Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4234 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

330

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ. XIII

или

X-dx

— 1

Отсюда-

Z +

J- —

-----------

г .

X —dx

2 —

-или

Г- — -----------

:--------

X 4 I ~

T = T '

Произведя разделение переменных в полученном урав

нении, напишем

ИЛИ

Отсюда

После интегрирования

получим

ln I

(7)

Представим

— ln I

ln I

в виде

ег.

Теперь уравнение (7) примет вид

или

— Czx.

| +

ln I

In ег — ln I ezI =

ln I

( )

Из равенства

(5) находим

значением,

Заменив в равенстве (8 ) z найденным его

получим

или

■С > ±

е х — Су.

(9)

У_

Уравнение (9) — общее решение уравнений* (2).


§ 124]	О Д Н О Р О Д Н Ы Е		У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО П О РЯ Д К А				331
Для	проверки		правильности			решения уравнения
дифференцируем по			х	обе	части	уравнения (9). Рас
сматривая		как сложную			функцию дифференцируем

ее по правилу (XVII) § 81; к правой'же части применяем правило (V) § 71. Получим

По правилу (VI) § 72

( У V __. ху' — у

* 2 ‘

Следовательно,

= Су'.

(Ю)

В уравнение (10) входит постоянное С, которое необ ходимо исключить из этого уравнения. С этой целью

находим из (9)


и в уравнении■		(10) заменяем	С	его значением;		получим;
у		у	или			У
у	ХУ -	» ____ /			ху — у
е X	ХУ -	» ____ /			ху — у
		У ■■ У ’			X-	У

Решив это уравнение относительно у', найдем

Уху — х2 '

Мы получили исходное уравнение (4).

Упражнения

Найти общие решения уравнений:

{х

у) dx

(у ~ х) dy

(лг +

у) dx

X dy

= 0.

{х

—

у) у dx

x 2dy.

X dy

—

у dx

у dy.

ху

dx.

^ L =

4 _ J L +

9..

ху

—■ 2

У2

ху2 dy — (X3

у3) dx.

У' -

х у ’

(х2 — 2у2) dx++

2ху dy —

х у - у = Ѵ х 2 + Уг.

332

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

(ГЛ. XIII

Найти частные решения ууравнений:

у' —

I. у»

—

— ,

если

при

дг =

ху

у' =

у2

X =

У2

13.

’

у'

у — 2

х — 2.

+ ху ’

125.

Линейные дифференциальные уравнения пер

вого порядка.

Уравнение вида

О)

y' +

py =

где р и q — функции х или постоянные величины, на зывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем случае в этом уравнении нельзя произ вести разделение переменных. Однако его можно с по мощью особого приема преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными, после чего линейное уравнение разрешается просто. Покажем на примере, как это делается.

П р и м е р . Решить уравнение

Р е ш е н и е .

2 і/ =

(1 -

а:2) ^ .

привести

данное

Прежде всего

нужно

уравнение к виду (

), с этой целью обе части его умно

жим на

Получиму ' — 2х у —

( х

— X3) е х \

(2)

Положим

У =

иг,

(3)

где

— новыеу .

функции

х .

Наша

задачах

— найти

эти

функции,

чтобы

затем

из

равенства

(3) найти ис

комую

функцию

* Продифференцируем

по

равен

ство

(3), применив правило

(IV)

§ 70:

(4)

и dz

—— =

—

Заменив

у' а у их значениями, взя

уравнении

(2)

тыми из

(3)

(4), имеем

xuz = {x — X3) ex\

dz .

— 2

u m r + z dx

§ 125]	Л И Н Е Й Н Ы Е	У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО				П О Р Я Д К А		333
Если мы хотим,		например,		найти		сначала	функцию
г, то	должны собрать члены,			содержащие функцию				и,
и вынести эту функцию за скобку. Получим:								<5)
	u (J^ -	2xz) + z -W ==^				- ^ ex2-
Найдем теперь такую функцию 2 , чтобы							она обра
щала	в нуль первую скобку2xzв			=равенстве (5), т. е. чтобы
		4	?----	0	.			( )
								6
		dx

При этом условии уравнение (5) обратится в следую

щее:

(7)

Произведя разделение переменных в уравнении (6 ),

напишем	■ у-=		2	*	dx.	8
Отсюда	■ у-=			*		( )
J	~г~~ j				2х dx'
или, после интегрирования,						(9)
1п\|	2	I =	я + 1п\| С \|.
	2		2

По определению логарифма

хг = In ех\

поэтому равенство (9) примет вид •

ln I 2 I = In ex‘ + ln 1С I,

откуда

Нам нужно	2 =		Cex\		8	).
	одно из частныхС — решений уравнения (
Выберем простейшее из них; с этой целью положим
произвольное	постоянное2	=	ех\1. В	результате имеем
				(10)

334 Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. XIII

Подставив найденное значение г в уравнение (7), получим

ех dx =

или

dudx = Г. -- JKГ53.

Это уравнение тоже с разделяющимися переменными.

Решив его, найдем

\ -

+ с .

U D

Подставив

равенстве

(3)

значения

и,

взятые из

равенств

(

1 0

)

(

1 1

получим

общее

решение

уравне

ния (

)

y =

“ z =

( - £ ~ - ^

с )е*\

Проверка

этого

решения

производится

так

же,

как

в разобранном примере § 124.

Найти

Упражнения

общие решения уравнений: у' +

Sin

у' =

2 у' = — — 1

У + 1

3..

.х 3.

Ю. ! / -

у ' + ~ - =

П.

хгу' =

2ху — 3.

12.

, „

13.

(1 +

X*) у'

2ху = (1 +

X2)2.

-------

еххп.

ху' +

У =

х .

14. X {у' — у) = (1 +

X,2) 4х .

cos t +

s sin / =

15. у ' -----= tg -£ .

s i n *

о__ x + y

dx X

Найти частные решения уравнений:

16.	ху' + у =	3,	если	у =	0	при	лс =	1.
17.	у' — 2у +	3 = 0,	»	у =	1	»	х =	0.

§ 126]

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

В И Д А

d'yldiC- -

f(x)

3 3 5

18.

xtf

—

2у

х ъех,

у =

х — 1.

у =

I V . y ' - y t g x - ^ ,

* =

2 0

. ху' +

у =

х +

г/ =

х — 2.

^2ц

/ (х ).

§ 126. Дифференциальные уравнения вида

уравнениемУравнение, содержащеевторого порядка.производные

или дифференци

алы

второго

порядка,

называется

дифференциальным

нений

Простейшее из этих урав

имеет вид -^ p -= f(x ); оно решается двукратным

интегрированием.

d2y

1 — 2х.

П р и м е р

1. Решить уравнение

произ

Р е ш е н и е .

Согласно

определению

второй

водной можно написать:

‘(£)

dx2

Положим теперь

тогда

I - К

d2y

• m

’

dx2

и данное уравнение перепишется следующим образом:

4 Е- = 1 — 2х , dx

или

dp = ( 1 — 2 х) dx.

Интегрируя последнее уравнение, найдем:

J d p = J (1—2х) dx

р = X — X2 + Cj.

Но

336	Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я		[ГЛ. Х Ш
поэтому	Ü - = • ' - * ’ + с ..
И Л И
Снова	dy =	{x — X2+ С,) dx.
	интегрируем	и получаем:	(1)
У — \ (х — х2 + C l)dx = ± - — ^ j + C lx + C2.

Мы нашли общее решение данного уравнения.

Чтобы получить частное решение его, необходимо

найти	числовые значения постоянных	С, и	С2; для
этого	нужно иметь начальные условия.	Пусть	кривая,

определяемая частным решением, проходит, например,

через точки с координатами ( ;	1	) и	тогда,
0	1

подставив значения х и у в уравнение ( 1 ), получим следующую систему уравнений относительно С) и С2:

1 = | - | + С , - 0 + С2( )

^ y - y + ^ + Cj,

откуда

С[ = — 1 и С2= 1.

Следовательно, частное решение данного дифферен циального уравнения при указанных начальных усло виях будет:

l/ = j X 2 — j X 3 — X + 1.

Для проверки правильности решения найдем вто рую производную этой функции:

$ = ( х - х * - 1 У = 1 - 2 х .

Мы пришли к исходному уравнению, что говорит о том, что оно решено правильно.

В разобранном примере начальные условия были даны в виде координат двух точек кривой, уравнение

§ 126]

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

ВИ Д А

tfy ld x 7 - f(x)

337

которой

является

частным

решением

хдифференциальх0 у Уо

У'ного— Уйуравнения.-

Однако начальные условия могут быть

даны

иной

форме, например, при

Это

значит,

что

мы

задаем

точку кривой

и направление

см/сек2.касательной в этой точке.

движения

П р и м е р

Ускорение

прямолинейного

тела

равно

2 t.

Выразить

путь

тела

как

функ

цию времени

Согласно

механическому

смыслу

вто

Р е ш е н и е .

рой производной функции

(§ 85)

имеем:

Обозначив

£ s _ —

напишем:

_ _

("dF) _

откуда

dp — 2 dt

и.

p =

2t -f- Cj.

Заменив

его выражением,

получим:

(2)

или

2/ +

С „

ds =

(2t -f- C,) dt,

отсюда

s =

(2t +

C l)dt =

t2 +

C it +

C2.

(3)

Для

получения частного

решения нужны начальные

условия.

Пусть

при

t — 0

s =

и -^- = 0 (предпола

гаем,

что~

начальный

момент

движения—путь s и

скорость

равны нулю).. Заменив

урав

нениях ( ) и (3) нулями,

получим:

С, = 0 ,

Таким образом, искомая зависимость будет s = t 2.

338

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

ІГЛ. Х Ш

Упражнения

Найти частные решения уравнений:

Ü L

если

при х =

. и при х

’

Р ==

Ü (/хL

если

при

лг —

je ~~~* 4

и при X =

— 5‘

у — 0 5

1^ р = П2 .

если

при

. и при

d2S

d(2

— ^ 4- 1

і/ = .

——2 0

если при s0

= 0

ds0

г- f l ,

и —

если при

о и Ж

Т .

Найти общие решения2

уравнений:

d Ѳ2

8. «

cos X.

d2s

— sin

d<p

d2p2

‘

11.

d252

"di2"

10.

12. Составить уравнение

движения

тяжелой точки,

брошенной

сначальной скоростью ѵ0 вертикально вверх.

13.Ускорение прямолинейного движения тела определяется из

равенства / =

і.

Найти закон

движения

тела,

если

момент

= 1 скорость его о =

2 и путь S = 4.

14.

Тело

движется

прямолинейно,

имея

ускорение

/ =

— 4,

начальную скорость

ѵ0

= 4 и путь

S =

0 при

0. Найти:

)

скорость

и пройденный путь

в функции

времени

)

путь, скорость и ускорение в момент

3)момент времени, когда скорость будет наименьшей.

15.Ускорение прямолинейного движения пропорционально вре мени. Найти зависимость между пройденным расстоянием и време

нем, если при i = 0 o = 0 i i S = 0, а также при t = 1 S = -g-.

16. Ускорение прямолинейного движения пропорционально квадрату времени. Найти зависимость между пройденным расстоя нием и временем, если при ( = 0 O = 0 H S = 1, а также при t = 1 S = 2.

§ 127. Линейные однородные дифференциальные урав нения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением второго по рядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где	р и q	—	У"	+	РУ'	+	gy = f{x),	) —	(1)
ная		—	постоянные			величины, а f{x		) —	непрерыв
	функция хк

§ 127]

л и н е й н ы е у р а в н е н и я в т о р о г о п о р я д к а

539

Правая часть уравнения (1) вместо функции f{x) может содержать нуль; в этом случае получим уравне ние

У"

РУ' + qy =

(2)

называемое

однородным.

Уравнение (1)

называется

неоднородным.

уравненияуравнения

( 2) .Займемся

рассмотрениемЕсли у = Уоднородногоі— решение

(

то у =

ауи

где а

—

постоянный

множитель,

также

этого1.

будетТ е орешениемр е м а

уравнения.

первую

вторую

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Найдем

производные функции

у =

аур.

У' = {аУ\)' = аіЛ

І/" = К ) ' = < -

Подставив в уравнение (2 ) вместо у", у' и у их зна чения, получим:

ау'{

рау\

qay{

а (у"

ру\

qyx) =

(3)

—

У\

Так

как

по

условию

удовлетворяет

уравнению

(

то

У"

РУ\

УУ\

потому

Ауравэто

равенствоЕсли(3)у——тождество,У\ у = у2т. е.решения0 = 0.

нениязначит, что

ауі

и—

суммарешениеу уравненияу\

его

решение.

также( ).

Т е о р е м а 2.

у —У\=

—

(

то

+у%.г

первую

вторую

/ 2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Найдем

производные функции У' =

У[ +

У'2>

У" = У" + у"-

Подставим в уравнение (2) вместо у", у' и у их зна чения:

У" + У2 + Р (у 'і + Уі) + У {У\ + У2) —

= {У" + РУ[ + УУі) -г {У2 + РУг + УУ2) = °- (4)

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4234 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf