книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

340

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ. Х ІН

По условию у =

у\

и у =

У2— решения

уравнения (2),

следовательно,

они

удовлетворяют

этому

уравнению,

а потому

У" Ч- РУ[ +

ЧУ\ =

о

и

Уа

Ч-

РУг

Ч-

УУ%—

°-

Итак,

0

=

0,

а

потому

равенствоу — У\(4) —утождество,у2,

т. е.

у — у 1

+

г/г — решение уравнения

(

2

).

называются

Решения

и

=

как

известно,

частными. Среди частныхДва

решенийчастных решенияуравненияуравнения(2) раз­

линейно

зависимые

линейно независимые.

личаютназываются линейно зависимымии

если одно

из них

2

умножением

другого

на

какой-

можетО п рбытье д е л еполученон и е .

нибудь( )

постоянный множитель

в

,противном

случае

частные решения называются линейно;

независимыми.

Например, уравнение

Ъу =

0

(5)

у " - 5 у ' +

имеет частные решения двух видов:

у = е2х

и

у — е3х

(как

найдены

эти

узнаем

в

дальнейшем).

решения,

Если

взять— е2х

е2х

уи—умножитьБе2х

на

5, то

получим

5е2* —•

тоже участное

решение

(теоремае2х

у);—согласное3х

определе­

нию

и

1

зависимыеа

частные

же

у

— линейно

решения.еЪх =£=Решенияае2х.

=

и

— линейно не­

зависимые, так

какЕслиприу =любомУі и упостоянном— Уі линейносправед­неза­

Т е о р е м а

3.

уравнения

—

то общее ре­

ливовисимые

частные решения

2

),

шение его будет

(

где С\

и

С%

У =

С\У\

6

произвольные 4-CJ02,

( )

—

постоянные

величины.

Чтобы

в

2 этом

убедиться,

Д о к а з а т е л ь с т в о .1

можно применить прием, использованный нами для до­

казательствауі Уі

теоремы

и теоремы

. Однако

прощеС\у\

поступить следующим образом. Так как согласно усло­

вию

и

— частные

решения уравнения

(

2

),

то

§ 127]

Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

341

и

С 2У2

— его решения

(теорема

1

2

а потому и их

сум­

2

),

м а — также его решение

(теорема

).

Следует заметить, что общее решение дифференци­

ального

уравнения ( )

должно

6содержать две произ­

вольные

постоянные,

а

это может

быть только в

том

Обратившись к уравнению

(5), напишем для него сле­

дующее решение: у ^ С ^

+ С& е2-,

(7)

ных решения

е2х

и

ае2х.

Преобразуя (7), получим:

у

=

(С1+ аС2)<** = Сег*,

,

8

где

Сі + а С і — С.

Как видно, решение (

8

),

( )

равносиль­

ноеаСі,решению (7), содержит одну произвольную посто­

янную

С, которая

появилась в результате слияния

С г

и

а потому оно будет не общим, а частным реше­

нием

уравнения

(2).

Действительно,е3х.

решение ( )

не

включает в себя

все

8

(

),

частные решения уравнения

2

ния; получим:

k2ekx

pkekx

+

qekx

=

О,

или

екхФО, (

k+

+

pk

ekx

2

-j- <)

=

0

.

Так

как

то,

очевидно,

.

(

k,)

k2 + pk-{-q = 0

1 0

Решив уравнение (10), мы получим два значения

которые подставим в функцию

(9)2.

Таким образом, мы найдем два частных линейно

независимых решения уравнения ( ):

y — ek,x

И

y — gfc,*.

Уравнение

(10)

называется

характеристическим

уравнением

линейного

однородного

дифференциального

ентами.

2

у", у'

у

Заметим, что для составленияk2, k

характеристического

уравнения достаточно

в

уравнении

(

) вместо

и

написать соответственно

и

1

.

Разберем

три случая

решения

уравнения

(2).

П е р в ы й

с л у ч а й . 2

Корни

характеристического

уравнения действительные yи разные по величине. Сле­

довательно,

уравнение

( )

имеет

два

линейно

незави­

симых частных

решения:

— ek'x

и

y = ekiX,

а потому

его общим решением будет

П р и м е р

y =

C {ek‘x + C 2ek>x.

у" — Ъу' +

бу = 0.

1. Решить

уравнение

Р е ш е н и е .

Частными

решениями

этого

уравнения

§ 127]

л и н е й н ы е

у р а в н е н и я

в т о р о г о

п о р я д к а

343

а его общее решение напишется так:

В т о р о й

у

=

С хе2х

+ С 2е Ч

с л у ч а й .

Корни

характеристического

уравнения действительные и равные, т. е.

kx — k2.

Н а­

ходим одно частное решение:

Можно

доказать,

что

у — ек'х.

вторым

частным решением будет

у

=

xek'x.

Покажем это на следующем примере.

у"

+

4у'

+

4т/ = 0.

П р и м е р

2.

Решить

уравнение

Р е ш е н и е .

Решая

характеристическое

уравнение

находим:

k2 +

4k +

4 =

0,

kx— k2— — 2.

у =

хе~2х.

Одно частное решение

у

=

е~2х,

а другое

Проверим,

что

у =

хе~2х

удовлетворяет

данному

уравнению. Для этого находим:

у' — (хе~2хУ

=

е~2хх'

+

х

е~2х)' =

е~2х

—

2хе~2х.

У"

(

2

2хе~2х)'

(е~2х)' -

е~2х (2х)' — 2х (е~2хУ

= (е-

* _

2е~2х

=

2е~2х

4хе~2х

4е~2х

4хе~2х.

= —

+

=

= —

—

у'+

у

Подставляем значения у",

и

в уравнение:

—

4е~2х

-}-

4хе~2х

+

4е~2х

—

8хе~2х

+

4хе~2х

= 0;

0 — 0.

Полученное

тождество

показывает,

что

у =

хе~2х

—

щее решение этого уравнения будет

С2х) е~2х.

у

=

С хе~2х

+

С2хе~2х

=

(С, +

Т р е т и й

с л у ч а й .

Корни

характеристического

уравнения комплексные, а именно:

a — bi.

kx — а-\-Ы

и

k2 =

(

1 1

)

§ 127]

Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

345

(теорема

2 ), Уі

и ѵ'

1—

также

частные реше­

ния этого уравнения

(теорема

).

Итак,

мы нашли

два частных решения уравнения

(2), представленные

равенствами

(14),

причем эти ре­