Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5224 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
315
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

360

РЯ Д Ы

[ГЛ. XIV

 

Согласно теореме § 134 ряд ( 1 ) можно почленно диф­ ференцировать любое число раз, при этом полученные ряды будут иметь тот же промежуток сходимости, что и ряд ( 1 ). Продифференцируем ряд (1 ) п раз:

 

f'

(,ѵ) =

 

 

а

1

 

2

2

 

 

 

2

 

2

 

4

2

-(- . . .

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

а

-ѵ: -f- За х

 

-|- 4n x

 

 

 

 

 

f"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . +

 

nanxn~l

 

 

. . .,

 

 

 

 

(x) =

 

2а

2

+

 

 

 

 

 

4 2+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 • За3х +

3 ■ 4а х

+ . . .

 

 

 

 

f"'{x)

 

 

 

 

 

. . .

 

+ ( п — 1)папхп~2

+ . .

 

(

2

)

 

=

 

 

2

 

3

+

 

2

• 3 ■ 4а4х + . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- За

 

 

 

 

 

. . . ,

 

 

 

 

 

 

. . .

 

+

{п

—

2

)

(п

—

1 )папхп~3 +

 

 

 

 

Положив в fравенствах

 

(1) и (2) х =

0,

 

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

а0,

 

 

 

 

отсюда

а0 =

[(0

),

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f"

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

отсюда

ax= f ' { 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2 =

~ ~ ),- ,

 

 

 

 

 

f'(0) —щ,

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

а2,

 

 

 

 

а3 =

 

Г (

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т. д.

f'" (0 ) =

2

■ За3,

 

отсюда

-/туг^

 

 

 

1

 

 

найденные значения коэффициентов в ра­

Подставив

венство

0( ),

получим:

- ^

 

*

2+ . . .

+

]^ р - х п +

. . . (

)

 

f(*) = f(

) +

f'(

0

)

*

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Равенство (3) представляет собой ряд Макларена, позволяющий разложить функцию y = f(x) в ряд по степеням х.

§ 136. Примеры разложения функций в ряд.

П р и м е р 1. Разложить в степенной ряд Маклорена f(x) = e\

Р е ш е н и е . Для этого находим:

.

f"(x) = ex, f"'(x) = ex

и т. д.

§ 136] П Р И М ЕРЫ РАЗЛ О Ж ЕН И Я Ф У Н К Ц И И В РЯД 361

 

Положив

х =

0,

 

получим:

f'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

0

) =

 

1

,

 

0

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

и

т. д.

 

 

 

f"

(

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

0

) =

1

,

/ "'(

0

) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

ѵ*2

 

 

 

 

уЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

иП

 

 

1

 

ех = 1 +

х + - х2 1

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

я!

 

 

'( )

 

 

 

 

 

 

 

 

+

- 4 т з +

•••

 

х

 

 

 

•••

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ^ Г +

 

Ряд (1) сходится при любом

значении

 

 

(см. упражне­

ние 3 § 134).

2.

Разложить в степенной ряд Маклорена

f(x)П р и м е р

 

= sinx.

 

Находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

 

 

 

f(

0

) =

 

1,

 

 

 

 

f'(x) =

sin д:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) =

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

П

 

0

) =

■

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■■— sin

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f"'(0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

И

 

 

 

f"

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

/ " ( * ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

) =

 

 

 

 

 

 

 

r

w

=

 

— COS X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- I ,

 

 

 

 

■

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

 

 

 

 

Г ( Х )

=

X

 

 

 

И

 

 

 

 

 

0

 

1,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г ’ (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COS X

 

 

 

И

 

 

 

/<ѵ,(0 ) =

 

0

 

 

 

и

т. д.

;<VI)(*) =

— sinx

 

И

 

 

,f{VI>(

) =

 

- ,1

 

 

:(VI,)(*) =

— cosx

 

 

 

/(ѴІ»

 

1

=

 

2 - 1

 

 

 

Таким

образом,

- - 7/ f + •••

+

( _

 

)П- Іл я

+

( 2)

sinx = x

- ^* 3

+

^

 

 

 

 

 

 

X5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2/i -

 

1)!

 

 

Составив ряд из абсолютных величин членов ряда (2), исследуем его на сходимость. Применим признак Да-

ламбера,

2

 

 

 

1

М я + 1

 

2

 

1)1

 

 

“ п

U 2" - 1! .

 

 

 

и-2п+,|

 

’

 

( я - )! ’

„

/і

~ ( я +

 

 

 

 

 

 

п„ /г+ !|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 —1 1

 

 

 

 

 

 

 

Цд+і _ _

I

X

 

 

. ________

 

я(

 

 

 

 

ип

2

 

+

 

1

2

 

1

2

2

 

1

 

lim

(

 

 

о

)!tn

• ( я — )!

lim

 

я + ) *

lim

 

« ( « +I )

= X 2

 

-5

я ( я +

)

іг-^оо ип

 

 

 

 

 

I\

 

 

-

 

7 K— i—гг = 0.

 

 

 

 

2

2

1

 

 

 

 

2

 

 

2

1

362

РЯДЫ

[ГЛ. XIV

 

Последнеех.

2

х\

сле­

равенство справедливо при любом

 

довательно, ряд ( ) сходится абсолютно при

всяком

 

f(x)

 

X.

 

 

 

 

значении

 

3.

Разложить в

степенной ряд

Маклоре-

на

П р и м е р

 

 

= cos

 

Данная функция разлагается

в ряд

та­

 

Р е ш е н и е .

ким же способом, как и sinх,

лг. Однако ряд для cos*

можно получить проще. Так как степенной ряд (2)

схо­

дится

при всех

значениях

то, дифференцируя

его,

получим степенной ряд, сходящийся при том же усло­

вии (теорема § 134). Взявry

 

производную

 

от

обеих

ча­

стей равенства

(

2

),

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

1 —

З . Ѵ - 2

.

 

 

5

* 1

 

 

lx

6

 

ь . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C O S

 

3!

1

 

5 !

 

 

7!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

( 2

« - 1

x2n

 

 

 

 

 

илиX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• • • + ( - Г

 

( 2 n - 1) !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 !

 

 

4 !

 

6 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 r e ) l

 

 

 

1

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

2

 

 

X4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( - l) n x2n

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 —

X .

 

 

 

 

 

X

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 4-

 

. .

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C O S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)П=р и м е р

4.

 

Разложить

в степенной ряд Маклорена

 

 

 

( l + x ) m.

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

 

 

и

 

/(

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f{x) = (\ + х Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

/'

(х) =

т

 

 

 

х)т~1

 

 

 

 

 

 

 

 

т;;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m ( m+—

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

/' ( ) =

 

 

 

т (т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

 

 

 

l ) ( l + x ) m

 

 

и

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

—

 

);

 

 

 

f"(x) =

f'" (х) =

 

2

 

f"

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(т

2

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т(т

—

1

)

—

) (

1

+

 

х)т~3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

— т(іп

—

1

) (от —

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ( т — 1)

 

о

1,

 

т ( т — \ ) { т — 2)

3 .

 

 

 

 

Таким

образом,

 

1 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - 2 - 3

 

 

 

 

 

 

 

( l+ x ) m= l - f

тх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2.3

х п'

 

л

-г

.

 

 

т ( т

 

 

 

 

(т

 

 

 

 

 

[т

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

1)

 

— 2) . . .

■т-

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(га — 1)]

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

т

— натуральное число,тто ряд (4)

обрывается

 

1

на ( / л +

 

)-м члене, так

как

последующие коэффици­

енты обращаются в нуль;

при

дробном

или отрица­

§ 136]

П Р И М ЕР Ы РА З Л О Ж ЕН И Я Ф У Н К Ц И Й В РЯ Д

363

 

тельном

этот ряд бесконечный. Применяя признак

Д а-

ламбера,

можно

 

показать,

что

бесконечный

ряд

(4)

сходится

при | х | <

1

.

 

 

 

 

 

П р и м е р

5.

Разложить

f (х) = arcsin х

в

степенной

ряд.

 

 

Применим

формулу (4)

к

функции

Р е ш е н и е .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ Г ^

(1 - X 2) 2 =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Y L- X2

- П

Г ; 2 ------- ( -

 

 

 

= 1

+ ( -

т ) (-■ **) + -

 

+

 

+ ~-

2

=1 :

1

-+з

і—х ------2+

Ч| -х‘>+- х 2)3+- | - ^. .+. . . .

(5)

 

 

 

2

 

 

 

 

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до х, полу­ чим:

X

*

 

 

2 JX2 dx +

 

 

 

X6 dx + . . . ;

J

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

+ 4-Х3

 

4+- —40 XХ5

 

 

 

+

arcsin X

 

 

 

 

112

или

arcsinx = X + -g- + —2fQ- +

-щ- +

 

(6)

 

 

.

,

X3

. З х 5 .

5 х 7

,

 

 

Так как

ряд

6(5) сходится

при | х | <

1,

то

 

и ряд (6 ) со­

гласно теореме §

134 сходится при | х | <

f1.

П р и м е р

. Разложить в степенной ряд

 

(х) = arctg х.

364 РЯ Д Ы [ГЛ. XIV

 

 

Р е ш е н и е .

Согласно

формуле

(4) имеем:

 

 

 

1

+

* 2 (1 + -v T ' = 1 + ( — 1)*2 +

"

■ (~ 2~ °

* 4 +

 

+

(—1 — I) (— 1— 2) X6

+ . . . = 1 —

X2

+

X4

—

А'6

+ . . .

 

1- 2- 3

 

 

 

 

 

 

Интегрируя

равенство

(7) в

пределах

 

от

0 до

(7)

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ,

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vf

dx

d x — о X2 d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\+х*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

а rctg л: = X

или

■ — xö

— — X '

+ .

3

 

8

arctg х = х

 

X

-

 

- +

-g-------

 

- +

( 8)

Ряд ( ) сходится при

—

 

3

 

 

7

 

I

 

I < 1,

так как ряд

(7) сходится

при | х | <

1 (теорема

§

 

134).

 

 

 

 

§ 137. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям. Степенные ряды имеют большое приложе­ ние к приближенным вычислениям. Покажем это на примерах.

П р и м е р

1. Вычислить sin 18°.

 

мере

равен

Р е ш е н и е .

Угол 18°

вх =радианной

.0,3142. Подставив значение

0,3142

в

формулу

(2)

§ 136, получим:

 

~

 

 

 

 

sin 18° = sin 0,3142 ~ 0,3142 -

 

 

0,3090.

П р и м е р

2.

Вычислить

~ 0,3142 — 0,0052 =

я.

6

 

 

—

Р е ш е н и е .

Положив в равенстве

~( ) § 136 * =

и учитывая, что arcsin у =

получим

 

~ +

 

+

,3

+-25. 4 0 . отсюда

я~ 3 + -^ + _ 9 ^ ~ 3 + 0,125 + 0,0141 ~ 3,14.

§ I3S]

РЯ Д Ы С К О М П Л ЕК СН Ы М И

Ч Л ЕН А М И

365

П р и м е р

3. Вычислить J

 

dx.

 

о

Р е ш е н и е . Неопределенный интеграл данного вида не может быть выражен в элементарных функциях. Од­ нако его можно в указанных пределах вычислить при­ ближенно с помощью рядов. Разделим обе части ра­ венства (2) § 136 на х:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

X ^

,

_

_х^_

.

X 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда получим;

 

 

X

 

~

1

 

31

 

~*

51

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ^ d x

~ / d

x

-

 

 

w

 

I х 2

 

d x

+ - k

/

 

х і

d x =

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

X

 

 

 

 

 

0

 

X?

+

 

 

о

5

[1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

о ------—

 

 

 

5!5 X

 

Іо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!3 *

~

1- 2 - 3 - 4 - 5 - 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1•2•3•3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 138.

Ряды

 

с

 

 

 

 

 

 

» 1 -

0,0556 +

0,0017 = 0,9461.

 

 

 

комплексными членами. Возьмем ряд

 

 

(Д[ +

bj)

+

 

а-2

+

 

 

Ь2І)

+

 

. . .

+

(flf-n +

bni)

+

 

. . . ,

(

1

)

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

составленный из комплексныхсходящимся,чисел вида

 

ап

+

bni,

где

а

и

b

— действительные

числа,

 

а

і

— мнимая

 

единица.

Ряд

(1) называется

 

 

 

 

 

 

 

 

если ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

йі +

а2

+

3

+

 

. . . +

 

ап

+ . . .

 

 

 

 

 

 

2

и

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

Ь\ +

Ь2+

 

&з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

(3)

составленные из действительных частей и

1коэффициен­А

товВ;

при

мнимых

 

 

частях

 

членов

ряда

(

 

),

 

сходятся.

Пусть суммы рядов

 

 

(2)

и

(3)

соответственно

 

равны

 

 

и

 

тогда сумма

 

ряда

 

(1)

будет

 

равна

 

Л + В г .

Н а ­

пример, сумма членов ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■

+ 7 ') + (і + 7

')+

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

366

р я д ы

[ГЛ. XIV

 

 

равна

 

.

1

.

з .

.

 

с

,

и.

1

2

1

=

г Ч

1

=

~2

+

1 — - ’ 5

+

 

2

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем теорему.

Ряд с комплексными членами сходится, если схо­ дится ряд, составленный из модулей его членов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сходится ряд

Ѵа\ + Ь\ + Ѵ а \ + Ъ\ + . . . + Ѵ а1 + Ъ1 + . . . .

(4)

составленный из модулей членов ряда (1). Как видно,

Поэтому члены рядов (2) и (3) не превышают соответ­ ствующие члены ряда (4). Следовательно, ряды (2) и (3) сходятся и притом абсолютно (§ 132), а потому сходится и ряд (1). Теорема доказана.

В некоторых случаях рассматриваются степенные

ряды

aQ

axz

+

a2z2 + a3z3

+ . . . + a „ z re+ -

 

+

 

 

где a0, au «2. ct3 . . . — действительные или комплексные числа, а z — комплексное переменное вида х-\-іу. Пользуясь доказанной теоремой и известными нам при­ знаками сходимости, можно исследовать сходимость и таких рядов.

§ 139. Формулы Эйлера. В § 136 мы представили по­ казательную функцию ех в виде ряда ( 1 ) для действи­ тельных значений показателя. В полных курсах выс­ шей математики указывается, что этот ряд имеет тот

§ 1391

Ф ОРМ УЛЫ Э Й Л ЕР А

367

 

же вид и в случае комплексного показателя. Таким об­ разом, можно написать:

С.

уО

Ait

мд

■9'*’

 

 

=

z

1 +

2 +

 

 

 

3!

 

 

4!

 

 

 

5!

 

 

 

 

 

 

x-j--іу.

 

 

 

 

 

-2Г + -зР +

1Тр +

 

Тй-+

 

••• ■ ^ T T + ' -*» 0) *)

где

 

— комплексное переменное вида

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

iy,

I

 

В частном случае, положив в равенстве (1)

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei,J

=

1

+

 

іу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(іу) 2+

(іу) 3

,

(lyY

I

 

 

(іу)

 

+

 

 

 

M L

 

 

 

ИЛИ

 

 

21

+

 

31

+

 

41

 

+

 

 

5!

 

 

 

 

n\

 

 

 

 

 

 

 

 

^ r

 

 

i3y 3

 

l*y*

 

 

 

 

- k +

 

 

 

iny n

 

 

 

Іи

 

 

I I -

 

I

i2y2

I

I

 

 

,

 

i*y*

 

I . . .

,

, -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

41

 

 

 

 

51

 

 

n\

 

 

e^ = \ +

ty +

 

 

 

+ ^ r - \ - - ir +

 

 

 

 

 

i5 =

/

+ ^ r +

 

 

Ho

 

 

 

 

 

 

— 1 ,

 

 

іг =

—і,

 

 

 

 

I _Уy 4

И

T. Д.,

 

 

 

поэтомуе'У

=

1 -|- іу

 

У

__

 

ty

 

 

|_ tyi a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

3!

 

"r

 

 

4!

 

"r

 

5!

 

 

 

 

 

Выделив действительные и мнимые члены, напишем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■/2

 

 

„4

 

 

 

 

 

 

( _

 

2)Л^ Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z + Z _ .

 

 

( /і)!

 

1

 

 

 

 

 

i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. +

 

 

;_ )П- у п- і

 

j

 

Приняв

 

+ ( »

 

3!

 

5!

 

 

 

•

 

 

^

 

 

(2/i -

1)!

+ . . .

 

 

во внимание

формулы (3) и (2) § 136, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еіу =

cos

у

+

i

 

sin

 

у.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

Заменив в равенстве

(2)

у

 

на

 

—у,

напишем:

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

е~іу

=

cos (—

у)

 

+

i

sin (—

у),

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е~іу =

cos у — i sin у.

 

 

 

 

 

Равенства (2) и (3) выражают связь между показа­ тельной и тригонометрическими функциями. Эти равен­ ства были даны Эйлером.

*) Можно показать, что этот ряд абсолютно сходится при всех значениях г.

368

 

 

 

 

 

 

 

РЯ Д Ы

 

 

ІГЛ. XIV

 

Решив равенства

(2)

и

(3)

 

относительно

cos

у

и

sin

у,

получим:

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jy 4

е-іи

 

 

у

 

 

 

(4)

 

 

cos

у =

 

 

 

и

sin

=

 

 

 

 

 

------^------

 

 

 

но­

 

Заметим, что

из

равенства (2) легко получить

 

вый

вид записи

комплексного

числа, имеющего

модуль

ги аргумент у, а именно:

г(cos у + i sin у) — геіу.

рическойТаким иобразом,показательной.комплексное число может

быть за­

писано

 

в

трех

 

формах:

в

алгебраической,

 

тригономет­

 

 

 

Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

і Y 2>

—

2

^cos

2

e

3

1 .

 

 

Формулы2

 

+

i sin - j j =

 

 

 

 

Эйлерау у

позволяют

установить

 

периодичность

показательной функции. Действительно, заменив в ра­

венстве

(

)

на

 

+

2

я, найдем:

 

 

у

 

 

 

 

 

 

е(у+2п)і

_

cos()y

_ j _ 2

л) -{-

isin(y

+

2

я) =

cos

 

+

 

i

sin

у — eiy.

Таким образом,

 

 

 

е{у+2п)1 =

gi;/(

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

(5)

 

 

 

giy+2ni — еІУ'

 

 

 

 

 

 

 

(5)

Равенство

 

показывает,

2

что

е'у — периодическая

функция с мнимым периодом

 

яг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г Л А В А

XV

 

 

 

 

 

§

у140<

 

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

 

 

AГрафики функций вида у = As\xus>x. В даль­

нейшем изложении нам придется использовать функции

вида

 

=

 

sin и*, а также их графики.

 

 

 

 

Покажем ниже на примерах, как строятся графики

таких функций.

Построить

график

функции

f/ =

sin3x.

П р и м е р

1.

Р е ш е н и е .

 

Данная

функция — периодическая:

об­

ластью ее существованиях =

служат2п,

все

действительные

числа. Построим график этой функциих и у.

для значений

аргумента

от

х =

0

до

 

 

составив предваритель­

но следующую таблицу значений

 

 

 

 

 

X

0

Л

Я

 

Я

 

2я

5я

Я

7я

4я Зя 5я

11л

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6*

"3

~2

 

3

6

 

Т

3

2

3

6

 

0

 

0

0

У

1

0

 

- 1

 

0

1

- 1

0

1

0

- 1

Рассматривая

каждую пару

значений

х и

у

как

ко­

ординаты точек графика=

данной, функции, построим эти

точки

 

и,

проведяу

через них плавную линию, получим

график

функции

 

 

sin3x,

представленный

на

рис. 143

в виде сплошной линии— синусоиды с наименьшим

пе-

риодом

2

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из рисунка 143, этот график можно по­ лучить из графика функции y = sinjt, изображенного на том же рисунке пунктирной линией, уменьшив мас­ штаб по оси Ох в три раза.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности