Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4240 41 42 > Следующая >>>

390

ГА Р М О Н И Ч Е С К И Й АН АЛ И З

[ГЛ. X V

Р е ш е н и е . Данная функция четная; применяя фор мулы (1), получим:

о0 = ■ §• JЛ	sin X dx	-- (—cos X) = — 4(cos я —cos 0 )= 4 -
Положив /г=1		в формуле для	ап,	найдем:
о

Д ля

2	я sm		cos X dx — — J71			2 sin
	Jn		* )*	я		1		л: cos
я					0
1	0
	J	sin 2x dx =		— ( —	cos 2x \
п	0			я \	2		/

=— (cos 2я — cos 0) =

п= 2, 3, 4, . . . получим:

X dx =

2л cos 2х

2я (1 - D - 0 .

ап = ■

sin л: COS пх dx Чті2 sin * cos nx dx.

Представим произведение

2 sin* cos/г*

следующем

виде:

2 sin*cos пх =

sin (п +

1)* — sin (п — 1)* *);

тогда

а„ ==

J" [sin (гс +

1) * — sin (п — 1) *] dx —

___

_1_

cos (я +

cos (я —

1) X

___

Г(.___

___1_

п +

п — 1

J o

C O S

cos

cos (я

■

cos (я

—

1) Я __

0 \]

)

я +

я — 1

я + 1

+ Я

— 1/J

~ Н '

C OS ( я + 1 ) я

cos (я —

1) я

я + 1

я — 1'

я + 1 *

я — 1.

1 С

cos ( я + 1 ) я

cos ( я — 1)я

*) Это

я L

я + 1

я — 1

я.2 -

равенство

легко

проверить, применив к

правой части

его формулу для

разности синусов двух углов.

**) J

sin (я +

X dx

sin (я — 1) *

определяются по

формуле 3) §

108.

§ 148] РЯДЫ Ф УРЬЕ Д Л Я Ч ЕТН Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й

391

ОтсюдаЙ 2

cos Зл

■

cos1л

2 \

COS Я

= І ( -

■

= -

1 л

1 - 1

± Y = - ±

(

}

) ~~

І з

Зя

cos 4я

cos2n

1 '

cosO

_ ’

(•

cosO

• n

а3 — я '.

4 .)

■ л (

4 J|—

(

( - Т

-1

1 ) -

cos 5л

cos Зл

COS Я

л ^

•3

1б)

л \

+ ■

' 15/

1 м

2 j

а5-

1 1

cos 6л

cos 4я

_я \ 5

cosO

15л '

cosO

Я ’к

12/

а6-

1 (

) -

cos77я

cos 5л

2 ’\

- і (

6 ^ 4 - Ж

Л-

COS Я.

COS я

Я ’1

35;)

35/

И T. Д.

Искомое

разложение

я (17

35 )

35л

запишется так:

2х

— г?—cos

4х

-т=—

* —

------ - —cos

— 2х

cos

О Л

cos

öon

cos

4х' .

cos5г+6л

-)-

-3

3*5

Согласно

теореме

Дирихле

полученный

ряд

сходится

к данной

функции

при

— я < ; * ^ я ,

поэтому

l * =

(

cos 2л .

cos

4х

cos 6л

. . . )

:s,n

( х-

3 -5

5-7

при всех

значениях

указанного

промежутка.

П р и м е р

Разложить

в ряд

Фурье

функцию

И*)-

при

— я ^

л ^

я.

Р е ш е н и е .

Применим'Я

формулы

(2),

так как

функ

ция

f(x) — x

нечетная:

Ьп ТІ™sin пх dx.

392	Г А Р М О Н И Ч Е С К И Й А Н А Л И З	[ГЛ. X V
392

Согласно равенству (5) § 146 найдем:

cos

пх

sin

п х

\]|п ___

2 ГІА/ ___ я cos пя

■

sin яп \ ___

« ь - К -

пг

)

О•cos О

sin 0 \1

я cos

cos

Отсюда

) —

Ьі =

___

( -

1) =

— 2 cos я

b2 =

2 cos 2я

2-1

2I,

—

~ =—

/іt>3 —

2 cos Зя

2 cos я

—

■

3 »

2 cos 4я

2 cos 0

т'

ИскомоеX

таково:- j

2хразложение- J

4х

2 sin — sin

sin Зл: —

sin

• • •

sin

== 2 ^sin X '

sin

, sin 3*

Этот ряд представляет функцию f(x) = х при всех зна чениях X промежутка от — я до + я, кроме х = ± л . Действительно, по теореме Дирихле при х — ± я сумма

ряда равна — -----

^-----= 0 ; значения же

функции при х — ~ я и х = п соответственно равны

—я и я, т. е. не совпадают с суммой ряда. Таким образом,

: = 2\|sin	X	sin 2х	.	sin З.ѵ sin 4x	+ • . . j при —	Я	<	X . < Я.
: = 2\|sin		о	I	Q	+ • . . j при —		<

П р и м е р 4. Разложить в ряд Фурье функцию

§ Н 8]	РЯ Д Ы Ф УРЬЕ Д Л Я Ч Е Т Н Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И И	393
		393

Р е ш е н и е . Данная функция — нечетная, а потому, применяя формулу (2 ), получим:

J'Ь

T s m n x d x = T jн

s m n x d x = T (

cos

пх

]

л .

„

2 I

------ —

2 п

пх л

—

— — cos

^(cosnn — cosO) — —^-(cosrax —

Отсюда

2I T ( C 0 S n - l) = - | ( - l - l ) = l ,

& != -

—

T J (cos

я —

1) = — - j ( 1

— 1 ) =

0 ,

— -|-(cosn — l)=s

b3~

—

~g" (cos Зя —

) =

bA =

— gTj- (cos 4я — 1) =

—

(cos 0 — 1) =

0 и

T. д.

— 4"(1 — I) =

Разложение напишется следующим

образом:

Х — — Я, sin х

sin

Зх

sin 5.V

При

3 ~

ряда

х =

0 и х =

сумма полученногох

не совпадает со значениями данной функции,

поэтому

указанный ряд сходится к функции f (х) при — я <

0< х < п .

Следовательно,

я	.	.	sin5Зх	.1	sin 5х ,1	. . .	при		. .	п	,
										0
•— =	SinxH-----		3----	1-----	g----- -			— я < х <
4	smx ■				5	..	при	0	< х < л .
и=			sin Зх	.	sin 5х

Покажем на примере разложения в ряд этой функ ции, что по мере увеличения числа слагаемых (простых гармоник) частичная сумма ряда (результирующая гар моника) все лучше и лучше представляет данную фун кцию.

394	рис. 149,	г а р м о н и ч е с к и й		а н а л и з		[ГЛ. XV
На	рис. 149,	/ показана первая гармоника				(sin JC)
ряда.	рис. 149,	П	изображены	первые две	гармоники
На	рис. 149,		изображены	первые две	гармоники
ряда ^sinx и -ІП-3д:. — пунктирные				линии) и	их	сумма
/ .	, sin Зх			\
sinx-j ----- ö------ сплошная линия .

На	рисунке 149, II I		показаны найденная сумма двух
первых гармоник ^sin х -f- sin33* — пунктирная						линия) и
третья	гармоника		_ пунктирная линия), а				также
сумма	трех	первых гармоник Isinx-j----		3	—	—	^--------
— сплошная		линия).				1

§ 14Ѳ] РЯДЫ Ф УРЬЕ Д Л Я Ч ЕТ Н Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И Я

395

IV —

На рис. 149,		5х
На рис. 149,	найденная сумма трех первых гар-
	sin
	—=-------—пунктирная линия , чет-
			Зх	.		5х .		7х
		пунктирная		линия^ и			сумма
		. sin			sin		sin

сплошная линия

Продолжая операцию сложения простых гармоник и дальше, мы будем получать результирующую гармонику (частичную сумму ряда), все больше и больше прибли жающуюся к двум параллельным отрезкам, изображаю

щим данную функцию.							данной функ
Вследствие периодичности ряда Фурьех,							данной функ
ции результирующая гармоника будет точно повторяться
через каждый промежутокУ п р а жзначенийн е н и я						равный		2	л.
								2
Разложить в ряд Фурье следующие функции:
1.	f (х) =	X	2 при — я <	X	^ л.
1.			2 при — я <		^ л.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

3 .

(3;

0),

( - 5 ;

0),

(0;

0).

4§.

3), (0; - 2 ) ,

(0;

0).

(3; - 2 ) .

(0;

3),

( - 3 ; - 2 ) .

6 .

( - 4 ; 0),

(0;

4),

(2; - 3 ) ,

(3;

4).

(5;8

( - 5 ;

3),

( - 5 ; - 3 ) , (5;-3)_или

О; 5),

(—3^5), ( - 3 ; - 5 ) ,

(3 ;-5 ) .

. (4 / 2 ;0 ),

(0;

4 / 2 ) ,

( - 4 / 2 ;

0),

(0;

- 4 / 2 ) .

10.

1) 10,

§ з

15.

/10 =

5 / 2 ,

а =

45°.

2 .

3 .

4 .

5 .

ЛВ = 5,

8 / І" ,

ВС —

13.

8 .

Л, ( - 4 ;

0),

Л2(12;0).

І З .

1) Лежат, 2)

не

лежат.

10.

( / з";

±3).

11.

(—2;

4).

'12.

^4; 9 -|-j.

9 .

(0;

14).

(1;

10)

10).

(I;

(5;

5).

14.

(-1 1 ;

13.

I) и

(5;

7),

(4;

- 6 ) .

ЛС =

/ І 7 ,

( І - ;

- і ) .

( - 9 ; 10).

(11;

2 .

( - 2 ; - 6 ) ,

(8; 2),

( - 6 ;

10).

7 .

5 .

95).

6 .

( - 4 ; -1 ) .

6).

)

( s j - ;

- l ) .

10.

( - 3 ;

4),

(4;

( і - Ь

(—8;

— 1).

11.

(—14;

17).

12.

(6,5;

3,5). У к а з а н и е .

Восполь

зоваться теоремой:

биссектриса

угла треугольника делит

противо

лежащую

сторону

на

части,

пропорциональные двум другим сто

ронам.

13.

(8;

2).

14.

(5,5;

4,75).

У к а з а н и е .

Сначала

найти

центр

тяжести

двух

материальных

точек, а потом центр тяжести

найденной

точки

третьей

данной.

іЗ .

(—2;

1).

16.

(1; 1).

17.

* =

* 1 +

з2 +

-3- ,

у =

М ± ± У і ± Ж '

18.

( -5 ;

-1 0 ).

19.

( - 2 ;

1).

и С

лежат,

2 . у

х =

3 .

не лежит.

у — — X.

4 .

у =

4х.

у1 — 4 .

6 .

у2

—

4х

+ бу— 3 = 0.

7 .

2х

3 . 2 + ’

—

8у

—

0 .

8 .

4у

9 . х2

у2

4 .

О ТВЕТЫ К У П Р А Ж Н Е Н И Я М	397

2 . у

у =

X —

§ Ю

6 . у

= — 5. 3 .

— 2.

4. у

= — 4.

5 . * = 3.

= 2.

х =

8 .

— 6.

9 .

tO. х =

лг =

— 6,

у =

— (j.

11.

у — 0, у —

или je =

X =

~у

И.

2 .

JC,

)

{/ =

Уз

ж,

§ П

— ж,

у =

5) у = 0.I

) £/ =

Прямая

совпадает с осью

Ох,

прямая

делит первый ко

ординатный

угол

пополам,

прямая

образует

с положительным

направлением

оси

Ох

угол а =

60°,

прямая

делит

второй коор-

динатный

угол

пополам.А

или

1) 60°,

3. у = — х

у = ~ ^ х .

4 .

лежат,

На

2) 33° 42'.

116° 34'.

6 .

не лежит.

7 .

прямой

4,X

— 3.

9 .

= — 5.

10.

—

У зI I .

— 10,

у — 2х.

у =

— х.

2х.

у —

или

10,

у =

12.

у =

—

х,

или

у =

, у =

13.

х =

у =

х =

— 6, у =

3; уравнение

диагонали

у =

—

я.

14. у

§—

120,4х.

15.

(4;

3) или (—4;

—3).

2 .

На

прямой

у —

8х

—

10.

3 .

у =

У =

я =X — 2.

(1 ;

о)

(0; -2),

(-2;

(0; -6).

—

— 5.

1) у =

х +

у X — 3,

/аГ X +

9 .

2, 2)

у =

І О .

1)60°,

135°,

26°34'.

11.

2) х =

12.

- 2 х - Ч .

18.

2) 0.

14.

== — X +

12.

15.

х +

- х

2 / 2

у, =у =

х - 2 У Т

у =

х -

2 У Т .

16.

Уравнения

усторон: уу =

—

у —

у — — х.

х,

х +

Уравнения диаго-

ух=+

Уз

налей:

Узх =

х =

Уз

или

—

17.

---------------------X, (/ = - д — х +

Уз

х + 8.

х = 0, у =

■ К, у-

-14j

4х +

5у =

3 .

2) у =

j x

1) у =

2х +

2 .

4 .

- ,

5 .

Зх +

4у =

2 х - 3 у - 12)=

0. 6 .

1) | - ,

7 .

135°.

8 .

2х — 3у = 0.

9 .

— —,

ІО .

b =

2,5;

а =

140° 12'.

»■ № £)■

398 О ТВ ЕТЫ К У П Р А Ж Н Е Н И Я М

02-

+ І =1>

£.

У_

3 .

10.

Т +

в1>

+ * ”

1- 3) 'Й '“

^ ==1-

5"В .

~ 6-

ли

у 2,

прямая

не

отсекает

отрезков.

50.

а х , -У

L +У

X = !

j/ __

£.

_ і

10.

5—

4х

■

5 ^ 8

’

8‘ Т + Т =1>

“

”

з !

— Зу =

у =

4 х - 3 у +

12 =

9 =

у I. (б;

—2). 2 . Проходит.

3 . у +

k (х

6).

4 -1 )

Ѵ з

х —

—

— 7 — 2 ѴТГ =

у Т х

Зу

2 1 - 2 1 / 3 “ = 0.

х -

у +

= 0;

У З х - Зу

+ 24 +

Ѵ з

= 0; л- +

у —

7 = 0;

= 8. 6 . 1) З х -

— у —

32 =

2х + у —

18 =

7. х

у — 5 =

х —

у +

5 =

1^3"je +

у — 6 У з

х” =

О,

Ѵ З

х - у

б / 3 = 0 .

9 .

у =

о,

у =

2 У з",

у =

/ З

5 У з ,

- /

x +

5 V j ;

у =

у — —

2 У з \

у =

/ 3

— 5 УэГ,

у =

— У з

— 5 У з .

дг -

Зу +

5 =

6х +167у -

9 =

0, 3)

7л: +

4у -

24 =

О,

5х

Зу

= О,

X +

6) у - I =

2. 3* —

— ІО = О,

— Зу +

2 =

О,

5у +

2 =

.х

I) arctg3, 2)

arctg-ху- 4 . arctg

Б .

В .

(2;

0). 7.

8 . —

—

9 . —

у — 2 = 0 .

НО.

Зх +

7у +

2 =

11. 2х +

З у - 4

х — 2у — 2 =

'32. Лежат.

13. у =

2х.

arcig -y ,

12,

arctg 3.

arctg - j,

arctg

2.y arctg5

или arctg-(—5).

3 .

1) 0°,

2) 90°.

4 . arctg

1,75.

5 .

—

3x,

У =

у =

2x, у =

-g- X.

§ 18

2x — у — 1=

0. 4 .

2x — у +

8 .

1) Д а,

да, 3) нет.

2 .

1,5.

3 .

+ 3 = 0.

5 . 2x + у — 6 = 0.

6 . X - б у + 8 = 0.

х = 2.

12.

4х -

5у +

15 =

9 . 4х +

Зу -

20 =

10.

2х +

Зу +

О,

Зх — у

—

15 =

О, X +

2у + 2 =

11.

6х + 5у — 56 =

Зх +

- 18 =

О ТВЕТЫ

У П Р А Ж Н Е Н И Я М

399

I)у

Да,

нет.

2 .

2х +

Зу

— 25 =

3 .

2х +

7 =

4 .

2* +

Зу

7 =

5 . Зх

Ау

20 =

10.

6 . 2х

9 =

9 .

7 .

Зх —

I = 0 .

8 .

2х — (/ — 3 =

+ 2у —

14 =

2х +

1) 2х -

у+

2// — 10 =

0, у

4у +

5 =

9 =

2у

— 8 = 0.

I I .

З х

Ау

— 7 = 0.

12. у —

у =

х,

— 4 =

или

у = — X, X —у — А —

£3. 5х — 2у —

У к а з а н и е .

Найти

коэффи

— 43 =

2х +

5//+ 6 =

угловой

циент

одного

из

катетов,

используя формулу

(1)

§ '17.

(2,5;

0),

§ 20

(2;

1), 2)

нет

пересечения.

^ 0 ;-----y - j .

2 .

3 .

Точка

пересечения

^0;

-|-j.

4 .

+ y = y j ;

(1;

1),

y - j .

5 .

(3;

0).

6 . 2 x - y + l = 0 . 7 . x

0. 8 .

- 2y +

12.

10.

9 .

—

+ 11 = 0.

5x - f

- 9 = 0.

11. 2x

+ 1 = 0.

(1;

- 3 ) , (7; - 1 ) ,

(9; С5),м е ш(3;а н н3)ы .е

з а д а ч и

(—

1; 3).

^ 3 -|-;4 j.

^ 2 - y

(0;

2).

2 .

Общая

точка

Уравнение прямой

— 2х. 5 . х

В .

Лежат на пря

Ау

мой

—# +

7 .

13.

І О .

(6;

и (—8;

—8).

11.

1,5.

12.

Длина диагонали 5; уравнения диагона

лей:

8х +

6 р - 3 9 =

Зх —

26 =

( - 3 ;

и ( - 1 ;

4).

14.

~5,6.

19.

и 23.

=a r c t g y ,

arcfg

arctg(—0,4).

17.

45°.

18.

З / І

Зх

— 5(/ +

20 .

+ £/+

7 = 0

и л и

х - р + 1 = 0 .

21.

у —

X — у +

2 =

Зх +

2у

— 24 =

0; 2)

у = 0 ,

х —

у + 2—Q,

Зх — 8// +

36 =

22.

Зх — р — 4 =

Y lÖ .

23 .

Зх +

% + 1 1

24.

(5;

25 .

(1; - I ) .

26.

(-3 ,8 ;

-1 ,6 ).

27 .

2 х + 'у -

14 =

8).31.

30 .

32.

(6;

2),

З/ЁГ

-28.

5х — у —

15 =

29 .

arctg2,5.

(0;

—2) и

- у

х +

(0;

-7 )л

34.

*/ +

2 =

0, Зх +

у — 12 =

(9;

1).

33.

у 2.

24.

У к а з а н и е .

Площадь

параллелограмма

можно

определить двумя

способами: по основанию

и высоте

(т. е.

s =

ah)

и по двум сторонам и

углу между ними (т. е.

s =

sin а).

35.

20.

З В .

у = X , у

у14; 2)

х,

=338,. ху =

37.

2х +

У —

- 5

у=

х - 2 у - 5

ЗВ .

1) у =

12,

х +

12,

х +у

28,

41.2)

X=-

28,у - //=

=_— х +у =28,—

х42+ .

12.В

/ з ” х +43.

2 / 3

Ѵ З х

- у

+ 2 У Т = 0 .

40 .

( - 8 ; - 3 ) ,

(1;

6),

(2,8:

2,4).

З у

у —5.—

(2,4; 6,4),

(3,6;

5,6).

4 4 .

4х —

—

80 =

4х — 3у =

- 4 5 .

^3 у

5 - |- j.

46. X + у + 5 = 0. 47. X — # + 3 = 0, х + у + 3 = 0. У к а з а н и е .

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4240 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf