Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4239 40 41 42 > Следующая >>>

380	ГА Р М О Н И Ч Е С К И П АН АЛ И З

§ 146. Интегрирование по частям. Пусть и и ференцируемые функции X, тогда по правилу имеем:

	d (ио)	=	dv	,	du
	dx		U dx		V dx
ИЛИ			—---- Ь		V du, ’
	d (uv) — u d v +
откуда	u d v — d (uv) — V du.

[ГЛ. XV

ѵ — диф IV § 70

( 1)

Взяв интеграл от обеих частей равенства (1), получим:

J u d v = J d (uv) — J V du,

или	(2) служит	( )
Равенство	(2) служит	формулой интегрирования по2
частям.	1 . Найти J x c o s x d x .
П р и м е р	1 . Найти J x c o s x d x .

Ре ш е н и е . Положим

и— х,

тогда

dv — cos X dx,

( 3 )

du =

dx,

cos X dx = sin X

(произвольное

V —

напишем

постоянное

интегрирования

в окончательном

результате).

Подставив

(3) в (2),

получим:

sin

cos

- f

cos

X dx =

sin

— J sin

X dx — x

П р и м е р

2 .

Найти

J x c o s n x d x .

Ре ш е н и е . Положим

и— х,

dv = cos nx dx,

§ 146]	И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е ПО ЧАСТЯ М	381
		381

тогда

du — dx,

По

формуле 4) §

V— I cos nx dx.

108 получим:

1 •sin

nx.

cos

nx dx ■■

Согласно формуле

(2) имеем:

: dx

cos

nx dx ■

sin

s in /гл

* ):

sin

Sin

cos

(4)

— cos

Аналогично

можно

найти:

(5)

I .

cos

.1 sm

nx dx — ------------------------5—

П р и м е р

Найти J x2cos nx dx.

Р е ш е н и е . . Положим

u — x*,

откуда

dv = cos nx dx,

du = 2x dx,

n x d x —

Sin

tlx

( )

cos

(см.

пример

--------

Подставим

( ) в

(2):

sin

dx--

х г

их

лг cos

nx dx

X2sin nx

------------

Приняв

----------------------- Xsin nx dx.

во внимание равенство

(5),

получим:

f ^ c o s nx dx =

x ‘

n nx

_ A f _

+ C l} =

2x nx

+ c. 1

(7)

sin

cos

2 sin

1Гг

/ia

*) Применяется формула 3) § 108.

382	ГА РМ О Н И Ч ЕСК И Й а н а л и з	[ГЛ. XV

Таким'

же

образом

найдем:

2.vsinn.r .

2 cos пх

( )

1 A sin пх dx =

х2 cos п х

§ 147. Примеры разложения функции в ряде Фурье.

П р и м е р

Разложить(

в ряд

Фурье

функцию

при

— я

О,

ІО

при

Р е ш е н и е .

а < ! я .

найдем

коэф

По

формулам

(1) §

143

фициенты

Фурье

+ я

ао: IT I

^ x d x + ^ j o - d x .

Но

J 0

■ dx =

С,

так

как

dC — 0 • dx;

кроме

того,

J 0 ■ dx =

С — С =

Поэтому

а° —

Т~2Г

”- , + т -

= т ( ° - 4 ) —

т -

ап = —

+Я

пхX

dx —

—

Jо

A cos пх dx

0 dx.

■

Приняв

/ (A ) COS

равенство (4) §

146,

-)-----

во внимание,

получим:

( X sin пх

cos пх

+ 4--о =

я*

J r

п2

1 /

0 • sin 0

cos 0

nsi n( — пл)

, cos(— ля) "I ]

п2

(

+ 4

л sin пл

cos пл

:	1 / 1		Л - 0	COS пл \		=	1 / 1		\
		—Т	п	—	}		г		1 — COSпл).
	л	\ пг		п2			лп2 '		'
			-------------------	5				(

§ 147]

П Р И М Е Р Ы

Р А З Л О Ж ЕН И Я

Ф У Н К Ц И Й

В Р Я Д

Ф УРЬЕ

383

Отсюда

c o s ^ = : ^ ( 1 + 1) = T '

ö ‘ = 1T F ( I -

fl2===

я Ь 5^ 1 “

cos 2я) =

W ^ 1 “

1)= 0 ’

'■

ß3 =

7 T F

_ c o s 3 jt ) =

з І г

“

C0Sjl)==(

( 1

= —!—

4- n =

-!L -

32я

^ '

32я ’

“

cos 4д ) =

-4 ^ ( 1

- c o s 0 ) = - ^ ( l - l ) = 0

И T. Д.

Как видно, при четном значении п коэффициенты ап равны нулю.

+ X

J f (х) sin пх dx —

JX sin nx dx + ~J0 •dx.

—я

(5) §

- я

Согласно

равенству

146 получим:

—

cos

пх

sin

их

\ Г

_і___ 1_

Q ___

» . - - и -

п2

—я

-±{ — О • cos О			sin О
			rä2
—Н°+‘		я cos пя
Отсюда	Ъ\ = -	cos л	= 1,
		I	= 1,
	^2	cos 2я
	^2	2

иcos Зя

	3	"
Ь* = -	cos 4я
	4

			п		пп)	sin (— Ня) ]}=
			п
Г я. cos (—
L пп		)			1 /	я cos		пп	+ ^ ) :
п'2		)
sin		)
		л	\		я л\	п л \	___		п	пл
		л	\		п	j			п
		1	/		cos				cos
1	’
2	’				1
cos я					1
	3			3 '
cosO					1
	4				4

384	ГА РМ О Н И Ч ЕСК И Й	а н а л и з	[ГЛ. X V

Искомый

ряд

напишется

так:

sin 4х

4 - cos* +

C O S 3-V + W

cos5* +

sin X

sin22х

sin Зх

“Г

‘ * •

Согласно

теореме

Дирихле этотх —рядл.сходится

к дан

ной

функции

во

всех точках

Н —

промежутка

значений

х — л

от

— я до +

я, кроме х = — я

равна

самом

деле,

при х =

— я

и ■ ~2~,

сумма

ряда

я) +

(л)

— л +

между

тем

как

значения

функции

при

х =

— я

и х =

я соответственно равны

— я

и О,

т.е. не совпадают с суммой ряда. Таким образом, можно написать:

cos

З х

“

,f *

cos

• • • J "

,Г

T +

(

C O S X

і ■

5 “

sin

2 х

sin

З х

sin

„

при

+ ^ S i n

—

Я < Х <

Я .

------------

-----------1----------

з ----------------------

4 -----------

П р и м е р 2.

Разложить

& ряд

Фурье

функцию

Р е ш

(х) =

при

х <

я.

2ле н и е .

Здесь для

определения

коэффициентов

Фурье

используем

формулы

(3) §

143:

*) J cosn x d x определяется по формуле 4) § 108,

§ 147]

П Р И М ЕР Ы РА З Л О Ж ЕН И Я Ф У Н К Ц И И В Р Я Д Ф УРЬЕ

385

Приняв во внимание равенство (4) § 146, получим:

j X

sin

л .

—

h r - s i n t t *

■

г\\

[

. .

Г я

^к п

"я

[~2п

(Sln

— sm °)

соз 2л

О • sin О

п ■

л sin 2яя

\ 2/г

sin

л • О

п2 +

г И

2п

= ±л (\J L . oи

cos nx \ 2я"

It2

b		J	2пп ,
H	1	/ 2л sin	0 .
	cos О
	2	1-------я------ +

cos 2л	п	JLW
		2л2	)
2п2
= Т	('~ 2 ^ + г к Н 0-

Таким2я

образом,

все

коэффициенты

а0,

щ ,

а2,

а3, . . .

равны

нулю.

2я

sin

2я

пх dx ■

1 Г

п.\X dx

■ -J

л: sin

2я

_1_Г_Я _ cos nx

\ 2я

я sin

rfjcj .

nx dx

Применяя

sin

формулу

(5) §

получим:.

146,

(

cos

\ |2л

1 /

cos

пх

sin

ПХ \ 2п'

)

;іо

2 1

п2

г я

cosп2яя.

cosO

(

„

L 2

sin 0 у

2л cos 2я/г

sin 2ял

0 • cos 0

2 l

п2

(

п2

■)]

) -

2л

(

J _

п2

____n_

Итак,

jt_

bn -

откуда

b\ =

b2 =

\ ,

— \

T. д.

13 И. Л, Зайцев

386 ГА Р М О Н И Ч ЕС К И Й АН АЛ И З [ГЛ. X V

Искомое разложение

будет:

Зх

sin X

sin 2х

sin

—у ^ -х

при

Полученный хряд сходится

к функции

всех значениях

в промежутке от

до

л, кроме

и х =

2л, как это и следует из теоремы Дирихле.

Таким образом, 2х

sin Зх

при

< X <

я.

л —X

sin а:

sin

~~2

§ 148. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Функция f(x) называется четной, если при подстановке вместо X величины —х знак функции не меняется, т. е.

f { - x ) = f{x).

Например, х2, co sx — четные функции, так как (—х)2 =

= X2, cos (—х ) =	cos X.
Функция /(х)	называется нечетной, если при подста

новке вместо X величины —х знак функции меняется на

противоположный, т. е.

f { — x) = — f(x).

«».

Например, х3, sin x — нечетные функции, так как (—х)3= = —Xs, sin (—х) = — sin X. -

Заметим, что произведение двух четных или двух не четных функций есть четная функция, а произведение

четной функции	на нечетную есть функция	нечетная
В самом деле,		,
(— х)2 cos (— х) =	х2 cos X — произведение двух четных
	функций,
(— х)3 sin (— х) =	X3 sin X— произвёдение двух	нечетных
	функций,

cos (— х) sin (— х) = — cos xsin X — произведение четной функции на нечетную.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относи

§ 148]	РЯ Д Ы Ф УРЬЕ ДЛЯ Ч ЕТ Н Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И И	387

тельно начала координат. Примеры таких графиков даны на рис. 147 для четной функции, на рис. 148 — для нечетной.

Если f( x )— четная функция, то

аа

				J	f(x)dx — 2		J	f	(x)	dx,
				J			J		(x)
	f(x)		~a				0
если	f(x)		— нечетная функция, то
если			— нечетная функция, то
					а
Эти		равенства			J /(X) dx s= 0 .
Эти		равенства			можно	подтвердить геометрическими
соображениями.				Пусть		а				выражает площадь
соображениями.				Пусть		J / (х) dx				выражает площадь

Рис. 148.

фигуры, заключенной между графиком функции f(x), двумя прямыми X = —а и х = а и осью Ох, тогда в слу чае четной функции [(х) эта площадь равна удвоенной площади фигуры, образованной тем же графиком, осью Ох и прямыми X = 0 и X = а (рис. 147); в случае нечет ной функции площадь равна нулю, так как она состоит из двух равных площадей с противоположными знаками (рис. 148).

. 13*

388

ГА Р М О Н И Ч ЕС К И Й АН А Л И З

[ГЛ. X V

Приняв во внимание 'сказанное, можно упростить формулы (1) § 143, написав их в следующем виде:

для случая четной функции

а0	2		dx,
а0	— •		dx,
Я	— •				( 1)
ап — J/ (х) cos пх dx, bn =					0 ;
о
для случая нечетной функции
а0 = 0		и	ап — 0	,
	Я	и		,	(2)
Ьп — -§• J/ (х) sin пх dx.

Как видно, ряд Фурье (2) § 143 для четной функции состоит только из косинусов, т. е.

оо

f(*)= -T+ 2 a" cos пх'

n=!

а для нечетной функции — только из синусов, т. е.

					f (*) =	2		Ьп s in n * .
	П р и м е р 1.					П=І		в ряд	Фурье	функцию
				Разложить
		Г М =			1 * 1	при		—
а	Р е ш е н и е .		Функция			у	=	х \		(см. рис, 79),
								\| (1)— четная
	потому согласно формулам								имеем:
	Оо:	—	JЛДГ ^ = _2_хг п= —1 ,(П2— п\°) = я:,
		2	Г .						2
			о	X cos пх dx.
	ап = —'		Jя

§ 148] РЯДЫ Ф УРЬЕ Д Л Я Ч ЕТН Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф УН К Ц И Й	389

л: sin п х

cos п х \

Приняв

во внимание равенство (4) § 146, найдем:

Г я sin пя

cos пп

(

~ W )_

яL п

п‘

' I

0 • cos 0

cos О V

/ я • 0

■ cos п я ___ 0_____ 1_\__ 2

I cos пя

і \ __

я \ п ”

п2

п2 )

я V я2

п 2 )

Отсюда

—

').

— rico sn n

1 ) = 4 ( _ 1

“

яп1 х

G' =

l T F ( C0Sir“

° 2 = lèw(cos2л~ V = ’я 4 2' ( і “

1) ==0>

a3 ==l T 3 5'^C0S 3 n — 1) = -^ ^ 32-(co sn — 1) =

я • 32 ^

я - 3 2 ’

“ ^

IT W

(cos 4я — ^

= '1 Г ¥

<cos

T. д.

— J) =

0 и

я • 42 (1 — 1) =

„

г-

Искомоех

разложение будет:

я ■ з2

(

я • 52

cos Зл

—-------- cos

---------я - cos

4Зл:--------=s. -cos 5л: —. cos 5л

Применяя

(

созл +

З2

- ) •

хтеорему Дирихле, можно

показать, что по

лученный ряд сходится к данной функции при всех

значениях

от

— я

до

я.

Следовательно,

можно

написать:

\x\ = Y - - ( c ° s x + - w - + - g - + . . . )

при — я ^ х ^ я .

П р и м е р 2. Разложить в ряд Фурье функцию

f(x) = |sinx| при — я ^ л ; ^ я .

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4239 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf