Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5117 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
267
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

320

 

 

 

 

 

 

 

П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А

 

 

 

 

[ГЛ. XII

2) верхняя сторона ее лежит

 

 

на

2

см

ниже

поверхности

воды.

 

 

 

 

 

 

6. Пластинка

в

виде треугольника, основание

которого

2

см,

а высота

1,5

см,

погружена

вертикально в

воду.

 

Наіітн давление,

испытываемое этой пластинкой, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) вершина ее лежит на поверхности воды, а основание парал­

лельно ей;

 

 

 

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) вершина лежит на 0,5

ниже

поверхности воды, а основа­

ние параллельно ей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Показать, что если треугольная пластинка погружена в воду

вертикально так,

что ее основание находится на

поверхности

воды,

то сила

Р

давления воды на пластинку выразится формулой

 

 

 

 

 

 

 

где S8

— площадь пластинки, Іі — ее высота.

 

 

 

 

 

 

 

 

Н —

. Стакан цилиндрической формы наполнен маслом. Вычислить

давление

масла

на

боковую

поверхность стакана,

если его высота

 

 

 

11

см,

радиус

основания

R —

4

см.

 

 

 

вес масла

d —0,9.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н Удельный

 

 

 

 

9. Вычислить давление ртути, наполняющей стакан, на его боко­

вую

поверхность,

если высота стакана

=

8 см,

радиус основания

 

 

см

 

=

 

3,5

см.

Удельный вес ртути

d

=

13,6.

 

 

на

вертикальном

 

 

10. Круглый иллюминатор диаметром 30

 

борту судна наполовину погружен в

воду.

Найти

давление

воды

на погруженную часть иллюминатора.

 

поперечным

сечением

кото­

 

 

11.

Горизонтально лежащая

труба,

рой

является круг

диаметром

6

 

м,

наполовину

наполнена

 

водой.

 

 

 

 

 

Найти давление воды на вертикальную заслонку, закрывающую

трубу.

 

 

 

давление

воды на плотину,

м,

 

 

 

 

м,

а

12. Вычислить

имеющую

форму

трапеции,

верхнее

основание

которой

равно

6,4

 

нижнее

4,2

 

 

высота 3

м,

если вода доходит до верха плотины.

 

 

 

 

 

 

 

13.

Передняя

часть дамбы имеет

форму

параболы

с вершиной

внизу. Основание

дамбы

a =

3,2

м,

высота

ее

h =

 

1,6

м.

Опре­

 

 

 

 

 

делить давление воды на дамбу, если вода доходит до ее верхнего

края.

 

 

см,

 

см,

 

14.

На какой

глубине нужно провести

горизонтальную

линию

на стенке аквариума, имеющего длину 60

 

а высоту 25

 

чтобы

давления на нижележащую и вышележащую части стенки были равны?

ДИ Ф Ф

 

 

Г Л А В А XIII

 

 

 

 

ЕРЕНЦИ АЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ

§ 122. Общие понятия. Дифференциальным уравне­

нием называетсяxdy = 2ydxуравнение,у' =содержащее4х

производные

от искомой функции или ее дифференциалы. Так, на­

пример,

 

 

 

или

— дифференциальные

уравнения.

 

 

х,

 

 

 

 

Решить дифференциальное уравнение, значит найти

такую функцию

от

 

которая удовлетворяету.

данному

уравнению, т. е. обращает это уравнение в тождество

при подстановке ее в уравнение вместо

 

диффе­

ренциальнымУравнение,уравнениемсодержащеепервогопроизводныепорядка.или дифферен­

циалы не выше

первого порядка,

называется

 

Дифференциальные уравнения имеют большое при­ менение в геометрии, механике, физике и других дис­ циплинах, а также в технике.

Пример решения дифференциального уравнения мы имели в § 107, отыскивая уравнение кривой по задан­ ному угловому коэффициенту касательной. В резуль­

тате решения дифференциального уравнения

 

 

 

 

4 L = 2X

 

 

 

О)

 

 

dx

 

 

 

 

мы получили выражение

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

которое

 

у =

х? +

С,

 

 

 

 

1носит название

общего решения

дифференци­

ального

уравнения.

Подставив

вместо

х

и

у

соответ­

ственно

и 3, мы нашли =выражение

 

 

 

 

 

 

У

х 2 +

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1J И. Л, Зайцев

322

 

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

ІГЛ. XIII

называемое

частным

решением

дифференциального

 

 

1 и

 

3 называются

 

уравнения

 

 

 

 

 

Данные значения

х =

у —

на­

чальными

*)условиями..

 

условия

 

 

 

 

Начальные

задаются

для того, чтобы из общего решения дифференциального

уравнения получить его частное решение.

2

уравне­

Правильность

решения

дифференциального

ния легко проверить, подставив выражение

( )

в урав­

нение (I). В результате получим:2х,

 

 

 

d - 2

+ С)

 

 

 

или

(л

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx.

= 2х,

 

 

т. е.

2х dx

 

=

 

 

2х =

 

2 л:,

 

 

что говорит о правильности решения уравнения ( 1 )'.

§ 123. Дифференциальные уравнения первого поряд­ ка с разделяющимися переменными. Если каждая часть дифференциального уравнения представляет собою произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в уравнении разделены; например, xd x = у dy. В этом случае уравнение можно интегрировать почленно.

Уравнения, в которых переменные разделяются, на­ зываются дифференциальными уравнениями с разде­ ляющимися переменными.

Для того чтобы решить дифференциальное уравне­ ние с разделяющимися переменными, нужно произве­ сти разделение переменных, а затем взять интеграл от

обеих частей уравнения.

xd y

 

у dx,

 

X =

Рассмотрим—несколько примеров.

=

 

если при

 

П р и м е р у

1. Решить уравнение

 

 

 

5 будет

10.

 

 

 

 

*) Общее решение дифференциального уравнения всегда содер­ жит произвольное постоянное С, в частном же решении это по­ стоянное Заменено определенным числом.

§ 123] Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П ЕР В О ГО П О РЯ Д К А

323

Р е ш е н и е . Для

 

ху,

 

разделения переменных обе части

уравнения поделим

dy ___ dx

 

получим:

на произведение

 

Интегрируя обе части последнего уравнения, найдем:

Г

dy

Г

dx

 

J

у

J

X

’

или

 

1

+

1

ln I г/| =

п| х|

п |С |.

В правой части прибавлено

постоянное в виде In | С|

для облегчения потенцирования. Освобождаясь от сим­

вола логарифма, т. е. потенцируя, получим:

\у\ — \Сх\,

или

у — ± С х .

 

 

Общее решение исходного уравнения можно написать

просто в виде

С

 

у =

Сх

 

 

(знаки ±

можно

 

 

так как

наличие произволь­

опустить,С

ного постоянного

 

их

хнеявно учитывает!)у =

. Для опре­

деления

постоянного

 

подставим

в полученное реше­

ние начальные условия

=

5 и

10, что дает

откуда

 

 

 

10 =

5С, .

 

 

С = 2.

Следовательно, искомое частное решение будет:

у — 2х.

Таким образом, из всех прямых (семейства пря­ мых), проходящих через начало координат, мы выде­ лили одну, на которой лежит точка с координатами (5; 10).

П р и м е р 2. Решить уравнение ~ — 2 {у — 3), если

при X = 0 будет у = 4.

Р е ш е н и е . После разделения переменных получим:

_Ак— —2 dx

у — з — * ах>

И*

324

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

ІГЛ. XIII

отсюда

J у - і ~

JГ 2

d x,

 

или

ln I у — 3 I =

2 .1C+

ln| С |.

 

 

 

Для потенцирования нужно и правую часть по­ следнего равенства написать со знаком логарифма. Со­ гласно определению логарифма имеем:

2х = In е~х)

следовательно,

общее

 

решение

можно

переписать

в виде

 

 

1n I г/ — 3 I = 1n е2* +

1п|С|;

 

 

 

отсюда, потенцируя, получаем:Се-Х.

 

 

 

 

Находим значение

С

у

— 3 =

 

 

х = 0

и

у —

4;

сделай

 

 

 

 

из

условия

 

 

подстановку, получим:

 

 

 

 

 

 

С ■ 1,

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

4

— 3 = С •е° =

 

 

 

 

у —

3 =

е2*,

илиу =

С =

1.

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

е2х +

3.

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

шар, имеющий

в на­

 

3. Металлический

чале

опыта

температуру

1 2

°,

охлаждается

струей воды

температуры

0°. Через

8

мин

шар охладился до темпе­

 

 

 

ратуры 9°. Считая скорость охлаждения пропорцио­ нальной разности между температурой тела и темпера­ турой охлаждающей среды, найти:

1 ) в течение какого времени шар охладится до тем­ пературы 7°?

2) какова будет температура шара через 30 мин

 

t

 

 

 

 

после начала охлаждения?

через

7' температуру

шара,

Р е ш е н и е .

Обозначим

dT

 

протекшее

после

начала опыта,

тогда

через — время,

скорость охлаждения шара будет равна производной

—fij . Согласно условию

^ r = k(T ~ 0 ) = kT,

§ 123] Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО П О Р Я Д К А 325

где k — коэффициент

пропорциональности. Разделяя

переменные, получим:

dT

k dt,

откуда (здесь

 

> О,

— =

и л

Т

 

 

поэтому знак абсолютной вели­

чины под логарифмом опускаем)

ln Т = kt + ln С,

или

ln Т — \nekt +

In С,

или, наконец, после потенцирования

 

Т = Сеы.

(2)

Чтобы найти постоянные величины С и k, восполь­ зуемся данными задачи:

при

t =

0

температура

шара

Т =

12°,

» t =

8

»

»

Т =

9°.

 

 

 

 

Заменяя в равенстве (2) t и Т их значениями, получим:

. 12 = Се° и 9 = Се8*.

Из первого равенства имеем С =

12, а из второго

е8* = 0,75.

(3)

Для нахождения ек извлечем из обеих частей равен­ ства (3) корень восьмой степени:

 

е* =t

 

8

 

1

 

 

 

Возведем

/ 0 ,7 5

= (0,75)8. .

 

равенства:

в степень

обе части полученного

 

 

,kt

 

 

 

 

 

Подставив

 

 

— (0,75)8.

С

и

ем

найденные

в равенство (2)

вместо

 

 

их значения, получим:

 

12 •(0,75)8.

 

 

 

(4)

 

Т =

 

 

 

 

 

 

Чтобы ответить на первый вопрос задачи, пролога­

рифмируем по основанию 10 равенство (4);

 

 

lg Г =

 

lg 12- f | lg 0,75

 

 

(5)

326

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ, х ш

и положим в полученном равенстве

Т

=

7:

 

откуда

 

 

lg

7 =

lg

12

+

1

lg

0,75,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t_ 8 (lg 7 -

lg 12) _

8 (0,8451 -

1,0792) _

 

 

15 •М И Н .

 

lg 0,75

 

 

 

Г.8751

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

—8*0,2341

_

1,8728

Для

ответаt на второй

 

— 0,1249

— 0,1249

вопрос

задачи

положим в ра­

венстве (5)

=

30:

 

 

1,0792 +

 

* Г,8751 =

 

lg Г =

lg

1 2

+

lg 0,75 =

 

 

=

1,0792 +

( -

0,1249) =

1,0792 -

0,4684 =

0,6108,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а* 4°.

У п р а ж н е н и я

Найти частные решения уравнений:

1.

ds — (41 — 3) dt,

 

 

2.

dx

(2t2 -

5) dt,

 

 

 

= —

dy,

 

 

 

3.

X dx

 

 

 

4.

x d x =

y dy,

 

 

=0,

5.

x2 dx +

у dy = 0,

6.

( t - l ) d t

+

sds =

7.

2dlJ

 

dx

= 0 ,

У

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

^2x +

^у

ds,

0,

 

 

 

s

dt =

t

 

 

 

9.

2

=

 

0,

-

10.

X 2 dy — y2 dx —

 

11.

X 3

dy =

y3 dx,

 

„ і а - , + л

13.dy + X dx — 2 dx,

14.X 2 d y — —^ ißdx —0,

15.( / + \)dx = 2xdt.

16. Y x d y — Y y d x = 0,

если при / = о если при /== 1 если при х = 1 если при х = 2 если при х = 0 если при t = 2

если при X = 1

если при х = 0

если при t = 1 если при X = 0,2

если при х — Ѵ з

если при х = 0

если при X = 1

если при х = — 1

если при t = 1 если при х = 0

s = 0.

X = — 4.

у= о.

</ = ! •

У = I-

5= 0.

У= Ѵ 2.

у- 2. s = 2.

У= 1 -

У= 1/ 2.

У= 0-

у = 1,5.

У = 1- х = 4.

У = 0.

§ 123] Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО П О Р Я Д К А

327

17.

du

, .

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

если

при

x — 0

 

 

 

 

Y

T

+ ä ’‘ ~ Y 7 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

І г - *

 

' - 0'

 

x) dy

 

 

 

 

если

при

X

=

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

=

 

,

 

если при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

у)1

dx —dx

—

 

 

 

0

 

X =

 

 

 

 

 

 

20.

( 1

 

=

 

 

 

 

 

 

( 1

 

 

 

 

 

 

 

 

если при

 

 

 

 

 

 

2

 

У,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

О

 

 

 

 

.

У'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

yx+—tf =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если при х =

5л

 

 

 

 

 

 

A

l

 

 

=

 

~dy'

 

 

 

 

 

 

 

 

если при х =

—

 

 

 

 

22.

tg

X 2)

 

 

1 +

У,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

при

X — О

 

 

 

 

23.

(1 -

 

 

 

 

 

 

 

+

xy =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

у

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

dy +

 

 

X dx —

0,

 

 

 

 

 

 

если при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

cos

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

О

 

 

 

 

X

у dy —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

sin

X dx

=

0,

 

 

 

если

при

 

=

 

я

 

 

 

 

 

 

 

— cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти общие решения уравнений:2

х)

dx

+

 

(х2у — у) dy

=

0.

 

20.

(ху +

 

л) - 0 - = 1-

 

27.

(ху

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

(у — x

2

fi)

dy

+

(х Чг я//2) dx =

0

.

 

 

у dx

 

 

— у) x d y =

 

29.

(1 +

X2)

dy — (ху +

 

х) dx =

0.

 

30.

+

(1

0.

31.

x2dy

+

 

(у —

 

 

 

 

0.

 

 

32.

2 (ху +

у) dx = xdy.

 

 

 

 

2

 

 

dy —1) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

(х

+

 

1)

 

 

 

у dx.

 

 

34.

 

x2if —

2ху =

3у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки

Л (1 0 ; 0 ) со скоростью

о = 21 — t2.

Найти уравнение движения тела.

А

2

36. Написать уравнение линии, проходящей через точку

 

(— 1;0)

и всюду имеющей касательную с угловым коэффициентом, равным .

2

 

37.1

Найти

уравнение

кривой, проходящей через

точку

Л(3; 1)

и

имеющей

касательную,

угловой коэффициент

 

которой А равен

 

х — .

уравнение

кривой, проходящей через

точку

(4; 4)

 

 

38.

Найти

и имеющей касательную с угловым коэффициентом

k — — .

 

 

через

точку

 

 

39.

Написать

уравнение кривой,

проходящей

k

=

'I

и

имеющей

касательную

с угловым

 

коэффициентом

 

у.

Координаты

точек

некоторой

кривой связаны уравнением

 

 

40.

ху = (х + 1 ) у.

Написать уравнение этой кривой, если она проходит через точку Л (1 ; е).

328

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н ЕН И Я

 

 

[ГЛ. XIII

41. Тело движется

по кривой, имеющей касательную с угловым

коэффициентом

k

Найти

изменение

ординаты

точки при из­

V= х2.

менении абсциссы с 2 до 5.

ѵ

 

0

gU

 

t

 

 

g

 

42. Скорость

тела, брошенного вниз с начальной

скоростью По,

определяется из

равенства

 

=

и +

 

где

— время,

 

— ускоре­

ние движения тела. Найти уравнение движения данного тела.

43. Тело, температура

которого

25°,

погружено

в термостат,

в котором поддерживается

 

температура

0°.

Зная,

что скорость

охлаждения тела пропорциональна разности между температурой

тела2 0

и

температурой

окружающей

среды,

определить,

за

какое

время

тело

охладится до

1 0

°, если

за

2 0

мин

оно охлаждается

до

 

°.

Если

температура

воздуха

равна

20° и тело

в

течение

2 0

44.

мин

охлаждается в этом воздухе от

1 0 0

° до 60°, то через сколько

времени температура

его понизится до

30°?

(См. закон охлаждения

взадаче № 43.)

45.Температура воздуха 15°. За 10 мин тело охладилось этим воздухом от 80° до 50°. Какова будет температура тела через час

после начального измерения? (Закон охлаждения дан в задаче

. Находясь в воздухе при температуре 18°, тело за 25 мин охладилось от 90° до 54°. Какова будет температура тела через 1 час 15 мин после начального измерения? (Закон охлаждения дан

взадаче №. 43.)

47.Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Известно, что трение пропорционально угловой скорости. Определить, с какой скоростью будет вращаться

диск в момент t = 4 мин, если при / = 0 он делал 120 об/мин,

апри і = 1 мин его скорость стала 80 об/мин.

48.Диск, начав вращаться в жидкости со скоростью 3 об/сек, через 1 мин. вращается со скоростью 2 об/сек. Какова будет его

угловая скорость через 3 мин после

начала

вращения?

(См.

за­

дачу № 47.)

начавший

 

вращаться

в

жидкости

 

со

скоростью

 

49. Диск,

 

 

5

об/сек,

через

2

мин.

вращается со

скоростью

3

об/сек.

Через

сколько

времени после

начала вращения он будет обладать ско­

ростью, равной

1

об/сек

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? (См. задачу № 47.)

 

 

 

 

 

 

 

 

50. При брожении скорость прироста действующего фермента

пропорциональна

его

наличному

количеству.

 

Если

 

первоначальное

количество фермента

1

г

через

час

становится

равным

1 , 2 г,

 

 

 

бро­

то чему оно будет равно через 5

часов

после

начала

 

жения?

 

2

2

г,

после

брожения

 

г.

 

 

количество

 

фер­

 

51. Через

часа

наличное

 

мента составляет

 

 

а через

3 часа— 3

 

Каково

было

первона­

чальное количество фермента?

(См. задачу № 50.)

 

 

 

 

 

§ 124. Однородные дифференциальные уравнения пер­ вого порядка. Уравнение вида

Р dx + Q dy = 0,

(1)

§ 124]

О Д Н О Р О Д Н Ы Е У Р А В Н ЕН И Я П ЕР В О ГО П О РЯ Д К А

320

 

 

где Р и Q — однородные функции *) х и у одинаковой степени, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядки.

Покажем на примере, как решается такое урав­ нение.

П р и м е р . Решить уравнение

 

Р е ш е н и е .

 

Приведем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

(2)

к

виду

 

( 2)

 

 

 

уравнение

 

(

1

 

 

умножив обе части его на

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим:

 

 

 

у2 dx

 

 

X2 dy

 

 

 

 

су dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

у2 dx

+

+{х2—

ху) dy

=

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

(

3

)

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

=

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В уравнении

Р — у2

 

и

 

Q =

 

X2

—

ху.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как

видно,

Р

и

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

и

у,

причем

 

 

 

— однородные функции

 

 

 

обе

 

функции

второй

степени;

 

поэтому

 

уравнение

(

2

)

однородное.

 

 

 

 

(2) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

_

 

 

у-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

dx

 

ху

 

—

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(б)

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ZX,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

г

— новая

функция

х.

 

Найдя

 

 

z,

 

мы

получим из ра­

венства (5) искомуюz функцию

 

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

х

равен

 

 

Для отыскания

 

продифференцируем

 

 

ство

 

(5), применив правило

(IV)

 

§ 70:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

=

 

z -\- X

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в уравнение (4) значения

у

и

 

 

взятые

 

 

U

“

 

 

 

из равенств (5) и Z( );

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

г2х2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Х - Г - —

---- 5------- г »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

zx2

— X

2

 

 

 

х н

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

 

Однородным

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

 

 

 

многочленом

относительно

 

 

 

 

многочлен,

все

члены которого

имеют

 

 

одинаковую степень.

Так,

например,

многочлены

х2у — ху2, 2х2

—

Ъху,

5* -f-

Ау

+

Y х~

+

 

У1

однородны:

первый

многочлен^— третьей

 

степени, второй — второй

степени и третий — первой степени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности