Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4126 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Исследуем движение электронов в цилиндрическом магнетроне с помощью метода усреднения. Для этого используем соотношения (4.03) и (4.04), причем согласно формуле (1.23) комплексное ускорение,

обусловленное электростатическим		полем, определяется	выражением
/° = У	Q2	аа	(1.77)
	2г*

а ускорение, обусловленное синхронной волной с потенциалом (1.59),

имеет

составляющие

дг

2г

)

\ г

зіп(яф+со/),

(1.78)

дФ

-р

cos (пф -\-(ot),

<Эср

2г

тг

поэтому

соответствующее

комплексное

ускорение

согласно формулам

(1.01)

(1.02)

равно

У*

(FT +

iF9)e*=-i-?-±

(1.79)

т 2г*

Как мы видим, в правую часть (1.79) входят временные множители

e±iai,

затрудняющие

усреднение. Чтобы их исключить, целесообраз

но перейти к

новой

комплексной

координате

і — t

(1.80)

Z'=Ze

ге{4>', ф' =

ф +

— -

т. е. к системе координат, вращающейся вместе с волной (см. выше

определение

ф'). Мы имеем

Z' — I

2 I е

2І

со3

п2

со

" ,

(1.81)

п J1

где

введены

обозначения

Q' = Q — 2 —

, Q" =

Q — -

(1.82)

Уравнение

(4.03)

после перехода

к г'

принимает

более

простой вид

г ' - H Q ' z ' = / ' ,

(1.83)

где

f' =

f'(z',z'*)=y^~Q"

—

z' —

i —

—

а \п

(1.84)

Т7 *

' v

х 2г'*

2г'*

Применим

нему

метод

усреднения,

полагая

' =

а ' + р ' е - ' й

' ' ,

(1.85)

тогда для а' и р' получим усредненные уравнения
которые можно сразу написать по				аналогии		с уравнениями			(4.11).
При условии	\| а '	\| >	\| р " \| правые части		уравнений			(1.86) легко вы
числяются, и	мы	получаем
	« ' =	-	— / ' ( « ' , « ' * ) ,	Э ' =	—	-	—	Р'.	(1-87)
			Q			Q	я

Второе уравнение показывает, что |У не является постоянной величи ной, а изменяется по закону

р' = |Зое ' а ' " , | f t = const;

n '

так что во вращающейся системе координат орбитальное движение происходит в среднем с угловой скоростью Q^. Первое же уравнение (1.87) определяет дрейф ведущих центров. Если мы положим

а ' = г е ' ф \ а .•=(г + * г ф ' ) е ' ф ' ,

то это уравнение даст два вещественных уравнения, которые имеют тот же вид, что и уравнения (1.67), если в них г и е заменить на

		1—	со
г' =	/	1—	— є.
г' =	/	и е' =	— є.	(1.88)
	со	t _	2 ю
Отличие г' от г и е' от є обычно невелико,			поскольку	выполняется
условие
	fi>—.	я		(1.89)

Мы произвели усреднение во вращающейся системе координат. Можно применить метод усреднения и в лабораторной системе коорди нат, для чего уравнение (4.03) преобразуется к виду

	z + iQz—-со2,		z = f	» 7 = 7 ( г , 2 * , 0 = Д/ + Л			(1-90)
где F определяется формулой (1.79), а
А/ = /0	Lulz	= y ~ -	-С02 2 =		J - f Y Q » _ ^ _ f i ) « U .		(1.91)
' '	2 р	г 2г*	2	р	2 V 1 г Iа	,/

Таким образом, уравнение (1.90) получается путем добавления к пра-

251

вой и левой частям уравнения			(4.03) слагаемого			^ ^Р2 "- 0 выборе
постоянной величины		сор будет	сказано		ниже.
Однородное	уравнение (1.90)			имеет	общее решение
		г = а(Гш<**		+ р \ Г ш Р 4 ,			(1.92)
где величины Qa	и	определяются формулой (1.44) и предполагаются
вещественными;	это объясняется			тем, что - i to2, z		есть	комплексная
запись ускорения (1.43). При 2 сор <					справедливо		соотношение
а-Чзг		« ° .		G P = G(I—§5г)*^.

Неоднородное уравнение (1.90) естественно решать методом ус реднения, который приводит к уравнениям

а =	,._?	7 е г й а	Р =	'	-2 Ге'°Р	(1.93)
V	Q 2 —2сор		V	й 2	—2сор

Эти уравнения нетрудно вывести тем же способом, каким получены уравнения (4.11). При сор = 0 мы имеем Qa = 0, Щ — Q и уравнения (1.93) совпадают с уравнениями (4.11). Однако величину сор следует выбирать так, чтобы комплексное ускорение А/, приводящее к де формации электронных язычков, было минимальным. Так как это ускорение имеет лишь радиальную составляющую

то Юр можно, например,	найти	из условия
а			ъ
		2 1 п	ъ
		2 1 п
тогда	сор =	уО? b i	.	(1.94)
		a 2	— 1

Однако это не единственный способ определения сор: можно также выб

рать	сор из условия		А/г = 0	при г—г,		где	г — введенный	форму
лой	(1.64) синхронный радиус;				тогда
			2		со			(1.95)
			co = 2 Q — .					(1.95)
					п
	Наиболее рационально определить					сор соотношением
	Q a =	п	( и 2 = 2	(Q—®-)®-=		п	2Q"—,	(1.96)
		п		\	п j	п	п

поскольку тогда в выражении
определяющем		движение	в	системе	координат, вращающейся вместе
с волной, переменной а			будет соответствовать чистый дрейф (угловая
скорость	медленного орбитального движения обратится в нуль). При
условии	(1.89)	соотношения		(1.95)	и (1.96) практически совпадают.
Производя		вычисление правых частей (1.93) так же, как при вы
воде уравнений		(1.87), приходим к			уравнениям

с угловой скоростью и с постоянным радиусом. Первое уравнение (1.97) содержит функцию (1.84) и определяет дрейф ведущих центров, причем этот дрейф в чистом виде, свободном от орбитального движения, происходит во вращающейся системе координат. Первое уравнение (1.97) отличается от первого уравнения (1.87) множителем

Выше мы исследовали движение электронов в цилиндрическом магнетроне с синхронной волной тремя методами: методом усред нения в лабораторной системе координат (П. Л . Капица), методом усреднения во вращающейся системе (В. Е. Нечаев) и элементарным методом, основанным на дрейфовом приближении. При условии (1.89) все три метода дают одно и то же. Если же это условие не выполняется, то методы дают разные результаты и предпочесть какой-то один метод затруднительно.

Как показано в 3-й лекции, формирование язычков в плоском магнетроне возможно при сколь угодно малой амплитуде синхронной волны, если синхронизм точный. С чисто логической точки зрения этот результат мог бы объяснить самовозбуждение колебаний в магнетронных генераторах: самовозбуждение происходит на частоте, наиболее благоприятной для электронов, т. е. обеспечивающей точ ный синхронизм, и в общем случае отличающейся от резонансной частоты колебательной системы. Такое самовозбуждение находилось бы в полном согласии с результами, полученными во 2-й лекции, поскольку при малых амплитудах сверхвысокочастотного поля время пролета электронов от катода до анода велико и, следовательно, час

тота	генерации со должна быть близка к частоте со'е , оптимальной
для	электронов. Однако проведенное выше	исследование траекторий
в цилиндрическом магнетроне показывает,		что здесь слабая синхрон-

ная волна формировать язычки не может, так что самовозбуждение следует трактовать иначе.

Несомненно, что в процессе самовозбуждения магнетронных ге нераторов важную роль играет пространственный заряд. Действи тельно, если в резонаторе магнетрона собственное колебание не воз буждено, то электронное облако у катода имеет значительную плот ность — порядка критической плотности (4.68). В таком облаке, как показано в приложениях I I и I I I , возможны многообразные коле бания, в том числе нарастающие во времени, но это — колебания про странственного заряда, сопровождающиеся переменными квазиста тическими полями.

Пока волновое поле резонансного колебания мало по сравнению с квазистатическим полем пространственного заряда, условие синх ронизма должно выполняться не для отдельных электронов, а для колебаний и волн пространственного заряда. С подобным явлением мы столкнулись в 6-й лекции: в лампе с бегущей волной нарастающая волна при сильном пространственном заряде возникает при синхро

низации волны	в линии с волной пространственного заряда, а не
с электронами	(должно быть п 8 д а п + , а не hs да he).

В приложении I I I показано, что колебания электронного облака вблизи катода плоского магнетрона имеют вид волн пространственного заряда, бегущих вдоль катода. Таких волн множество, с различными фазовыми скоростями. Обычно в первую очередь интересуются нара стающими волнами, свидетельствующими о неустойчивости облака, однако для самовозбуждения генератора важно лишь, чтобы какаянибудь из этих волн (не обязательно нарастающая) попала в синхро низм с резонатором. В цилиндрической конструкции синхронная волна и волны пространственного заряда вращаются с определенными угловыми скоростями, как твердые тела, поэтому условия синхрониз ма выполняются во всем пространстве взаимодействия (а не на одной окружности г = г, как для частиц) и возможно накопление взаимодей ствия при сколь угодно слабых полях. Вращающиеся волны простран ственного заряда существуют в электронных облаках различной структуры и наблюдаются на опыте.

Эти соображения являются довольно естественными и одинаково применимыми как к плоским, так и к цилиндрическим конструк циям. К сожалению, этими общими соображениями приходится огра ничиться, поскольку развернутая теория начальной стадии генерации в магнетронных приборах еще не создана. Она, в частности, должна объяснить явления, о которых говорилось в конце 3-й лекции.

С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю і

1. П. Л. К а п и ц а . Электроника больших мощностей. Изд-во АН СССР,

1962.

2.В. Е. Н е ч а е в . К анализу процессов в многорезонаторном магнетроне. «Известия вузов», сер. Радиофизика, 1964, т. 7, № 1, стр. 146—159.

3. Л. А.	В а й н ш т е й н. Пространственный заряд	в скрещенных	полях.
В сб. «Электроника больших мощностей», вып. 5.		Изд-во «Наука»,	1968,
стр.	147—194.

П р и л о ж е н и е II

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ОБЛАКА В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ (ДВУХПОТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ)

Электроны в приборах магнетронного типа движутся под действием постоянного (во времени и пространстве) магнитного поля, создаваемого магнитом или соленоидом, внешнего электростатического поля, перпендикулярного магнитному полю, и электрического поля, создаваемого самими электронами. Действие их магнитного поля по порядку величины равно действию их электрического поля, умножен ному на и2 /с2 (и — скорость электронов, с — скорость света), поэтому собственным магнитным полем можно вообще говоря, пренебречь. Одновременно следует пренебречь релятивистскими поправками в урав нениях движения, т. е. применять соотношения (3.01) — (3.04). Из 8-й и 9-й лекций мы знаем, что пренебрегать этими поправками можно не всегда, однако в тех случаях, когда уже нерелятивистское рас смотрение приводит к неустойчивости, пользоваться релятивистским нецелесообразно.

Рассмотрим двухпоточный режим в запертом плоском магнетроне. Электроны вылетают из катода с нулевой скоростью, описывают в про странстве взаимодействия дугу и при отсутствии переменного элект рического поля возвращаются на катод с нулевой скоростью. В ста ционарном состоянии

		/х = 0,	fv=fl(y),		х = хЦх),		у = у°(х),	(11.01)
где х =	t— г1 о есть		время		пролета электрона,			эмиттированного
катодом	(у	= 0) в момент t			= t0.	Первое	уравнение	(3.04) при ста
ционарном		движении	дает	первый		интеграл
					x = Qy,			(11.02)
поскольку		х = 0 при у =		0,	а второе уравнение принимает вид
				^	+ Wy = fy.			(П.ОЗ)

Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, нужно знать fv как функцию у = у°(х) или лучше как функцию т. Если выполняется условие

fy = 0 при у = 0,

(11.04)

255

т. е. ток ограничен пространственным зарядом (см. рис. 1.1), то, как можно показать,

/• = 8 я - і - / » т ,

(11.05)

где /J —плотность тока, поступающего с катода в пространство взаи модействия. Формула (II .05) вытекает из того, что в слое 0 < у < у0 (т) заряд на единицу поверхности равен /£-2т, если все электроны воз вращаются на катод, и поэтому при у = г/°(т) электрическое поле имеет составляющую

£° = 4я.;°-2т.

(11.06)

в той части пространства взаимодействия, которая достижима для электронов.

Из уравнений (11.02) и (11.03) с учетом начальных условий при вылете получаем выражения

г р

8л — jy

У°^ =		—	( О т - s i n От),			(11.07)
			е	„		(11.07)
			е	„
		8л	—	jy г
х° (т) =	х 0	+	т	Ш1—і	+ c o s От
			рз
пригодные при 0	<	От <	2я. Здесь х0 — начальная абсцисса			элект
рона, a Q > 0 . При QT =			2п вертикальная скорость электрона			об-
ращается в нуль вместе с его ускорением					и дальнейшее движение

электрона несколько неопределенно. Проще всего предположить, что при 2 я < От < 4я все электроны совершают нисходящее движение к катоду и при От = 4я попадают на него, причем нисходящее дви жение есть зеркальное отражение восходящего движения, определяе-

2л

мого выражениями (11.07), в которых для получения у0(г) при -q < .

< т < - ^ - надо заменить				От на 4я — От. Таким образом, мы имеем
двухпоточный	режим,		при котором			электронное облако			занимает
при катодную	область		0 <	у < d,	где
				16л2	— jy
			d=		— .				(11.08)
и характеризуется		поверхностной			плотностью			заряда
	~	-	Q	=Pod	\	Але		0 )	(11.09)
			^		(Ро	= ^	<

и напряжением между нижней и верхней границами облака

		2Я
d		а
Ue - - I El dy	= -	\ El d-f		dx = - 1 2 8	igl,	(11.10)
о		о	d T		"
которое можно также	переписать			в виде
		Ue=—		2no0d.		(11.11)

В формулы (II.05) — (П.Ю) входит плотность тока fy, которая определяется напряжением U между катодом (у = 0) и анодом (у = D > d) согласно соотношению

(У t7 e — 4яа 0 (D — d) = — 2яр0 (2D—d) d,

(11.12)

в котором учтено, что при переходе через плоскость у = d составляю щая Е°у непрерывна, а при у > d она может быть только постоянной

dE°

(в силу отсутствия пространственного заряда -— = 0) и потому

равной 4л 0 О .

Соотношение (11.12) является квадратным уравнением относи тельно d, т. е. относительно неизвестной плотности fy. Мы имеем

d=D—	і / D 2	и
	V	2 я р 0
D \| l - j / "	l - - ^і/,) ,	Uc=-2np0D\	(11.13)

и критический режим, когда электроны касаются анода, соответст вует обращению подкоренного выражения в нуль.

Если ввести толщину слоя d в формулы (11.07), то они примут вид

хо (т) = х0 + — Г - ^ -	— 1 +	cos Q T
		(11.14)
у°(х) = —- (QT — sinQt )	при	0 < Q t < 2 r t ,
2я

допускающий сравнение с формулами, получающимися при отсутст вии пространственного заряда (см. 3-ю лекцию); последние имеют вид

х° (т) = х0 + r0 (Qt — sin От), у0 (т) == r0 (1 — cos QT)	^ J І 5 )
при 0 < Q t < < 2 n ,

если х° = х0, х° = 0, у0 = 0 и у0 — 0 при т = 0. В этом случае толщина слоя равна 2 г 0 , где г 0 — радиус орбиты, определяемый фор мулой (3.09). Мы видим, что при сильном пространственном заряде электрон возвращается к катоду через промежуток времени AnIQ, т. е. через два циклотронных периода, в то время как при отсутствии пространственного заряда это происходит через один циклотронный период (через промежуток 2л/Q).

9 Зак. 1123

257

Можно также рассмотреть случай произвольного пространствен ного заряда, когда

/»= ф о+ 8 я ^ - / » т / ,

х° (т) = х0 + r0	(Q T — sin QT ) + ~	(QT)2	—	1 +	cos Qt	(11.16)
	2я	2
у°(т) = го (1 — cos QT) + —		( Q T — s i n		QT),
	2я
где Ф° — значение f°y	на катоде (при у	= 0	и т =		0), г0 =	ф О / Q 2 ,

a d по-прежнему определяется формулой (11.08). В этом промежуточ ном случае движение электрона является как бы суперпозицией дви жений (11.14) и (11.15). Если при вылете из катода электрон имеет

начальные	скорости vxo	и vy0,	то в эту	суперпозицию нужно еще
включить	слагаемые
	Лх° =	— —	cos Q T + vx0	т,
		Q		(11.17)
				(11.17)

Ауо = ^ - ° sinQt.

Покажем теперь, что двухпоточный режим неустойчив даже по отношению к симметричным возмущениям, при которых плотности заряда и тока не зависят от координаты х и электрическое поле имеет единственную составляющую Еу, зависящую от у и t. При симметрич ных возмущениях можно ограничиться рассмотрением движения только по оси у; мы пишем

	У = У°Ю+У1,	(П.18)
где	функция у°(т) определяет согласно формуле (11.07)	невозмущен
ное	движение, а у1 — возмущение этого движения. В	дальнейшем

удобно различать восходящее движение (к аноду) и нисходящее дви жение (к катоду), отмечая их соответственно значками «+» и «—»; тогда формула (11.18) принимает вид

y+=y°+(t)+yl+, y-=y°-W+yL-

("-19>

При обращении функции у = г/°(т) мы получаем двухзначную функ

цию

т = т±(у),

причем т+ (у)

есть обращение

функции

у+(х),

а ті. (у) обращение функции

У-(т).

При наличии

возмущений

уравнение

(11.03)

принимает

вид

Q?y=fy,

(11.20)

где для функции

fv можно написать выражение

= ф ( 0

4 я ^ а ( г / ,

t),

(11.21)

в котором ф (t) —значение

на

катоде

(при у

0), а а

(у,

t) —

заряд

между катодом

и слоем

с ординатой у (на единицу

площади

катода). В стационарном состоянии мы вместо функции 0 (у, t) имеем, как показано выше, функцию

(11.22)

обращающуюся в нуль при у = 0 и в а 0 при у = d. Объемная плот ность заряда создается (поровну) электронами, совершающими вос ходящее и нисходящее движения.

Отличие а (у, t) от о°(у) обусловлено, во-первых, смещением элект ронов при их движении (электрон, пересекший в стационарном сос тоянии плоскость у = const, в нестационарном состоянии не успел этого сделать, и наоборот) и, во-вторых, взаимодействием электронов с катодом (эмиссия и поглощение электронов в переменном поле происходят иначе, чем без него; в частности, подойдя к катоду на небольшое расстояние, электрон может опять отойти от него и пре бывать в пространстве взаимодействия гораздо дольше). Учтем сна чала только смещение электронов: будем считать, что электроны после достижения наинизшей точки (у>0 и л и у ^ . 0 ) опять начинают восходящее движение, т. е. будем исследовать колебания изолирован ного от катода электронного слоя толщины d с зарядом 0 0 на единицу поверхности, предполагая, что катод отодвинут от слоя на малое рас стояние б по отрицательной оси у,

В этом случае
о (У, t) = -y[e°(y-yl)+o°	(y-yl)],

поскольку изменение плотности заряда связано только со смещением электронов, и уравнение (11.20) можно более подробно переписать так:

у +	Q*y = ср (t) +	2я —	[о» (У-УІ)	+ о°	(у-уі)],	(11.23)
где у = у+	или у =	а	величины	у\ рассматриваются как

функции у и t, причем точкой здесь и ниже обозначается полная

производная по t.	Анодное напряжение			равно
		D
U=	-	j Eydy=-J^-<9(f)(D		+ 6 ) -
- 2 я	J	[o°(y-yl+)	+	&>(y-yL)]dy.	(11.24)
	—б

Линеаризуем теперь уравнения (11.23) и (11.24), считая функции у\. малыми и анодное напряжение U постоянным (последнее предпо-

259

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4126 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ