книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

300 П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т Е ГР А Л А [ГЛ. XII

объемов конуса О А С и шарового сегмента АВС. При­ меняя формулы (2) и (5), найдем объем шарового сек­

отсюда

Hh = fг2x — r%А — Hи2

Подставив найденные значения R2, Hh в выражение объема шарового слоя, получим:

оси Ох.

7.Найти объем параболоида вращения, у которого диаметр основания равен 60 см, а высота равна 50 см.

8.Найти объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох

ним прямыми линиями вершины этих треугольников ме­ жду собой и с центром шара. Мы получим множество пирамид, основаниями которых являются плоские тре­ угольники. Одна из таких пирамид изображена на рис. 135. Обозначим объем элементарной пирамиды через

*) Сферическим треугольником называется фигура, образован­

будет Уш, а его поверхность 5. Сложив объемы всех та­ ких элементарных пирамид, получим приближенно объем шара, т. е.

Формула (3) выражает поверхность шара через его диаметр.

С е г м е н т н а я п о в е р х н о с т ь . Рассуждаем так же, как и при выводе формулы шаровой поверхности. Покроем всю сегментную поверхность множеством сфе­ рических треугольников и их вершины соединим между собой и с центров шара прямыми линиями. Получим множество пирамид, в основании которых лежат

плоские треугольники. Одна из таких пирамид представ­ лена на рис. 136. Объем элементарной пирамиды

количество треугольников на сегментной поверхности, тогда A S —»-О, h —* R . Суммируя бесконечно малые ве­

высоту шарового слоя — через /г, получим:

'SLU.пояса == 5сеГМ- ЛЕВ 5сегм. CED ==

■2nRH —- 2nRhi = 2яR (Я — h{) = 2nRh,

или 5 Ш.пояса = я Dh, где D — 2R — диаметр шара.

§ 118. Путь, пройденный телом. Путь s, пройденный телом за время t в прямолинейном движении с постоян­ ной скоростью ѵ, определяется по формуле

секунды двигаться равномерно с полученной скоростью; затем в конце второй секунды приобретает новую ско­

. Будем увеличивать число делений п, тогда At, а так­ же и скачки в изменении скорости в конце каждого промежутка At будут все меньше и меньше. Если п —► оо, то А^->0, а, следовательно, и f(t)At^>0. При этом условии

скорость тела меняется уже не скачкообразно, а непре­ рывно,- и путь его будет равен:

П р и м е р . Скорость движения тела задана уравне­ нием

V = {2t2+ t) см/сек.

Найти путь, пройденный им за 6 сек от начала дви­ жения.

Р е ш е н и е . Согласно формуле (2) имеем:

G

*=.о|Ѵ -и>‘«=(4'з+-И|'

- | - 6 3 + Y - 6 2= 162 с м .

Уп р а ж н е н и я

1.Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле

V = 9,8* м/сек.

Какой путь пройдет тело за первые 10 сек падения?

2.Найти формулу пути падающего тела в пустоте, если ско­ рость его падения

о= gt м/сек.

3.Скорость движения тела определяется по формуле

V = З*2 м/мин,

Чтобы найти значение k для нашей задачи, подста­ вим данные величины в уравнение, выражающее закон Гука, получим;

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину,

линдр помещен в среду меньшей плотности, благодаря чему воздух в цилиндре расширяется, выталкивая пор­ шень. Вычислить работу, совершаемую воздухом при расширении его до объема щ = 0,2 м3. (Температура воздуха поддерживается постоянной.)

Р е ш е н и е . Как известно, объем газа, помещенного в закрытый сосуд, и производимое им давление при по­

тать, что на каждом из этих отрезков давление воздуха