Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5224 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
315
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

350

Положив

в

 

 

 

РЯ Д Ы

 

 

 

 

 

ІГЛ. XIV

 

 

неравенстве

(7) п =

Г, 2, 3, 4, 5,

по­

лучим:

 

 

 

 

1п 2 — In

21 <

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 3 — ln

<

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1п4 — І п З < - ~ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 5 — ln 4 <

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In (n + 1) — ln n < .

 

 

 

 

 

 

Сложив эти неравенства, найдем

 

 

 

 

 

 

 

l n ( n + l ) < l + y +

-j-}--f +

...

+ — •

 

Пусть п —* оо, тогда

- ^ - + . . .

+

—

>

1п

(п

+

1) —► ОО.

 

 

 

1 + у

+

у

+

 

 

 

Следовательно,

гармонический

ряд расходится.

 

 

§ 130. Достаточные признаки сходимости ряда.

два

 

 

1. С р а в н е н и е

 

р я д о в .

Будем

сравнивать

ряда с положительными членами:

 

 

 

 

 

 

и

 

 

Ui +

Щ +

иг + . . .

+

ип + ...

 

(1)

 

 

Ü

1

" Ѵ Ь2

 

ü

3 ~

Ь

ѵ п •+

• •

 

+• • •

( 2 )

 

1

1) Пусть ряд (2) сходится и каждый член ряда (1)

меньше соответствующего члена

ряда

( ); тогда и

ряд

(

1 )

сходится.

 

(2)-

расходится

 

 

2

 

ряда

 

 

 

 

 

2

 

2) 1 Пусть

ряд

и каждый член

( )

больше

соответствующего

члена

ряда

( ); тогда и

ряд

( ) расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примем указанные признаки без доказательства.

 

П р и м е р

1.

Для

установления

сходимости ряда

Т П Г -^ 1-2-3

 

І - 2- 3- 4

 

 

( л +

1)1

 

 

^

*) Принято произведение 1-2-3. . , /п

0

записывать1

символом т\

и читать «эм факториал» (по определению

 

! = ).

 

§ 130]

Д О С ТА ТО Ч Н Ы Е

П Р И ЗН А К И

С Х О Д И М О СТИ РЯ Д А

351

сравним его с рядом

2 3 ~

”

2 я ~ • • • >

(4)

 

2 ~ 2 2 '

 

составленным из членов бесконечно убывающей гео­ метрической прогрессии. Каждый член ряда (3), начи­ ная со второго, меньше соответствующего члена ряда (4); кроме того, как мы знаем, ряд (4) — сходящийся. Следовательно, и ряд (3) — сходящийся.

П р и м е р 2. Возьмем ряд

 

 

 

V2

+

Уз

+

' * *

 

+

 

Ѵп

 

 

(5>

и сравним его с гармоническим рядом

 

 

 

 

 

 

1+т+і+ •••+т+ •••

со второго,

Так как каждый член ряда

(5),

начиная

больше соответствующего

члена

 

рядаЕсли

( в),рядеа рядс (поло­) —•

жительнымирасходящийсячленами(§ 129), то

 

ряд

 

(5)

 

 

 

6

 

6

 

 

тоже

расходящийся.

 

2,- П р и з н а к Д а л а м б е р а.

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняется

и\

+

и2

+

и3

+

 

. . .

+

ип

+ . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

и п + 1 _

_

 

 

 

 

 

 

 

 

то

данный ряд

 

 

 

 

Ип

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п->°о

при

I

<

 

1 и

расходится при

l >

1 .

 

 

сходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примем этот признак без доказательства.

 

 

П р и м е р

 

3. Исследовать сходимость ряда

 

1 , 3 , 5 ,

 

 

 

,*

 

2

я —

1

,

 

 

 

"гГ

 

22

'

 

*

 

•

• •

 

 

 

 

2п

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

2я -

1 .

 

 

 

 

 

 

 

2» + 1 .

 

 

 

 

 

 

2n

’

 

 

Un+i

 

 

 

2n+>

’

 

 

un+ 1 __

2ft +

1 .

2ft — 1

 

 

 

 

 

2n +

1

 

 

un

 

~

2n+ l

*

 

2n

 

 

~

 

2 ( 2 и -

1)

’

352

 

 

 

 

 

 

 

РЯДЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ГЛі XIV

Применяя признак Даламбера, находим:

 

 

 

 

lim "a±Le

lim -

 

+

 

!-

 

2

 

Hm

 

n ^2 _ _ L j

 

 

 

 

«я

Л „ 2 ( 2 « - 1 )

 

n1™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

n->QO 2

+ 4

 

 

•

1

< I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Данный ряд сходится.

 

 

lim .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимость ряда

 

 

П р и м е р I

4. Исследовать,

 

 

1

 

1-2

 

 

3

 

 

 

 

I

пі

I

 

 

 

 

Ю

"»■

ю*

f

 

Ш

 

'

 

* ''

 

 

' ш"

^

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

1 - 2 - 3

 

. . .

п

 

 

U.

 

 

1 - 2 - 3 . . . и ( п + 1 ) .

« я =

,

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

10“ +1

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

« + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . .

 

 

+

1) .

1- 2 • 3 . . .

 

___

 

 

+

I .

ип + 1

 

п {п

п

 

п

ип

1- 2 - 3

 

 

 

 

 

 

 

lim

Ю"+|

 

 

’

, 1 + 1

10"

 

 

 

 

10

’

 

 

Un

=

lim

10

 

— оо.

 

 

 

 

 

Данный ряд расходится, так как найденный предел ока­ зался больше единицы.

При исследовании ряда на сходимость может ока­ заться

Пт - ^ = 1 . п-»оо ип

В этом случае признак Даламбера ответа не дает, а потому для исследования ряда нужно применить

другие приемы.

 

 

 

У п р а ж н е н и я

 

 

 

 

 

Исследовать.

 

сходимость

рядов

 

 

 

 

 

1

^

 

 

1

 

^

3 •

 

 

 

 

 

 

 

1 1 - 2

 

 

•

 

 

 

п 2 "

 

 

 

 

 

2 2 2

 

I2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

1 - 2

 

 

1

----- ---- -----и

( п —

 

)

ön + ■ •■

 

 

 

 

-

 

* ^ 5-2

 

т

 

 

 

 

 

2

3

1

2

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

§ 131] П Р И ЗН А К С ХО Д И М О СТИ ЗН А К О Ч ЕРЕД У Ю Щ И Х С Я РЯ Д О В 353

 

 

з. — ---- ь ——

 

+ —

 

 

 

 

 

 

{п+ 1

)

 

 

Л+І

+

•••

 

 

 

 

 

2 • 22

 

3 • 23

 

 

4 •24

 

 

 

 

2

 

 

 

4.

0,001

+

/ Щ

Г

+

 

/0,001

+ . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ /0 ,0 0 1

 

+ . . .

 

 

 

 

е 1 , 2 . 3 . 4 ,

 

 

.

П

 

0 1+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

102

 

 

 

3

 

 

+

п +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5- 2 + Т + Т + У +

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

 

 

+

2

 

 

Ю

 

 

 

3'+

п\

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

. - Г + "Г-^

 

1- 2- 3

 

 

 

+

 

 

+

 

 

 

 

_3"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

З

 

Т +

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

8

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1

 

1

1 - 2

 

 

•2-3

+,

■

 

•2.3-4

•••

 

 

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

+

1-2

,

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2-3

1- 2- 3--4

п Ѵ п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 / Г

 

 

З / З

 

 

4 / 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

22

1

 

23

 

 

 

 

24

 

+

•

+ — 4-

"•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2

"

*

 

 

 

, - т + т +

1

+ ж +

 

 

,1

+ ^ +

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

1

 

 

 

 

 

2 3

\— -— н

 

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

 

 

 

1

‘

 

 

. с ~

 

 

"

п (п

+ 1)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2 1 2-3 1 3- 4 1 4-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000

,1 2000

 

,1 3000

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 131.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000/1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак сходимости знакочередующихся рядов.

Знакочередующимся

 

рядом

называется

 

 

ряд

вида

 

и 1

— И 2 +

 

И 3 —

«4 +

 

Ы5 —

U 6

 

 

 

 

(1 )

 

 

 

 

+ . . .

+

( —

1)П + ' Мл

+

• • • >

где

щ,

и2,

«з.

— числа

 

положительные. Докажем сле­

Если

 

в

 

дующую теорему:

 

 

 

 

 

 

 

 

ряде

каждый

член

по

 

 

 

 

 

 

 

знакочередующемся

абсолютной величине меньше предшествующего и если

то ряд сходится.

 

 

 

Яlim->оо

ип =

0 ,

 

 

 

m

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначив буквой

четное

число членов ряда

(

1

), напишем сумму

тп

 

его

членов:

S,n =

И|

—

И2 +

И3 — И4 +

Иб — И6 +

. . -.

+ И

m - l

Um.

Эту

 

 

 

 

 

сумму можно

представить

в следующем виде:

S m

=

( и ,

 

и 2)

( и 3

 

н 4) - J -

( и 5

Ид) - J - . . .

"1"

(um— I

и

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 И..Л. Зайцев

354

 

 

 

 

 

 

 

 

РЯ Д Ы

 

 

 

 

 

 

 

 

ІГЛ. XIV

или

 

Ui

(іІ2

 

Ыз)

(М

 

U ) . . .

 

(Цт—2

 

 

 

 

l)

 

^пг( )

S m -

 

 

 

 

 

 

4

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Согласнот

условию,

разности

в

скобках

 

 

 

 

 

 

равенства

(2)

положительны;

следовательно,

сумма

S m

с

возрас­

танием

возрастает.

Разности

в

скобках

 

равенства

(3) также положительны; поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S m,

 

возрастая

при

т -+ оо,

остается

меньше

 

up,

 

зна­

чит,

S m

имеет предел, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

1іш5т = 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

с

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S m

 

Мы

доказали,

что сумма

четного

числа

членов

имеет предел при

т —* оо.

т

— *оо

 

числа

 

членов

5 т+і

 

Докажем,

 

что

сумма нечетного

 

тожеп

имеет

пределS nпри

 

 

 

 

 

и

притомп ->

 

тот

же са­

мый. Отсюда будет следовать, что суммат

любого

числа

1

членов ряда

(1)

 

имеет предел при

 

 

оо.

 

 

 

 

(

Возьмем сумму

нечетного

числа

 

+ I

 

членов

ряда

);

 

тогда

 

 

 

 

==

S m

+ ^m+l- ‘

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдя к пределу при

т ~* оо,

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim00 S m+I ==m-lim>00

S m- f

Hm

um+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m->

 

 

 

 

 

 

 

 

m->со

 

 

 

 

 

 

 

 

Приняв во внимание равенство (4) и условие теоремы, напишем:

lim S m + 1 = S + 0 = S .

т - > ОО

Таким образом, при всяком п, как четном, так и не­ четном, предел суммы членов ряда (1 ) при /г—► оо один и тот же, т. е. существует

П->

 

S n

= S .

 

 

■ lim

 

 

 

 

ОО

 

 

 

Следовательно,сходимости знакочередующихсяряд (1) сходится.

рядов.

комДоказанная теорема

 

служит

достаточным призна­

 

 

 

§ 132]

е р .

АБСОЛЮТНО

СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ

355

П р и м1

Исследовать сходимость ряда

 

1

2

 

'

3

4

 

(_!)«+>

 

 

_ ±

 

.

± _

± .

■ •

+

 

Р е ш е н и е .

1

Так как +

 

и

 

 

> — > — > — >

> —

 

 

 

 

^ 2 ^ 3 ^ 4 ^

• - л

 

 

 

 

 

 

lim — =

О,

 

 

 

 

 

 

П~* со

 

 

то согласно доказанной теореме данный ряд сходится.

Исследовать

 

 

 

Упражнения

 

( -

 

)"+І

 

 

1.

I -

 

 

 

сходимость

рядов:

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+

1

 

 

1

 

 

 

VT .

Уз

 

VT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УК

 

 

 

2. 1— ■1 i- 2 .

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

( − 1пі +

^

 

1 _

2

 

 

 

1- 2 - 3

 

1 - 2 - 3 - 4

і- . . .

 

+ 4

 

—-1

1

 

 

 

 

 

 

 

------ - ...

,

 

 

 

, І

 

_ А

4-

 

 

 

 

 

 

г

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

4- ( - l) ”+1n

 

 

 

 

 

3 , 1

 

3 + 5

7 + " ' + 2« - 1

 

 

 

 

 

дан ряд

§

132.

 

Абсолютно

сходящиеся

ряды. Пусть

членами

 

и \

+ Ы2 +

и 3

+

и 4

+

• • • +

и п

+

 

• • ■ 1

( 1 )

которого

служат

 

 

как

положительные числа,

так и отрицательные. Напишем новый ряд, состоящий

из абсолютныхI

величин членов ряда

(

1

):

 

 

«1 1+

I н21+ 1 «з I -|- I «4

1+ . . .

+ | ип I + . . .

(2)

 

 

 

 

 

 

если ряд

 

 

сходится,

то схо­

Можно доказать, чтоРяд называется(2)

 

абсолютно,

сходя­

дится и ряд

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щимся, если ( сходится) .

ряд, составленный из абсолют­

ныхОвеличинп р е д е лвсехе н и егое .

членов.

 

 

 

 

 

П р и м е р .

 

Ряд

-------- +

+

^

 

+

 

1 — -

+ - ------ - Ч—

 

(3)

2

4

8

16

 

32

 

 

 

 

 

12*

356

 

 

 

 

 

 

 

РЯДЫ

 

 

 

[ГЛ. XIV

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсолютно сходящийся, так как ряд

"4"

пп—I

 

 

 

+

-

+

-

+ - +

—

+

— +

.

3

 

 

 

2

 

4

8

16

 

32

 

 

 

2

( ),

составленный из абсолютных величин членов ряда

сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

1

Однако

не

всякий

сходящийся

ряд

есть ряд абсо­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

лютно сходящийся. Например, ряд

 

п

(4)

1

 

2

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

_ ± 4 _ ± _ і + ± _ ± 4 .

 

. J - >‘

 

 

сходится

'

3

 

4 ^ 5

§

 

^

‘ +

 

 

 

 

(см. пример

131);

но

ряд, составленный из

абсолютных величин его членов

 

 

 

 

 

 

1+ т + і + т + у+ і +

 

••• +

•••

 

 

 

 

 

 

 

 

не

абсолютно

условно

схо­

дящимся.есть гармонический, а потому расходится

(§ 129).

 

 

Ряд

(4)

называетсяСходящийся

 

рядилиназывается

не

абсолютно или условно сходящимся, если расходится

ряд,

составленный

из

абсолютных

величин

всех

его

О п р е д е л е н и е .

 

 

Упражнения

 

 

 

 

членов.

 

 

 

 

сходятся

ряды:

 

 

 

 

 

 

 

 

Выяснить, абсолютно или не

абсолютно

 

 

2

16 ^

,

н (

2− 1) 1+1 ,

 

 

2.

- 1 4 ^ 8

+

—

ТГ-----+

 

 

 

 

 

 

 

 

...

4 (

г− 1)”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

§ 133. Функциональные ряды. Пусть дан ряд

 

 

fi М +

fz(x)

+

fs(xH

•••

+ fЛ *) + •••>

(О

 

 

 

+

членами которого служат не числа, а функции аргу­ мента X. Такой ряд называется ф у н к ц и о н а л ь н ы м . При­ мером функционального ряда может служить ряд

1 + х + х2 + хз + . . . + * " + . . . ,

(2 )

составленный из членов геометрической прогрессии. Если дать аргументу х какое-либо численное значение, то функциональный ряд обратится в числовой.

§ 134]

С Т Е П Е Н Н Ы Е РЯДЫ

357

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Может оказаться, что функциональный ряд при од­

них

значениях

сходится,областьюх,сходимостипри других

ряда.расходится. Со­

вокупность всех

значений

 

при

которых

 

ряд

(

 

)

схо­

 

 

 

 

X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дится, называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В пределах сходимости ряда, сумма его членов бу­

дет функцией

 

 

2

 

 

3

 

 

f{x),

 

можем

записать:

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив эту сумму

через

. . .

 

 

 

X

 

 

М

- И

 

М

+

/ М

+

 

+ / . W +

•••

 

 

 

 

равенство

справедливо

только f(x)для

 

значе­

Написанное

 

ний

 

в

областиf2(х),сходимостиІз{х), . . .ряда;

в

этом случае

оно

представляет

собой

разложение

1 функции

 

 

 

в

ряд

функций

/i(x),

 

 

 

 

 

 

Разберем

 

пример.

 

Члены

ряда

2 (2)

при

j л:| <

 

 

>

1

 

 

 

 

собой

представляют|

 

бесконечно

убывающую

геометрическую

 

прогрессию,

а потому

ряд

( ) сходится; при |х

 

 

 

 

члены

этого

ряда

 

представляют

собой

бесконечно\х\ =

возрастающую

геометрическую

прогрессию,

2

потому

 

ряд расходится.

а

 

Данный ряд расходится и при

 

 

 

 

 

 

2

 

образом,

)

 

 

1. Таким

областью

сходимости

ряда

(

является

 

|д :|< Г ,

или,

иначе, — 1 < х < 1 .

 

Найдя

сумму ряда

( ) как

 

сумму

членов бесконечно убывающей геометрической прогрес­ сии, получим:

Теперь мы можем написать*

равенство

 

 

 

 

 

1

 

 

 

■ j jz X = '* + я +

 

2

 

+

* 3

+ . . . + * п + . . . »

 

справедливое только при

 

значениях

аргумента |лс| <Г .

Это

 

равенство представляет

 

собой

разложение

функ-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х.

 

 

 

 

 

 

 

ции -j _

 

 

в ряд по степеням

 

 

 

 

 

 

 

§ 134. Степенные ряды.

Степенным рядом называется

функциональный ряд вида

 

 

 

 

 

апхп

 

 

 

 

а0

+

 

ахх

+

а2х2

+

а3х3

 

 

 

 

4

:4

 

 

+

(

1

)

где

 

 

ах,

а2,

 

 

+ с л + . . . +

 

 

 

а0,

 

 

Яз,

я4, . . . —

постоянные коэффициенты.

 

 

 

 

 

 

 

аргументу

х

какое-нибудьх.

Если в ряде (1) дать

 

 

значение, то получим числовой ряд, который будет схо­

диться

 

или

расходиться

 

в

зависимости

от значения

 

 

358

РЯДЫ

[ГЛ. XIV

 

В полных курсах анализа доказывается, что для лю­ бого степенного ряда существует непрерывная область значений х, при которых этот ряд сходится. Эта об­ ласть значений х обычно называется промежутком схо­ димости степенного ряда*). Применяя известные нам признаки, можно найти этот промежуток сходимости.

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е . Применим признак Даламбера к ряду

m

,

х

I

4 - .u

 

IХ*\ ,

, | '

( )

—

+

2

 

+1

4

 

3

 

1 3

 

 

Для этого ряда имеем:

и„ =■

Отсюда

lim " л - Н

П-»оо иП

і*л+

Мп+ 1 — п +

находим:

limі . - I. п,X.

Л->=о1 Я + 1

і і

’

«П+

 

Н

л

+11

 

 

”

+

 

 

 

1

п

 

1

ип

 

 

 

 

п

 

 

1

И +

 

І

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

£ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1*1 lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П оо п

і 1

 

 

[

1

г- =

І х\.

 

 

 

=

| А'І lim

 

 

 

 

 

 

 

fl“>oo

__ L

 

 

Для сходимости ряда (3) достаточно, чтобы

lim -% Ы -<

1

, т. е. I а I < 1,

ип

 

 

или иначе

— 1 < А < 1.

Отсюда следует, что ряд (2) сходится абсолютно при значениях а , удовлетворяющих последним неравенст­ вам, т. е. при всех значениях а между — 1 и Д -1 , ис­ ключая крайние значения

Вопрос о том,

а = — Г и а = + 1 .

 

 

а =

будет ли ряд (2) сходиться при

= — 1

и а =

+ 1 ,

нужно исследовать особо.

одной

точки

*)

Иногда

промежуток сходимости состоит х

из

(а = 0), в этом случае ряд сходимости только при

—

0.

 

 

 

§ 135] РЯД МАКЛОРЕНА 359

Положим в исследуемом'

ряде

х

= — 1 и

х

-Из

+

 

 

−

+−

1

_____3

 

 

ь ^ + . ,

 

1

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

1 + Т + 7 + 7 +

 

+ І +

 

 

Первый ряд знакочередующийся, он удовлетворяет тео­ реме § 131, а потому сходится, второй же ряд гармо­ нический, а потому расходится. Итак, исследуемый ряд

сходится

при

—

1

^

х

<

1

,

 

причем

при —

1

<

х <

1

сводится

абсолютно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя ряд (1), получим также степенной

ряд:

а2х

За3х2

+

 

:3

+

. . . +

папхп~1

+ . . .

 

+

2 +

 

 

 

4а,,л

 

 

 

В полных курсах анализа доказывается следующая теорема: степенной ряд можно почленно дифференци­ ровать и интегрировать сколько угодно раз, при этом полученные ряды имеют тот же промежуток сходимо­ сти, что и первоначальный*).

У п р а ж н е н и я

Исследоватьѵ

сходимость рядов:

 

 

 

 

2

 

 

уО

 

 

 

y ß

 

 

» ■

х + т

 

+ - Т +

•••

Ѵп

 

 

2‘

X

+

V 2

 

=F +

 

 

 

,/тг

/ з

у3

 

 

уЛ

 

 

3.

 

 

1 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Т Т 2 Т З + -

+ І Д + -

 

+

4.

 

2

'

 

Зх3 +

4хі

 

•••

+ п х п +

(2«)І

5.

X +

 

1• 2 • 3 ■ 4 1 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 ..

 

 

2х2 +

 

 

+

 

 

 

 

§ 135. Ряд Маклорена. Рассмотрим функцию f{x), раз­ лагающуюся в степенной ряд:

/ (х) — а0+ ахх + а2х2+ а3хг + ••• + апхп + . . .

(1)

*) Точнее, у промежутков сходимости этих рядов совпадают со­ вокупности внутренних точек; вопрос о сходимости в крайних точ­ ках следует решать особо.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности