||||||||
X c h a ( l — т))]}—— / х (Ра) У0 (pa) da — рр \ { ^ —г2 [1 — 2 ^ +
92
+ |
а (1 — т))] — С1 е ~ а ( |
[ |
2 |
(1 — |х3) ch а(1 — л) + |
а (1 — TJ) Х |
||||||
X s h a ( l - T i ) ] — D 1 e - a ( |
I |
- 1 1 |
, [ ( l |
— 2^)sha(l —т!) + |
а ( 1 — - П ) Х |
||||||
|
|
X ch а (1 - |
г])]} * — |
. J l ( P |
a ) / l ( p |
K ) |
da; |
|
|
||
|
|
|
|
|
Qt |
|
pa |
|
|
|
|
a(e1) |
= - г ц х р р ^ [^2 + C l e - a ( l - 1 l ) c h a ( l - 1 l ) + D l e - a ( I - T ' ) x |
||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X sh a (1 - |
T))] 5—- Л (pa) |
J0 (pa) d a + |
pP $ |
ft—fa |
[1—2^ |
+ |
|||||
|
|
^' |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
+ а ( 1 - т 1 ) ] - С 1 е - а ( 1 - Т 1 ) |
[ 2 ( l - [ x 1 ) c h a ( l - T ] ) + |
|
||||||||
+ |
a ( l — |
TI) sha(l — г ] ) ] — D 1 e - a ( I - , , ) [ ( l ~ 2 f x 1 ) |
sha(l — i j ) - f |
||||||||
|
+ a ( l - r 1 ) c h a ( l - r 1 ) ] } x |
— |
•h ( M |
h ( |
P ^ |
da; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Qt |
|
pa |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t<|' = - p p $ { ^ - ^ a ( l - r ] ) - C 1 e - a ( |
I - T , ) [ s h a ( l - - T 1 ) |
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( П . И ) |
- a ( l —r))cha(l — r))]—Dx e - o ( l - r i ) |
a(l—TJ) |
s h a ( l — г | ) } х |
|||||||||
|
|
X —— |
/1 (Pa)/1 (pa)tfa; |
|
|
|
|
||||
|
|
Qt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO
^ = - ^ 1 p ^ $ ^ i - ^ [ l - 2 ^ + a ( l - r , ) l + C 1 e - a ( 1 - r ' ) x
X [2(1— |*j)cha(l— Tj) + a ( l — T j ) s h a ( l — т))] +
+ D 1 e - a ( 1 - T 1 ) [ ( 2 f i 1 - l ) s h a ( l - T | ) - a ( l - T j ) c h a ( l - T 1 ) ] } x
|
X |
e - ^ l « / i ( p a ) / x ( p a ) d a . |
|
||||
|
Qt |
|
|
|
|
||
1 _ь |
°° |
|
|
|
|
|
_ |
W ^ ^ p |
R l {t1 + tt[2(l-VL1)-a(l-rl)} |
|
+ |
C1e-a"-")X |
|||
1 |
о |
|
|
|
|
|
|
X [(l-- 2 [x1 ) sha(l — TI) — a ( l |
— r|)cha (l |
— r\)] + |
|||||
+ A |
[ 2 ( l - [ i 1 ) c h a ( l - T i ) — a ( l - r i ) |
sha(l — TJ )]}X |
|||||
|
y ^ |
~ |
m |
J i ( P « ) h |
(Pa) d |
a |
|
|
|
Qt |
' |
a |
|
|
|
93
В формулах |
(11.10) и (11.11) обозначено: |
|||||||
|
|
|
|
|
Qt |
™ ^\ |
?3 ~Ь ^2 ^4> |
|
|
^ = а — e - a |
[ n c ( s h a - | - a c h |
a)—mash a]; |
|||||
|
tz='l |
— e _ a |
[тй |
(sh a - f a ch a) + na sha]; |
||||
|
/ 3 |
= |
1—e~a [mc asha—n(sha — acha)]; |
|||||
|
tt |
= |
1 — a + e _ a |
[яс a sh a + m (sh a—a ch a)]; |
||||
|
|
|
|
|
2 ( l - | i ! ) M c f t |
2(1—Hi) ' |
||
|
£ 2 |
' ( 1 - й * ) ' |
2(1-11!) |
U a O + H i ) |
||||
|
|
|
|
|
1—(Ха |
1— JJ.1 / |
||
|
|
|
C1 = mct1—ис |
^2; D±=-- nt1Ji-mt2. |
||||
Зависимости (11.10) и (11.11) представляют общее решение. При |
||||||||
подстановке |
в них Мс |
-> 0 получают формулы для слоистой системы |
||||||
с гладким контактом, |
а при Мс-+0 |
и £ 2 - > со — формулы для упругого |
||||||
слоя конечной толщины на несжимаемом |
основании с гладким кон |
|||||||
тактом. При |
Мс-*-оо |
utE$-*-oo |
они превращаются в закономерности |
|||||
для упругого слоя на несжимаемом основании со спаянным контактом. При Мс ->0, т2 = 1 и h = 0 они характеризуют однородное полу пространство.
Для двухслойной конструкции со сжимаемыми'спаянными слоями должны быть соблюдены условия непрерывности перемещений на границе раздела слоев, т. е. в процессе нагружения должны сохранять
ся |
равенства |
WT = W2vlU1 |
= U2. |
ЭТО выполняется при подстанов |
||
ке |
в формулы |
(11.10) и (11.11): |
|
|
|
|
|
|
тс = п и пс |
= 0,5 ( |
1 - 2Ц» |
т 2 |
— 1 — (Xl |
|
|
1 — М-2 |
||||
При решении задачи применительно к многослойной конструкции, как указывалось, принципиальных препятствий не возникает. Вспо могательные функции вида (П.7), непрерывные в пределах каждого слоя и удовлетворяющие бигармоническому уравнению (II.6), содер жат по четыре искомые функции At, Bt, Ct и Ь г , причем для подсти лающего полупространства две из них равны нулю. Таким образом, задача о полупространстве, состоящем из п слоев, сводится к решению системы из 2 (2 п—• 1) уравнений с неизвестными At, Bt, Ct, Dt. Однако,
получаемые формулы даже при п = 3 несоизмеримо более |
громоздки |
и сложны [34], чем соответствующие зависимости (11.10) |
и (11.11). |
Попытка реализовать их для конкретных значений параметров на ЭВМ не привела к удовлетворительным результатам, так как вычисли тельный процесс по полной программе длителен, неэкономичен и подчас неустойчив. Встал вопрос о рациональном пути реализации решения.
94
Под |
реализацией |
решения под |
|
|
|
|
|||||||
разумевается |
не только |
получение |
|
|
|
|
|||||||
для |
конкретных |
задач |
числового |
|
|
|
|
||||||
результата, но и разработка срав |
|
|
|
|
|||||||||
нительно несложных и вместе с |
|
|
|
|
|||||||||
тем достаточно |
точных для |
инже |
|
|
|
|
|||||||
нерных |
расчетов |
формул, |
графи |
|
|
|
|
||||||
ков, |
номограмм |
и таблиц. |
|
|
|
|
|
||||||
Следуя принципам |
изложенного |
|
|
|
|
||||||||
выше |
решения, |
|
можно |
получить |
|
|
|
|
|||||
зависимости |
для составляющих на |
|
|
|
|
||||||||
пряжения и перемещения в любом |
|
|
|
|
|||||||||
слое многослойной системы. Однако |
|
|
|
|
|||||||||
для |
обеспечения |
возможности эф |
|
|
|
|
|||||||
фективной реализации решения це |
Рис. 11.27. Расчетная |
схема трехслой |
|||||||||||
лесообразно |
в |
процессе |
расчета |
ной конструкции при осесимметричной |
|||||||||
многослойные конструкции |
приво |
|
нагрузке: |
||||||||||
дить к типовым |
моделям. |
В |
каче |
а — составляющие напряжения вну |
|||||||||
стве таковых |
в |
этом |
исследовании |
три конструкции, |
в |
цилиндрических |
|||||||
приняты двухслойные |
и |
трехслой |
координатах; |
б |
— |
расчетные точки |
|||||||
опасных сечений; |
|||||||||||||
ные системы |
(рис. 11.26 |
и 11.27). |
|||||||||||
1, 2, 3 |
— |
номера слоев |
|||||||||||
Вопросы, связанные с приведением |
|
|
|
|
|||||||||
многослойных конструкций к типовым, рассматриваются ниже. Для получения табулированного решения задача о слоистом полу
пространстве расчленена на три части [32, 34]: определение, исследо вание и аппроксимация функций Ait Bt, Cit Dt; приведение получен ного решения к суммам типовых интегралов и табулирование их; вывод формул для инженерных расчетов.
Первая часть выполнена с помощью ЭВМ. При этом функции II.7 приняты в предложенной Р. М. Раппопортом [53] и развитой К. К. Ту-
роверовым [63] форме, позволившей все коэффициенты |
Ait Bit Ct |
||||
выразить только через два общих А я В. |
|
|
|||
Для |
трехслойных и |
двухслойных моделей |
при |
встречающихся |
|
в практике параметрах |
реальных конструкций |
наЭВМ вычислены в |
|||
масштабе |
[ • |
P&h3 |
|
|
|
—g— Л (6а)] величины функций Л = /U и В = / в в зави- |
|||||
симости от параметра интегрирования а. Благодаря такому приему уда
лось обнаружить |
ряд свойств fA и fB, позволивший на всем протяжении |
от а = 0 до а-^оо |
достаточно точно (до+2% для двухслойных систем и |
до 5% для трехслойных) аппроксимировать эти функции выражениями:
fA = aae-ba |
+ ca; |
(11.12) |
|
/в = а 1 е - |
й « а + с1 . |
||
|
Численные значения параметров, вошедших в выражение 11.12,
для |
двух- и трехслойных систем |
приведены в |
приложении |
(см. |
стр. |
317—322). |
|
|
|
В |
свою очередь аппроксимации |
вида (11.12) |
позволили |
пра |
вые части формул, аналогами которых являются зависимости (11.10) и
95
(11.11), привести к виду [33, 34]:
2 Кi\ Jm W Jn № e-«* dx = 2 K s S,, . |
(11.13) |
i 6
где
b oo
5 2 = Jj Л (*) J0 (px) z - q x x dx;
о
5 3 = 5 ^ ( ^ / „ ( р ^ е - ^ ^ ;
0 oo
S4 ---=jj A W J i ( p x ) e - ^ t f x ;
о
oo
5 5 = J' / 1 ( х ) / 1 ( р х ) е - ' ? д : х й х ;
•b
о
/Сг — постоянные коэффициенты, зависящие от места расположения слоя, параметров системы, условий на поверхности и границах слоев.
Несобственные интегралы Sj трансформированы в зависимости, содержащие полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода:
|
|
я |
|
|
|
F |
^ |
~~ I " l / l - / C 2 s i n 3 f " ' |
|
||
|
я |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
E(tf) = |
J 1/1 —/С2 sin2 чрб/ ф; |
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
П(Р„,К)= |
Г |
|
|
* f |
; |
|
J |
( 1 — Psin a |
гр) V l — /С2 sin2 |
ib |
|
|
о |
|
|
|
|
|
K2 |
|
IP |
|
|
|
|
<?2 +(P + l ) 2 |
|
||
|
|
p _ |
4 P |
|
|
|
|
|
(P + |
D 2 |
|
96
Величины эллиптических интегралов при соответствующих зна чениях К и Рр определялись по таблицам [76], а интегралов Sy- — по следующим'формулам [33, 34]:
|
|
St |
= M |
"V?a+(i+p)a |
|
|
Ьр П (Рр, К) |
(11.14) |
||||||||
|
|
S |
|
|
|
i |
|
|
F{K)- |
|
|
+ P 2 |
Е(К) |
(11.15) |
||
|
|
|
|
"V?2+(i+p)2 |
|
|
|
<7я + ( 1 - р ) 2 |
|
|
||||||
|
S9 |
= |
|
1 |
|
|
|
+ |
(1Ч- р)2] £ (/С) -!- (1 — р2 ) F (/С) - |
|
||||||
|
W + 0 + P ) a |
|
|
|||||||||||||
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
р-д*П(Рр,К)\-дМ; |
|
|
(11.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 + р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 , |
= |
У ^ |
+ |
С + Р ) 2 [ |
( 2 |
_|. # 2 ) ^ |
( / ( ) _ 2 £ |
(/С)]; |
(11.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
2яр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
<?2 + |
Р 2 |
+ 1 .E(K)-F(K) |
(11.18) |
|||
|
|
|
я Р У 9 |
2 |
+ (1 + Р ) а |
|
92 + ( 1 + р ) 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
N • |
2 я р У ? 2 |
+ (1 + Р ) |
{[?а + ( 1 + р ) 2 ] [^ (К)—Е(К)] |
-|- |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ |
( 1 - р ) 2 [ / 7 ( Р р , / ( ) + ^ |
( № |
(11.19) |
||||||||
где М |
и |
jV — постоянные |
величины, |
зависящие |
от р: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1; |
(р<1) |
|
|
0,5р; |
( р < 1 ) |
|
|
|||
|
|
|
М = |
0,5; |
( р = 1 ) |
|
|
0,5; |
( р = 1 ) |
|
|
|||||
|
|
|
N z = |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
( р > 1); |
|
|
2р ; |
(р>1). |
|
|
||||
По |
формулам |
(П.14) — (11.19) составлены |
таблицы значений |
ин |
||||||||||||
тегралов |
Sj для |
различных |
величин |
q и р [33, 34]. Кроме того, |
на |
|||||||||||
рис. 11.28 приведены |
графики |
|
для разных |
q и р == 0. |
|
|
||||||||||
Результаты |
этих |
двух |
частей |
исследования |
послужили |
основой |
||||||||||
для создания табулированного решения задачи, расчетные формулы которого приведены ниже.
Все составляющие напряжения и перемещения в любой точке одно родного полупространства, а также оснований слоистых систем могут
быть определены по следующим |
формулам: |
|
||
-Р Sni,iSi(<7|) +<7о |
i |
$ > 2 i S 2 ( ^ ) |
(11.20 |
|
1 |
|
|
|
|
in |
to |
|
|
|
to |
|
Jo |
(11.21) |
|
i |
|
|
l |
|
|
|
|
||
4 Зак, 149 |
97 |
a\r)=-2V.nP%nuS1(qi) |
+ -±- |
1 |
l |
P |
|
— (1 — 2 | A „ )l i > e | S e 0 7 , ) |
|
|
|
io |
|
t « = — Р 9 о ^ « 5 г 5 5 ( д г ) ; |
||
|
l |
|
|
io |
|
-(in 2pi? 0 , 5 9 o S n 8 J S 1 ( 9 i ) + ( l - | * n ) X |
||
|
x 2 " 8 i S 8 ( ? , ) |
|
(/n = ^ 2 p P |
S n 4 J S 4 ( < 7 ( ) - ( l - 2 l i n ) E n « » S e ( < 7 J ) |
|
(11.22)
(11.23)
(11.24)
(11.25)
Для определения относительной объемной деформации получена формула
9 = _L=2j±» (<#> + а<»>+ ff .= _ 2 ( 1 - 2 | г п ) ( 1 + М х
|
|
|
|
Xp^tnuS11(qi). |
|
(11.26) |
|
В скобках при |
S; в формулах (11.20) — (11.32) преднамеренно опу |
||||||
щено |
Р = |
|
' |
|
|
|
|
4 |
о, 2 3 i 5 В 7 8 Я 10 11 12 « П 15 |
IS W 17 № |
U 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2 |
||||
1,0 |
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
|
|
|
0,10 |
|
|
|
0,05 |
|
|
|
\0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
S, |
|
|
|
0,01 |
|
N |
|
0,01 |
|
|
|
OflOb |
N |
|
\0,005 |
|
|
|
|
|
|
N |
|
S, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001 |
|
|
|
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
\о,аоо5 |
|
|
|
"101 |
1 2 3 |
'/ S' В 7 8 |
Я 10 11 12 13 Pi (Ц |
|
« 16 17 18 19 10 II 22 23 24 2S 25 27 28 29 |
||
0 |
|
||||||
|
|
|
|
Чоов1 |
|
|
|
Рис. 11.28. Графики |
для |
определения |
коэффициентов |
5 Ь S2 и S3 при р = 0: |
|||
|
|
а—мри |
0 ^ ? i < / 5 ; |
б — при 15<<7i<30 |
|||
98
Формулы (П.20) — (11.26) универсальны, но в зависимости от конструктивных особенностей принимают разные значения показатели
и коэффициенты i0; Пц\ |
q0 и qt. |
|
|
|
|
|
||||
Так, |
для |
однородного |
полупространства: |
|
|
|||||
|
|
i 0 = l ; я п |
= « 2 1 = 1 , 0 и |
д0^дг-. |
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
двухслойных |
и |
трехслойных |
систем |
со |
спаянными слоями: |
||||
|
|
|
г0 =- 3; пп= = п31== |
пв1--сх; |
|
|||||
|
|
|
|
п 1 2 — |
— ^ег — ^1» |
|
|
|||
|
П 1 3 ~ rt33 ~"Я63 — 0j П21 ~= И41 |
ПЫ г = С |
|
z—h |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z — h |
ai'i |
ПЧЪ — П43 -- ПЪЗ 7 - а \ |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
h |
|
|
z |
b,h-\-z |
|
|
bh + z |
|
|
4 0 |
R |
7 1 |
|
Я |
|
/? |
|
|
Я |
Для конструкций с гладким контактом, в том числе и плит на |
||||||||||
упругом |
основании: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г"0 |
= 3; п д |
= «,а |
=^ 1,0; |
njz=-~ |
|
1,0; |
% |
г—/г |
|
|
|
|
||||||||
|
A (m — 1) + г |
|
Л ( 2 т — 1 ) + |
г . |
_ |
А.(4т — l ) + z |
||||
<7г = — |
„ |
: |
<?2: |
|
|
|
|
|
||
тJ/ A. (IzzhI
'( 1 - ( х 26 £ 2| /
Чем больше слоев в конструкции и ближе к поверхности располо жен рассматриваемый слой, тем больше членов необходимо суммиро вать. Так, полное напряженно-деформированное состояние первого слоя двухслойной и второго слоя трехслойной систем со спаянным контактом характеризуется следующими формулами:
а Г 0 |
= - |
р 2 |
«i,Si(<7iH-0,25b<7o |
2 n 2 « S a (<?,)+ |
||
|
|
i= 1 |
|
|
/ = 1 |
|
+ |
0,5(^0 |
— ^ |
S |
^ i ^ |
M |
|
|
|
|
« = |
i |
|
|
|
|
X |
cS1 2 |
(<72) + |
aS1 2 fa,) |
(11.27) |
4 |
99 |