книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

График функции у = 3 sin 2л можно получить и из графика функции г/ = sin ас, представленного на том же рисунке пунктирной линией, уменьшив масштаб по оси Ох вдвое и увеличив его по оси Оу втрое.

§ 141. Гармонические колебания.

I. П р о с т ы е г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . В естествознании и технике часто наблюдаются периоди­ ческие процессы, т. е. такие явления, которые повторяют­ ся через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

В равенстве (1) постоянный множитель А, представляю­ щий наибольшую величину, которую может иметь у,

называется амплитудой колебания, {at + ср0)— фазой колебания, со — частотой колебания, а фо — начальной фазой.

Функция (1 )— периодическая с наименьшим перио­

происходит одно колебательное движение, поэтому ее на­ зывают периодом колебания. Обозначив ее буквой Г, напишем:

откуда

2 я

Таккак Т — время одного колебания, т о - у -----число ко­

лебаний за время 2л. Таким образом, величина со опре­ деляет частоту колебаний. Преобразуем равенство (1), применяя формулу для синуса суммы двух углов:

нальной расстоянию 5 точки от притягивающего центра

О. Найти закон движения этой точки.

Ре ш е н и е . Движение точки происходит по прямой линии, соединяющей начальное положение движущейся точки с центром О. Примем точку О за начало отсчета пути 5. По условию сііла, действующая на точку, есть

F — nS,

где п — коэффициент пропорциональности; кроме того, мы знаем, что эта сила равна произведению массы точки

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициен­ тами. Характеристическое уравнение

Это уравнение показывает, что точка совершает гармо­ нические колебания около центра О.

II. С л о ж н ы е г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . ^ Не всякий периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Очень часты слу­

Рассмотрим пример. Пусть даны две простые гармо­ ники, определяемые уравнениями:

y — s\nt

и

г/ = sin

На рис. 145 эти гармоники изображены пунктирными ли­ ниями, сложная же гармоника, являющаяся графиком функции

*/ = sin^ + sin3/,.

представлена сплошной линией. Любая точка сложной гармоники имеет ординату, равную сумме ординат точек, лежащих на простых гармониках и имеющих одну и ту же абсциссу. Так, например,

Как видно из рисунка 145, результирующая гармо­ ника будет повторяться через каждый промежуток I =

=2 я, т. е. будет периодической, но по своей форме она

уже теряет характер синусоиды.

Можно доказать, что вообще при сложении простых гармоник с разными частотами получается сложная гар­ моника не синусоидального вида, а при сложении гармо­ ник с одинаковыми частотами — гармоника того же вида, что и простые.

§142. Тригонометрические ряды. Как было указано

в§ 141, наблюдаются периодические процессы, которые нельзя рассматривать как простые колебательные явле­ ния. Положим, что какое-либо периодическое движение задано при помощи некоторой периодической функции, отличной от (1) § 141. Чтобы иметь представление о ха­

промежутка значений аргумента величина каждого члена ряда будет периодически повторяться.

Чем больше простых гармоник ряда (2) мы сложим, тем точнее результирующая гармоника будет представ­ лять периодическое движение, заданное функцией f(x). Поэтому вопрос о разложении функции в тригонометри­ ческий ряд приобретает очень важное значение в при­ кладных науках.

Процесс разложения функции, представляющей слож­ ное периодическое движение, в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом.

§ 143. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Чтобы раз­ ложить периодическую функцию f{x) с периодом 2 л в тригонометрический ряд, нужно найти коэффициенты этого ряда. Мы приводим здесь без вывода формулы, по

§ 144. Возможность разложения непериодической функции в ряд Фурье. Периодическая функция, как мы уже знаем, определяет колебательное движение. Однако бывают колебательные явления, которые совершаются по закону непериодической функции. Поэтому для изу­ чения колебательного движения, подчиняющегося непе­ риодической функции, выгодно разложить эту функцию в ряд Фурье, что оказывается возможным при некоторых условиях, о которых скажем в § 145.

Пусть, например, задана функция

график которой изображен на рис. 146 отрезком пря­ мой AB.

Покажем, что для разложения данной функции в ряд Фурье можно и к ней применить правила § 143.

Для этого введем вспомогательную периодическую функцию ф(х) с периодом 2 л при условии

К функции ф(х), как к периодической, можно приме­ нить формулы § 143. Но мы знаем, что тригонометриче­ ский ряд достаточно рассматривать для промежутка значений аргумента от — л до - f л (§ 142), поэтому формулы § 143 имеем право применить не только к функции ф(х)> но, согласно условию (2 ), и к заданной.

Величина суммы ряда Фурье, полученного для функ­ ции (1 ), вследствие периодичности его членов будет по­ вторяться через каждый промежуток, равный 2 я, и при­ нимать значения данной функции (1). Поясним это гео­ метрически. С этой целью перенесем отрезок A B (рис. 146),

и/

сохраняя его направление, вдоль оси Ох на расстояния, равные 2я, 4л и т. д., вправо и влево от начала коорди­ нат или, как говорят, продолжим периодически график функции (1). Возьмем значение х внутри промежутка от —я до + я , например,

л = OD — 2,

тогда ордината

DC = / (2) = -J • 2 = 1

даст величину суммы ряда Фурье функции (1) при х = 2 . Ясно, что при

X = O D 2 — 2 + 2я

или

X — O D i — 2 — 2я

величина ординат D 2C2 и DiCi, а следовательно, и сумма ряда при тех лее значениях х не изменится и будет равна по-прежнему единице.

Обратим внимание, что для значений х вне проме­ жутка от — я до + я сумма ряда Фурье функции (1) и значения этой функции не равны между собой. Действи­ тельно, сумма этого ряда при х — 2 + 2 я, как мы узнали, равна 1 , а значение функции

/ (2 + 2я) = D2M = -тр (2. + 2я) — 1 + я.

Все сказанное выше подтверждает мысль, что ряд Фурье функции имеет смысл рассматривать только в промежутке — л ^ х ^ я.

§ 145. Условия Дирихле. Теорема Дирихле. Как было уже сказано, функция f(x) с областью существования

— л ^ X ^ я может быть разложена в ряд Фурье, сходя­ щийся к данной функции f(x) при определенных усло­ виях. Эти условия, называемые условиями Дирихле, за­ ключаются в следующем:

1 ) функция должна быть непрерывной в промежутке значений х от —л до -f-я или может иметь в указанном промежутке разрывы первого рода (см. § 57, стр. 155), но только в конечном числе-,

2 ) функция должна иметь конечное число максиму­ мов и минимумов или не иметь их совсем.

Одной из основных теорем, применяемых при иссле­ довании рядов Фурье, является теорема Дирихле.

Т е о р е м а Д и р и х л е . Если функция f (х) с областью существования —л ^ х ^ я удовлетворяет условиям Ди­ рихле, то

1) ряд Фурье функции f.(x) сходится в указанном промежутке значений х\

2 ) сумма этого ряда равна функции f(x ) во всех точ­ ках ее непрерывности-,

3) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна величине ординаты средней точки скачка графика функции-,

4) при X = л и X = — я сумма ряда одинакова и равна

f(—л) + / (я)

2

Примем указанную теорему без доказательства. Заметим, что в дальнейшем изложении мы будем

пользоваться только функциями, удовлетворяющими ус­ ловиям Дирихле, а потому в каждом разбираемом при­ мере не будем останавливаться на этих условиях.

Прежде чем перейти к разложению функций в ряды Фурье, мы должны познакомиться с методом интегриро­ вания по частям, без которого нельзя определять коэф­ фициенты Фурье.