книги из ГПНТБ / Погребицкий Е.О. Геолого-экономическая оценка месторождений полезных ископаемых

гипсометрию ее кровли и почвы), следующие приближенные фор­ мулы:

где ое и oÉ — среднеквадратичные ошибки определения отметок почвы (кровли) залежи по ее гипсометрическому плану, построенному по данным разведки; А" — последовательные вторые разности для отметок почвы (кровли) по разведочным точкам; к — количество вторых разностей; К — значения «красных чисел» ячеек разведочной сети; к' — количество ячеек разведочной сети (число значений К).

Е. И. Попов определяет пределы, в которых заключена оценка ошибки построения гипсометрических планов. При оценке по вторым разностям

Числовое значение этого показателя К равно сумме значений рассматриваемого параметра (например, мощности залежи) в точках по диагонали ячейки сети без суммы значений в двух других точках,, деленное на 12:

Величина показателя выводится из сопоставления объемов трехгранных призм, построенных на треугольниках, на которые раз­ биваются ячейки сети, и четырехгранной призмы, у которой основа­ нием служит ячейка сети. Величина ребер призм равна значению показателя в каждой точке ячейки.

А. И. Осецкий доказывает, что «красное число» колеблется от О,

представительности по нашей терминологии) среднего значения параметра в пределах квадратной ячейки разведочной сети.

Выразив «красное число» в процентах к среднему значению параметра, получим относительную ошибку представительности по четырем точкам ячейки, показывающую, насколько ячейка сети отвечает изменчивости рудного тела.

Понятие о «красном числе» выводится А. И. Осецким путем не­ сложного геометрического анализа при одном важном допущении: в промежутке между смежными точками наблюдения исследуемый признак изменяется по прямой. Перегибы поверхности рельефа происходят по граням ячейки, а внутри нее — по диагоналям. Зна­ чит, метод «красного числа» предполагает, что каким-то другим

89»

способом установлен характер изменчивости исследуемого признака и сеть его измерений приведена заранее в соответствие с этим харак­ тером. Ограниченность применения «красного числа» для решения разведочных задач хорошо видна из рассмотрения следующего примера.

Пусть залежь разведана шестнадцатью скважинами (рис. 33). Значения мощности залежи показаны у скважин, «красные числа» по каждому из квадратов — в центрах квадратов. Средняя мощность залежи по шестнадцати скважинам 6,48 м, средняя величина «крас­

ближенную формулу для оценки погрешности средних содержаний

первых разностей между содержаниями в соседних точках; п — количество точек.

В работе, откуда взята эта формула, приводятся таблицы, данные которых подтверждают ее достаточную представительность, а также значительные завыщения погрешности вычисляемой по обычной формуле математической статистики:

Оф

т

Ѵ Т '

90

При оценке по значениям К («красных чисел»)

В обеих формулах значения фактических погрешностей построения гипсометрического плана залежи Оф и Оф.

«Ч-/

£ _________ «t'i+1

Фактическая точность гипсометрии, которой можно достигнуть при данном положении разведочной сетки,

Оф= ±

нием показателя в вершинах разведочной сетки и фактической отметкой в центре ячейки; пр — количество разностей.

Схема вычислений Оф и ое приведена на рис. 34 и в табл. 13.

Геостатистические методы

В последнее время в отделах и секторах математической геоло­ гии различных научно-исследовательских институтов стали прида­ вать особое значение теоретическим исследованиям Ж. Матерона,

91

изложенным в его работе «Основы прикладной геостатистики» [33]. Эта работа посвящена оценке точности определения содержания и запаса полезного ископаемого в разведуемом месторождении, рудном теле или блоке. В нашей литературе нет сведений о практи­ ческом применении в СССР методов геостатистики при анализе раз­ ведочных данных.

Нам представляется (впрочем, об этом неоднократно заявляет и сам автор), что положения Ж. Матерона могут иметь практическое применение при анализе геологоразведочных данных лишь для некоторых типов месторождений и для решения частных задач. Типы месторождений и круг задач, где применимы методы геоста­ тистики, можно определить в результате широких и систематически поставленных опытов использования предложенной методики при решении производственных разведочных задач на месторождениях различного типа. Поэтому на изложении прикладной стороны ука­ занной работы Ж. Матерона мы считаем необходимым остановиться несколько подробнее.

ОЦЕНКА РУДНОЙ ПЛОЩАДИ

Рассмотрим пример оценки рудной площади S (рис. 35). Задача сводится к интерполяции контура площади между рудными и без­ рудными точками (скважинами).

Ж. Матерой ведет рассуждения, исходя из правила «ближайшего района». Он формулирует при этом следующие два положения.

Скважины: 1 — рудные, 2 — безрудные; 3 — минимальная, 4 — средняя, 5 — границы мак­ симальной рудной площади.

1. Вероятное значение рудной площади должно быть принято равным на12, где п — количество рудных точек, а2 — площадь ячейки сети.

2. Мояшо определить две величины между которыми обязательно должно находиться истинное значение S. Это величины площадей

92

в контуре рудных скважин S t и в контуре безрудных скважин, соседних с рудными, S 2.

Ж. Матерон обращает внимание на то, что при таком оконтуривании рудная скважина А исключена из площади S x, а безрудная скважина В включена в площадь S 2, т. е. при данном способе оконтуривания ошибки определения истинного S неизбежны.

Добавим к этому еще одно существенное, по нашему мнению, замечание. В контуре S х могут быть безрудные окна, а за пределами контура *52 рудные блоки, необнаруженные при данной густоте сети, т. е. возможны еще кроме ошибок интерполяции ошибки прогноза вследствие непредставительности разведочной сети.

Продолжим рассуждения Ж. Матерона. Для рассматриваемой рудной площади S имеются три существенно различные оценки:

1)пессимистическая (нижний предел) S = 4а2;

2)вероятная £вер = 14а2;

3)оптимистическая (верхний предел) S 2 = 26а2.

При этом вероятная оценка меньше средней между крайними пре­ делами, которая равна 15а2.

В общем виде соотношения между средней и крайними оценками можно выразить через периметр рудной площади 2Р и величину стороны ячейки а.

Пусть п — число рудных скважин, каждой из которых приписана зона влияния в форме квадрата со стороной а. Определим площадь между оптимистической и вероятной оценками S. Каждый прямо­ линейный элемент длины, взятый на контуре средней площади, дает в эту площадь вклад Іа]2. Кроме того, каждый внутренний угол убавляет, а внешний прибавляет а2/4. Так как в рассматриваемом примере внутренних 7 углов, а внешних 11, то общий вклад их будет равен а2. Следовательно, искомая площадь между вероятной и опти­ мистической равна Ра + а2 и соответственно между вероятной и пессимистической Ра — а2. В общем виде имеем:

пессимистическая оценка

I\SX= {п + 1) а2 - Ра;

вероятная (средняя)

S вер = па2;

оптимистическая

S2= (п + 1) а2 + Ра.

Среднее между двумя крайними оценками всегда равно (п ! - 1) а2, т. е. на а2 больше вероятной. Отсюда делается вывод, что вероятное значение рудной площади связано с количеством рудных скважин, а дисперсия, характеризующая ошибку определения площади, свя­ зана с периметром среднего контура (граничный эффект).

На практике, заявляет Ж. Матерон, рудную площадь оценивают по формуле S = пага2, где п — количество рудных точек, a lt а2 — размеры ячейки разведочной прямоугольной сети. Иногда лучше оконтурить рудную площадь графически на основе дополнительных данных об изучаемом объекте.

93

Аналитически граничный эффект определяется исходя из раз­ работок Ж. Матероном теории транзитивных функций. Относитель­ ная дисперсия площади для частного случая, когда основные напра­ вления сети параллельны основным элементам контура рудного тела, оценивается по формуле

элементов а1 (а2), образующих рудный контур по взаимно перпен­ дикулярным направлениям.

ОЦЕНКА СРЕДНИХ СОДЕРЖАНИЙ

Схема де Вейса

Ж. Матерой полагает, что для большого количества рудных место­ рождений пространственная изменчивость содержаний может быть описана с помощью схемы де Вейса. При решении практических задач чаще всего используется изотропная схема де Вейса, опре­ деляемая изотропной функцией собственного рассеяния:

V (г) = За In г.

Константа За называется коэффициентом абсолютного рассеивания схемы де Вейса. Показатель этот характеризует степень и законо­ мерность изменчивости содержаний в пределах рудной залежи или, по крайней мере, ее геологически однородных частей, т. е. геологи­ ческих блоков, которые обычно выделяют при разведке и подсчете запасов. О способах определения числового значения коэффициента абсолютного рассеяния схемы де Вейса будет сказано несколько позже. Пока же остановимся на некоторых решениях практических задач по оценке точности определений средних содержаний, которые приводит Ж. Матерой на основе разработанного им аппарата соб­ ственной функции де Вейса.

Исходной в этом отношении является выведенная им формула де Вейса, определяющая величину дисперсии объема пробы ѵ в не­ котором поле V:

а2 (vN) = За ln .

94

Эта простая формула применима в частном случае, если объемы ѵ и V гомотетичны *.

Практически пробы и рудные тела редко бывают гомотетичными. Чтобы обойти это затруднение и обобщить формулу, вводится поня­ тие линейной эквивалентности проб. Обозначив линейный эквива­ лент проб Vчерез I и ее геометрического поля (рудного тела) V через L, формулу де Вейса можно представить в виде

ст2 (ѵ/Ѵ) = За ln .

Используя аппарат операции восхождения (преобразования формул с уменьшением порядка размерности фигур) в случае собственных схем, Ж. Матерой дает приближенные формулы эквивалентной длины линейных проб для ряда фигур. Куб со стороной а эквивалентен линейной пробе длиной 2,7а; квадрату со стороной а эквивалентна проба длиной 2а; для прямоугольника со сторонами а и Ъ линейный эквивалент L = а -f- b; для параллелограмма со сторонами а и & и площадью S = ab sin ср

L = y aa + üs+ 25';

для треугольника со сторонами а, Ь, с и площадью S

для трапеции с основаниями а и Ъ площадью S и средней линией т

Практически все формы рудных тел можно свести к указанным простейшим фигурам и таким образом установить эквивалентную для них суммарную длину линейной пробы. Далее, исходя из формулы

* Гомотетия — такое расположение подобных фигур, при котором вс - пря­ мые, соединяющие точки соответствующих фигур пересекаются в одной точке.

95

де Вейса, обобщенной введением понятия линейных эквива­ лентов, выводятся формулы для определения дисперсии средних значений содержания для рудных тел по данным опробования.

Для случая разведки тонких пластов квадратной сетью скважин дисперсия распространения содержания по скважине на квадратную

где а — сторона ячейки квадратной сети; I — мощность пласта. Дисперсия оценки содержания в пределах всей разведанной

площади

где п — количество скважин.

^ 4 ^ 4 6 V

Рис. 37. Рудный штрек с мощностью —3 рудного тела I и шагом между про­

бами h.

\Wx\\J , Л/*,

Формула эта верна, если разведанная площадь S в точности соот­ ветствует сумме зон влияния скважин. Если же контуры не совпа­ дают, необходимо увеличить а 2 на дисперсию определения контура площади S, учитывающую «граничный эффект», и тогда

б!

где о“ — экспериментальное значение дисперсии скважин; — — ib "

относительная дисперсия оценки площади.

Граничный эффект определяется исходя из разработок теории транзитивных функций.

При опробовании штрека бороздовыми пробами на всю мощность рудного тела I с шагом между пробами h (рис. 37) дисперсия рас­ пространения содержания в пробе на зону влияния, прямоуголь­ ника hl определяется по формулам

и график на рис. 38 дают значения дисперсии распространения в пря­ моугольном четырехугольнике в зависимости от отношения hjl.

96

Если сечение рудного тела S разделить на п прямоугольных зон влияния отдельных проб, то результирующая дисперсия оценки

среднего содержания по сечению

П

=-^2 5і<т|;

і~і

если все зоны влияния равны (рис. 39, а, б, в),

Для оценки дисперсии среднего содержания по жиле, разведанной горизонтальными параллельными штреками (рис. 39, г), если рас­ стояние между горизонтами h мало по сравнению с длиной штреков, дается формула, которая может быть использована при h]l < 0 ,5 .

где S — общая разведанная площадь; L — суммарная длина штреков. При hjl > 0 ,5 расчет по формуле дает завышенные величины дисперсии примерно на 15%. Если рудное тело разведано штреками

и восстающими, формула имеет вид

где — суммарная длина восстающих.

Общая дисперсия среднего содержания по рудному телу о2г = а<+ Од,

где а% — дисперсия распространения содержания, определенного по выработкам; о%— дисперсия распространения содержания в про­ бах на выработку; = оЦіг, п — количество проб по выработке.

Рис. 38. Дисперсия распространения а 2ѵ признака, определенного по выра­ ботке, на зону ее влияния.

h — высота зоны влияния, I — длина выработки.

Рис. 39. Модели опробования рудных тел.

Линейные пробы: а — параллельны; б — продолжают друг друга; в — продолжают друг друга, но расположены не по одной оси; г — располагаются по горизонтальным и параллель­ ным друг другу штрекам (Г—Г').

98