книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

вые числа образуют геометрическую прогрессию. Найти

сумма первых двух чисел х-\-у уже превосходит сумму всех трех, что невозможно, поскольку все три числа по­ ложительны. Итак, искомые числа: 3, 7 и 11.

У п р а ж н е н и я

1 . Написать несколько первых членов последовательности, если общий член выражается формулой ап -

4-3, 5, 7, 9, ...

Если вычеркнуть в ней члены, стоящие на четных местах, то какую последовательность чисел образуют оставшиеся члены?

9.Между числами 4 и 40 вставить 8 средних арифметических.

10.Диаметры шкивов, насаженных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию из пяти членов, крайние члены которой равны 120 мм и 216 мм; найти диаметры промежуточных шкивов.

11.Найти сумму 12 членоз прогрессии

4-4, 8 , 12, 16, ...

12.Сколько раз пробьют часы за сутки, если они отбивают и получасы?

13.Показать, что сумма первых п нечетных чисел есть точный

квадрат.

14. Заполнить пустые места следующей таблицы:

15. Сумма 2-го и 5-го членов прогрессии равна 14, сумма 3-го

и7-го равна 8 . Найти прогрессию.

16.Сумма 3-го и 6 -го членов прогрессии равна 3, а сумма их квадратов равна 45. Найти прогрессию.

17.Купецкий некто человек, имяще 14 чарок срсбряных, ихже

третьего члена той же прогрессии, а произведение их равно 15.

25.Чему равен 7-й член прогрессии

^. 5 . - 5 . 4 . . . .

26.Чему равен знаменатель геометрической прогрессии: 1) 2,

ÿ~2, 1 , ... ; 2 ) я \ я " - 1, а " - 2, ... (а > 0 )?

27.Между числами 12 и 972 вставить три средних геометри­

ческих.

28.Между числами 5 и 20 вставить четыре средних геометри­

ческих.

29.Найти сумму десяти членов прогрессии, если

ах —3;

9 - 2 ; Sn = 189.

аX—q — 2-jç. Найти а3.

35. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометри­ ческую прогрессию, равна 65. Если отнять от меньшего числа !, от большего 19, то вновь полученные числа составляют арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

38. Найти четыре числа, зная, что первые три из них составляют геометрическую прогрессию, а последние три —арифметическую. Из­ вестно, что 9 — 2; d = 6.

37.Найти четыре положительных числа, составляющих геомет­ рическую прогрессию, если ах-:г а.,— 15; а3-)-а4—-GO.

38.Показать, что если три положительных числа а, b к с обра­ зуют геометрическую прогрессию, то

первую секунду, равен 3,5 м, а за каждую следующую секунду дви­

В первую секунду он проходит 4 м, а а каждую следующую секунду на 2 м больше, чем за предыдущую. Через сколько секунд второй велосипедист догонит первого и иа каком расстоянии от места старта

это произойдет?

42. Три положительных числа; a, aq, aqа, образующие геометри­ ческую прогрессию, могут быть приняты за длины сторон треуголь­ ника. В каких границах может изменяться знаменатель прогрессии q? Рассмотреть два случая: 1) q > 1 и 2) 0 < q < 1.

Г Л А В А XIII

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ

§ 156. Степень с иррациональным показателем. В гл. V понятие степени было обобщено и распространено на любой рациональный показатель степени. Так, например,

а3/і = | / йз- й—i/г = — — t Где а у о и а ф 1.

V а

Однако нами не был рассмотрен случай, когда пока­ затель степени есть число иррациональное, что означает символ а3 (а —иррациональное число, а > 0; а ф 1).

Не рассматривая этот вопрос в общем виде, поясним смысл этого нового символа на примере выражения 2Ѵі.

К иррациональному числу |/"2 можно приближаться двумя последовательностями рациональных чисел:

(I) 1; 1,4; 1,41; 1,414; ...

или

(II) 2; 1,5; 1,42; 1,415; ...

Первая последовательность—монотонно возрастаю­ щая; ее члены—приближенные значения квадратного корня из двух по недостатку, взятые со все возрастаю­ щей степенью точности.

Вторая последовательность —монотонно убывающая, ее членами являются приближенные значения квадрат­ ного корня из двух по избытку, причем точность приб­ лижений возрастает по мере возрастания номера члена последовательности.

Образуем две новые последовательности:

(Г) 21; 21’4; 21'41; 21’414; ... , (И») 22; 21’5; 21’42; 21’415; ...

Первая из новых последовательностей также монотонно возрастает, вторая—монотонно убывает.

Можно доказать, что обе последовательности стре­ мятся к одному и тому же числу по мере неограничен­ ного возрастания номера члена последовательности. Это

число принимается (по определению) за значение 2Ѵ'1. П р и м е ч а н и е . Над степенями с иррациональными

показателями производятся действия по тем же законам, что и над степенями с рациональными показателями, например:

а'*-£р = а“+>3, а“:а? = аа_Р и т. д.

(а и ß —два иррациональных числа).

§ 157. Показательная функция. Во многих областях науки и техники при изучении самых различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участ­ вующими в данном процессе. Приведем несколько при­ меров.

1) С изменением высоты h над уровнем моря атмосфер­

k —постоянные числа.

В приведенных примерах мы имеем дело с процессами, носящими общее название процесса органического роста. Если отвлечься от физического смысла переменных, участ­ вующих в процессах органического роста, и обозначить эти переменные буквами л: и у, то можно сказать, что всякий органический рост изображается (описывается)

функцией вида

у = Сакх.

Рассмотрим сначала простейший случай такой функ­ ции при C — k= 1; тогда у = ах.

Для отрицательных значений показателя степени

§ 159. Свойства показательной функции. Построенные графики показательных функций иллюстрируют следую­ щие свойства показательной функции, которые мы при­ нимаем без доказательства:

1) Показательная функция положительна при любом