книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

ке, не предполагающей определенного характера коэффициентов вне непосредственной окрестности особой точки.

Немного позже другое доказательство необходимости ука­ занной формы, исходя из одной вспомогательной теоремы Фук­ са в [153.2], предложил Томе (81) в [265.1], используя для этого метод полной математической индукции, когда соответ­ ствующая форма получается для уравнения первого порядка. Он же рассмотрел вопрос о распространении исследования на такие уравнения, которые имеют меньшее число п—h линейно независимых регулярных, по его терминологии, интегралов. В оригинальной обработке, с указанием некоторых исключений, которые имеют место в доказательстве Фукса, был изложен ана­ логичный материал (1875 г.) в большой статье [263] Жюля Таннери (82), основоположника этого нового направления во фран­ цузской математике.

при с0ф 0. Подставив эти выражения в уравнение (11.12) и срав­ нивая коэффициенты, для (х —а()~т получаем P'im{at)c0 = 0. Так как с0 Ф 0 , то Р im(flj) = 0 , и отсюда можно искать элементы у[1), У2{ ]і • • • >Уп( принадлежащей к а фундаментальной системы ре­ шений. Соответственные показатели ги, гіг, . .. , гіп будут удовлет­ ворять уравнению

— г (г — 1) . .. (г — т + 3) Pi2 (dj) — ... — rPitm-\ (ö;)—Pim(ai) = 0. (11.15)

Это уравнение в работе [153.2, 220] было названо определя­ ющим фундаментальным уравнением уравнения (11.1). Кстати, здесь для уравнения (11.1) Фукс ввел несколько иную, общепри­ нятую сейчас форму записи, и соответственным образом была изменена форма записи уравнения (11.15). В дальнейшем за (11.15) сохранилось несколько более краткое наименование оп­ ределяющего уравнения, предложенное Фробениусом в 1875 г.

Продолжая доказательство, Фукс упорядочивает по действи­

тельной части корни Гц, гг-2, ..., г*т и, положив у = ( х —йг)Гп возвращается к уравнению (11.1), получает новое (11.16) 1 отно­

1 Здесь не выписано.

270

где коэффициенты Gth (x) — внутри некоторого, описанного около at круга S —функции однозначные, конечные и непрерывные. Корни, соответственного уравнения

г' ( r ' - 1)... (r'- т + 2) - г ' (r' - 1)... (r' - m + 3)G,1(ai) -

существование функции г, которая, перемножаясь с (х—сц)~(г‘2~

где фі и ф2 содержат конечное число степеней (х—а,)-1, так что Уі2, перемножаясь с конечной степенью х—щ, для х = щ будет конечно.

Положив затем 2 = 2^ tdt, Фукс находит для t уравнение т — 2'

порядка, сходное с (11.18), где функции Gih обладают свойствами, аналогичными с Gjft, и для уравнения, подобного (11.19), получает

271

Уа = % + Фа1о§(* — а і) + % log2(х — а і)>

где фі", ф2", Фз" имеют свойства функций фі, фгПродолжая этот процесс, Фукс доказывает таким образом существование т частных интегралов уравнения (11.12), определенных в окрест­ ности точки а*, удовлетворяющих поставленным условиям и об­ разующих фундаментальную систему. Отсюда следовало, что подобным свойством обладают все интегралы уравнения вида (11.12) и, значит, (11.11). Уравнения такого вида впоследствии получили название уравнений класса Фукса.

Из полученных результатов Фукс вывел ряд интересных след­ ствий. Так, если функция F, перемножаясь с (х—сц)~к, в окрест­ ности аі принимает форму многочлена

(X — а ,) - * F = Ф0 + Ф, log (X — at) + Ф2[log {х — а ()]2 + .. .

• • • + ф„ [log (X — а,.)]",

коэффициенты которого в окрестности аг- — однозначные, конеч­ ные и непрерывные функции от х, то k можно выбрать так, что (х—üi)~hF для х —йі будет также отлична от нуля и конечна как целая функция от log(x—а,-) с постоянными коэффициента­ ми а, Ь, с, ... I, т. е.

L = а + b log (х — at) + с [log (х — at) f + . . . + / [log (х — аг)]5-

В таком случае функция F называется принадлежащей к пока­ зателю k. Разобрав свойства таких функций, Фукс формулирует затем теорему о том, что к каждой особой точке а% уравнения (11.11) принадлежит уравнение (11.15). В окрестности некото­ рой из этих точек имеется всегда фундаментальная система, элементы которой соответствуют корням уравнения (11.15) таким образом, что каждому корню принадлежит элемент как к его показателю. После несложных рассуждений устанавливается, что если интегралы уравнений (11.11) не содержат логарифмов, то уравнения (11.15) не должны иметь равных корней, а также и то, что если разность принадлежащих к одной из особых точек йі (точке оо) корней уравнений (11.15) отлична от нуля или целого числа, то интеграл уравнения (11.11) в его выражении в окрестности этой точки не содержит логарифмов. Если некото­ рые из этих разностей — целые числа, то логарифмы могут вхо­ дить в данное выражение.

272

Из сказанного легко сделать важный вывод о том, что если дифференциальное уравнение обладает только алгебраическими интегралами, то оно должно иметь форму (11.11). В этом случае корни уравнений (11.15) должны быть различными друг от дру­ га рациональными числами.

Дополнение и некоторое развитие к первым двум работам Фукса было дано в [153.2]. Здесь уделено внимание прежде всего случаю, когда определяющее уравнение имело кратные корни. Чтобы показать, что г корней определяющего уравнения в самом деле соответствуют независимым друг от друга инте­ гралам, Фукс упорядочивает корни определяющего уравнения в группы так, что каждая из них содержит равные друг другу или отличающиеся целыми числами корни. Корни внутри груп­ пы упорядочиваются так, что если a< ß, то га—гр>0. Сначала доказывается, что корень г0 соответствует интегралу вида (11. 13). Сходимость ряда в окрестности а,- доказывается методом мажорантных функций. Отсюда получается сходимость ряда до ближайшей особой точки. Посредством подстановок вида (11. 17) можно получить для определения остальных интегралов каждой группы новые дифференциальные уравнения, к которым применимы уже известные способы

Затем Фукс уточняет понятие существенно и несущественно особой точки, записывает после соответственного анализа урав­ нение в форме

( * - а)ті к + (* ~ а Г ~ ' ( д с ) + • • ■+ Р т М у = 0

(11.21)

и формулирует вывод о необходимых и достаточных условиях,

ны. Остальные три условия связаны со значением р%{а), харак­ тером корней соответствующего определяющего уравнения и значениями некоторых определителей.

§ 4. Развитие идей Фукса в трудах других ученых

Выше упомянутые работы Фукса вызвали большой поток дальнейших исследований, дополняющих, уточняющих и расши­ ряющих полученные им результаты. Так, Мост в 1870 г. при вы-

1 Как отметил Хилб [172.2, 479, 481], в работе Петцваля (1859) имелись рассуждения о виде коэффициентов для уравнения (11.12) в расплывчатой и неясной форме, как и подход к рекуррентному способу вычисления логариф­ мических членов.

воде формы интеграла в случае кратных корней определяющего уравнения пытался использовать прием: рассмотрение зтопт случая как граничного для случая неравных корней.

Существенный интерес для развития теории представляли исследования Фробениуса в 1873—1875 гг. Так, в статье [151.1] он резонно отметил, что метод доказательства Фукса существо­ вания интегралов в случае кратных корней определяющего урав­ нения, опирающийся на метод мажорантных функций, весьма общий. Поэтому можно было ожидать, что в случае линейных уравнений к цели могут привести более простые методы. Фробениус (84) и поставил себе задачу: построить такое доказатель­ ство, непосредственно исходя из самого уравнения. Ему удалось найти способ прямого вычисления коэффициентов тех интегра­ лов, в разложение которых в общем входили логарифмы, избе­ гая употребления дифференциальных уравнений низших поряд­ ков, что требовалось по способу Фукса.

Для простоты рассуждений Фробениус за особую точку при­ нимал х = 0, рассматривая уравнение вида

Р{У) = Р(*) хХУ(%)+ Pi (X)хк~'уіХ~ 1) + ... + рх (х) у = О,

У(*. Р) = 2 gvxa+v.

Посредством введения функции

/ ( X , р) = р(р — 1) .. . (р— А, + 1)р(х) + р( р— 1). ..

которая для X = 0 переходит в / (р), получаются для коэффициен­ тов ряда у = V grvx0+v (11.24), удовлетворяющего уравнению (11.22),

/ ( Р)=0.

Своеобразность метода Фробениуса состоит затем в том, что, абстрагируясь от этого первого уравнения, рассматривается из­ менение величины р при условии |р—pj | > ö> 0 (/=1,... А), где б — фиксированное и достаточно мало. Коэффициенты gv затем

274

также рассматриваются как функции р. Тогда ряд

будет интегралом уравнения

Р (У) = f(p )-g (p )xQ-

После ряда преобразований Фробениус получил выражение

+l>(Pft),°gJC+

представляющее принадлежащий корню pfc интеграл дифференциаль­

ного уравнения Р (у) = 0 (11.22). Это будет и общий интеграл та­ кого рода, который связан здесь через g {х, р) с произвольной функцией от р как сомножителем и содержит k + 1 произвольную константу. Из этой формы довольно легко следуют некоторые теоремы, найденныФуксом и Томё, так же, как и условия того, что в интеграл, при надлежащий показателю pft, не входят логарифмы.

Прямые подходы к вычислению интегралов, содержащих логарифмы, находим в диссертации Фабри (1885 г.) и учебнике Гефтера [171.1].

Непосредственная связь исследования неоднородного линей­ ного уравнения с соответственным однородным была рассмотре­ на Фуксом уже в [153.2]. Несколько позже Гефтер, Шлезингер и другие также исследовали разложения на подгруппы корней определяющего уравнения и изучали зависимость от этого фор­ мы интегралов. Поведение интегралов в окрестности особой точ­ ки а для уравнения вида

{х— а) dxndny Ei (х) dn~dxn~ + E 2(x ) dxn—2 + • • • + En (x) у у

где Ei(x) в окрестности точки а однозначные и непрерывные, изучал Похгаммер (85) в 1871 г. Он нашел условия отсутствия

винтеграле логарифмов и существования п—1 линейно незави­ симых в а аналитических интегралов. Через 40 лет после этого

вболее общей форме поведение интеграла уравнения (11.1) в области особой точки х=0 изучал Перрон. Он получил довольно простое и полное решение проблемы, обобщив, в частности, пре­

дыдущие результаты в форме теоремы: если коэффициенты уравнения (11.1) обладают в точке а полюсом не выше поряд­ ка s, то по крайней мере т—s интегралов в точке а ведут себя аналитически.

Усовершенствование метода доказательства сходимости ря­ дов, выражающих интегралы линейных однородных уравнений в известной теореме Фукса, было предложено А. Кнезером в 1896 г. Несколько позже аналогичная проблема совсем иным путем и в более общей форме трактовалась Шоттки [256].

Для систем дифференциальных линейных уравнений первого порядка необходимые и достаточные условия, выражающие их форму (при наличии регулярных точек), не имели подобной про­ стоты.

Однако с 1886 г. появился цикл работ Соважа, посвященных рассмотрению этого вопроса. Им были применены основные идеи Фукса для исследования формы и существования регуляр­ ных интегралов в окрестности особых точек для системы линей­ ных дифференциальных уравнений первого порядка. Он рас­ сматривал систему вида

dy.

(х —хо) ~аг = апУі + • • • + аіпУп (г = 1,2, • • • , П), (11.28)

где коэффициенты щи — голоморфные функции в окрестности

х0, и установил, что необходимым условием регулярности точки

х= х0 системы является то, что коэффициенты системы должны иметь в этой точке полюсы только первого порядка, т. е. она име­ ет форму (11.28). При этом сначала показывается, что система

данная система приводится к системе подобного вида с п—1 не­ известными функциями, которая допускает решение с указанны­ ми свойствами. Продолжая этот способ рассуждения, Соваж на­ шел, что данная система имеет п регулярных решений, образую­ щих фундаментальную систему. Систему (11.28) Соваж назвал канонической. Он далее установил, что каждая линейная система с однозначными коэффициентами в окрестности х=Хо, для кото­ рой точка Хо является регулярной, должна приводиться к виду (11.28) рядом подстановок определенной формы. Более подроб­ но вопрос освещен в [253].

276

Некоторые пробелы в работах Соважа были восполнены час­ тично Кенигсбергером [195.2, гл. VI]. Весьма полно и в безуп­ речной форме вопрос чуть позже трактовался Горном. Соваж и Кенигсбергер свои суждения о достаточности формы (11.28) основывали на методе Фукса, в то время как Горн и немного ранее Грюнфельд исходили из упоминаемого выше метода Фробениуса. Дальнейшее пополнение теории находим в монографии Горна [177.1]. Он первым отметил, что в случае систем много­ кратному корню определяющего уравнения также могут соот­ ветствовать многие различные элементарные делители фунда­ ментального уравнения, так что многократному корню может принадлежать больше чем один свободный от логарифмов ин­ теграл. Подобный случай не имеет места для обыкновенных ли­ нейных дифференциальных уравнений или для канонической системы, происходящей из таковых подстановкой

Несколько позже прямое доказательство основной теоремы Соважа предложил Шлезингер, существенно опираясь на соот­ ветственные результаты Вольтерра [271.3]. Далее подобный ме­ тод с успехом был применен в заметке [100.2] Биркгофом, ис­ пользовавшим идею Ляпунова, имевшую место при доказатель­ стве одной из теорем в [43.2] '. Биркгоф проводит исследование сначала для уравнения второго порядка, затем весьма лаконич­ но обобщает полученный результат на систему

где коэффициенты ац(х) имеют не более как полюсы первого порядка в данной регулярной особой точке а. В этом случае су­ ществует такое число М, что в некоторой окрестности х = а будем иметь

i=i

1 См. [235.17, изд. 3, стр. 385]. Именно через источник [43.2] (1-е издание) эта идея стала известна Биркгофу, как видно из вводной части его статьи.

277

лучить оценку для модуля у в данном секторе, т. е., как говорит Биркгоф, это значение у становится бесконечным только конеч­ ного порядка в х = а. Отсюда легко следуют все дальнейшие заключения.

Вышеупомянутые доказательства Шлезингера и Биркгофа имеют место также и в случае, когда коэффициенты уравнения являются неаналитическими функциями. Впервые для этого случая рассматривались несущественно особые (как он говорил, регулярные) точки Бохером в 1900 г. посредством метода после­ довательных приближений. Дункель распространил вскоре метод Бохера на системы.

§ 5. Разложение интегралов в области других особых точек. Нормальные интегралы. Работы Томё и других ученых

Мы уже упоминали, что Томё [265.1.—2] стал изучать урав­ нения

такого вида, когда по крайней мере п—h его линейно независи­ мых интегралов в точке а ведут себя определенно (т. е. регуляр­ но в смысле предыдущих параграфов). Величина h получила название характеристического индекса. Томё сперва показал, что если в уравнении (11.30) коэффициенты от р\ до рк (Я ^ 1) становятся бесконечными конечного порядка (имеют полюсы) и уравнение должно иметь по крайней мере п—h линейно неза­ висимых регулярных интегралов, то остальные коэффициенты для х = а должны быть такого же вида, и характеристический индекс есть ^/г. Для случая /і = 0 следовала известная теорема Фукса, о чем шла речь выше. Если же индекс совпадает с поряд­ ком уравнения, то оно не имеет регулярных интегралов. В даль­ нейшем Томё посвятил большую серию статей изучению данной проблемы, увязывая ее с вопросами приводимости и неприводи­ мости уравнений. Как один из важных результатов была получе­ на теорема о том, что существование k линейно независимых в

k-ro порядка, для которого точка а регулярна и все интегралы

278

которого удовлетворяют данному диф­ ференциальному уравнению.

Здесь не представляется возможным рассмотреть многие интересные и важ­ ные его результаты. Ученик Вейерштрасса и Куммера, ближайший друг Г. Кан­ тора Томё был не только коллегой и пре­ емником профессуры у Фукса, но одним из активнейших его последователей и со­ трудников по разработке аналитической теории линейных уравнений. Ей он оста­ вался верен всю свою жизнь, начав пуб­ ликации с 1871 г. и продолжая их в тече­ ние дальнейших почти сорока лет и при

том исключительно в журнале Крелля. Людвиг Томе (1841—1910). Если, как свидетельствует Энгель [140,

266], о Фуксе говорили, что он своей теорией линейных дифференциальных уравнений в математиче­

ском государстве добавил новую провинцию, то нельзя не заме­ тить, что Томё выполнил очень большую и не менее важную работу для окончательного завоевания этой провинции. ЕІо так как он не был первооткрывателем в этой области, то не так прос­ то охарактеризовать его вклад в нее. Да и сам Томё мало спо­ собствовал этому формой своего изложения, требующей основа­ тельного изучения, чтобы понять сущность работы и степень ее оригинальности. После публикаций в 74—95 томах журнала в 96-м томе Томё поместил подробный систематический обзор [265.3] своих работ за прошедший десятилетний период объемом в 97 страниц. Этот отчет был написан по рекомендации Вейерштрасса, подчеркивавшего, что работы Томё нелегко читать. Следующий, более краткий, обзор своих работ Томё поместил в 122-м томе (1900 г.) того же журнала.

Некоторые из первых теорем Томё были выведены Фробениусом более простым способом уже в 1875 г. благодаря приме­ нению его понятия неприводимости линейных дифференциаль­ ных уравнений. А в диссертации Флокё (1879 г.) (последовате­ ля Таннери) были подробно изложены примыкающие к работам Фукса исследования Томё и Фробениуса, дополненные собствен­ ными изысканиями автора. Установленную благодаря этому связь с Флокё Томё поддерживал до конца жизни.

Итак, Томё был первым, рассматривавшим построения в духе Фукса, но для более общего класса особых точек.

Далее Томё (в 1877 г. и следующих) открыл и подробно ис­ следовал простейший случай класса нерегулярных интегралов, которые он назвал нормальными элементарными интегралами.

279