Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5117 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
267
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

290

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П Р И Л О Ж Е Н И Я

И Н Т Е ГР А Л А

 

 

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. XII

линий). Опустим из точки

 

 

А

 

на

ось

Ох

 

перпендикуляр

AB.

Он

 

является

 

 

отрезком

 

 

 

прямой

х = 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОАВИскомая пло­

щадь (рис.

 

124)

равна

разностиОпгАВ,между

 

площадями

тре­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угольника

 

 

 

 

и

 

фигуры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SomA =

$ОАВ

 

SomAB•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадьу =

 

ОАВ

 

заключе­—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на X между

графикомОх.

 

функ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ции =

 

 

X,

 

прямымиОтАВ

 

X

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

1 и осью

 

 

 

у — х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь=

 

 

 

 

 

заклю­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чена

междуОх.

 

кривой у =

X

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

упрямыми=

X

 

 

 

0

и

 

X

—

1 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осью

 

 

Функции

 

 

0

 

 

1и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

положительны в про­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

межутке значений л: от

 

до .

 

 

Следовательно, по формуле (1), учитывая равенство

(3),

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

JI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 0mA

=

 

 

1

*

dx

—

 

:2 dx =

 

 

 

 

 

 

~з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

Упражнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.ѵ,

 

 

1.

 

Найти

 

 

площадь

 

 

 

 

 

 

 

прямыми

 

у

=

X

 

 

 

 

 

фигуры,

 

ограниченной

 

 

 

у

=

2 и осью

 

площадь

 

 

фигуры,

 

 

заключенной

 

 

между

 

прямыми

 

=

2. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4х

— 5,

X —

—3,

 

X

=

—2 и осью

Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у — 2х2,

 

 

3.

Найти

 

площадь

 

 

фигуры,

 

 

ограниченной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой у2 — 9х

 

 

осью

Ох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

2 и

х =

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и прямыми —=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой

 

 

 

 

 

 

и

 

 

4.

Найти

 

площадь

9.

 

фигуры,

 

 

 

ограниченной

 

 

 

 

 

 

 

прямыми

 

X

 

=

 

1 и

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оу

 

 

5.

На

 

укривой

 

у2

=

 

4х

дана точка, ордината кривой равна 6.

Найти площадь фигуры, заключенной между данной кривой, осью

 

 

и

прямой

 

 

 

—

6.

 

Ох

 

 

 

 

 

фигуры,

 

заключенной между

 

кривой

 

=

6. Найти

 

 

площадь

 

 

 

у

X2

 

—

X,

 

осью

 

 

 

 

и прямыми

 

X

=

 

0 и

X

=

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

7. Дана кривая

у

=

 

2х2

—

х

 

+

2. Найти

площадь

 

фигуры,

за­

ключенной между данной кривой, осями координат и прямой

 

=

3.

 

 

8. Определить

 

площадь

 

параболического

сегмента,

 

основание

которого

а —

 

6, а высота

к

=

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Найти площадь фигуры, ограниченной осью

и

линиями:

 

 

 

 

 

 

1)

у — 2х

—

X2,

 

 

2) у —

9 —

X2.

3)

у =

X2

— 5л; +

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ По]

 

Найти

 

 

О БЪ ЕМ ТЕЛ

291

10.

 

площадь, ограниченную одной волной

синусоиды и

осью Ох.

 

 

 

фигуры, ограниченной осями координат и

И . Найти площадь

кривой

у =

4(1 — л:3).

 

 

 

12.

уНайти площадь, заключенную между линиями!

 

1)

=

2х — х2

и

у =

х,

 

 

 

 

 

 

2 ) y = Y x* И У= 4 ~ х'

3) X2 — 9у — 0 и X — Зу + 6 = 0,

4)4у — X 3 — 0 и у — X = 0.

13.Найти площадь, заключенную между следующими кривыми:

1)

у2 =

X

 

и

у

=

X 2,

 

 

9у +

36 = 0,

 

0 \ i t —

у 2

 

г» и —

1 _

у 2

 

 

3)

4д:2 -

 

9// +

18 =

0 и 2л:2 -

 

 

4)

л'2 +

У2

= 8 и

у2 —

2а.

 

 

 

 

§

115.

Объем

тел.

 

 

V

прямой

призмы, как

О б ъ е м

 

 

п р и з м ы . Объем

 

мы знаем

из

элементарной математики,

определяется

по формуле

 

 

 

 

 

Ѵ = а Н ,

 

 

 

где а — площадь основания призмы, Н — ее высота. Зай­

мемся выводом формулы объема наклонной призмы.а,

Возьмем наклонную призму, изображенную на

рисунке 125.

Пусть площадь ее основания равна

а вы­

сота

О 1О2 — Н.

Разделим ее высоту

на

п

частей

и про­

ведем через

точки

деления плоскости,

параллельные

основанию.

Этими

плоскостями мы

разделим

призму

на пластинки. Будем неограниченно увеличивать коли­ чество делений высоты, тогда толщина каждой пластин­

ки будет бесконечно малойbcde\biCid\e\f^.величиной и каждую пла­

стинку можно

принять

за

прямую призму. Выделим

одну из

них,

например

 

Ееп

объем

ДЕ =

— а АН,

 

АН

— высота элементарнойаА Н^*0 .

призмы,

а

—

 

А Нгде- *

 

 

площадь

ее основания. Мы

сказали, что

—>оо,

в

этом

Таким

случае

 

 

V0, следовательно,а АН,и

обра­

зом, объем

 

призмы будет

равен пределу суммы

бес­

конечно малых величин вида

т. е,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е =

П т

2яа Д Я ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д Я -> 0

о

 

 

 

 

10*

292

П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А

[ГЛ. X U

или, согласно формуле

(5)

§

113,

 

V — lim

н

н

Іf

н

 

V а АН =

а dH = а f dH — аН.

 

дя-»°

о

 

 

о

 

В результате мы получили для объема наклонной приз­ мы ту же формулу, что и для объема прямой.

D,

Таким образом,

объем любой призмы равен произ­

ведению площади основания на высоту.

 

 

 

Аналогично находится

объем

Ннаклонного цилиндра.

О б ъ е м п и р а м и д ы .

Возьмем

пирамиду

с

пло­

щадью основания Q и высотой

и

разобьем

ее

на

п

 

пластинок плоскостями, параллельными ее основанию (рис. 126). Если количество этих пластинок неограни­ ченно увеличивать, то толщина каждой из них будет бесконечно малой величиной; в этом случае пластинки можно принять за призмы. Выделив одну из них, на­ пример A\B\C\D\, обозначим площадь ее основания, высоту и объем соответственно через q, Ay и Ди; тогда

Av = q Ay.

§ 115]

О БЪ ЕМ ТЕЛ

293

 

Так как площадь основания пластинки зависит от рас­ стояния 00\ = у, выразим q через у. По известной тео­ реме о свойстве сечения, параллельного основанию пи­ рамиды, можем написать:

д( Н - ѵ )1

Q

Н 2 '

откуда

q = - § r ( H - y f .

Теперь равенство (1) перепишется так:

А ѵ = - § г ( Н - у 2) ^ .

Величина At)

 

бесконечно

малая, так как Дг/->0 при

п —*

оо; таким образом, объем

и

пирамиды представится

■как предел

суммы бесконечно малых величин вида

ф(Н — у ?Ь у ,

т. е.

-£ -(Я — г

А#,

 

 

 

lim Y

 

 

 

ѵ = Ay+0-яY п

 

/ ) 2

 

или согласно формуле (5) § 113

я

V = ' - § r ( H - y f d i y .

Вычисляя этот интеграл по известным правилам, на­ ходим:

о= J (нг - М у + if) dy = -§r \H‘y - H ir +4)

- ! т ( я » - я * + - £ ) = 4 <э/л

Итак,

v = ± Q H ,

т. e. объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

2 9 4

§ В116. Объем

П Р И Л О Ж ЕН И Я

И Н Т Е ГР А Л А

 

дана

[ГЛ. ХИ

А

телаОР

вращения.= а OQ

ПустьЬ

кривая,

 

 

 

 

 

y = f(x),

и на ней две точки

определяемая уравнениемABQP

и

 

 

и

с абсциссами

 

 

=

(рис.

127). Если

вращать фигуру

 

PQ вокругп

оси Ох,

то

образуется

некоторое тело вращения.

 

равныхОх

частей,

каждую

 

Разделим отрезок

 

на

 

из которых обозначим через Дх, и в точках деления

восставим' перпендикуляры

к

оси

 

до пересечения

с кривой. Проведя из этих точек пересечения прямые, параллельные оси Ох, до встречи с соседними перпен­ дикулярами, мы разобьем фигуру A B Q P на п прямо­ угольников и криволинейных треугольников. При вра­ щении фигуры A B Q P вокруг оси Ох каждый из прямо­ угольников образует цилиндр, а сумма объемов этих цилиндров даст приближенную величину объема рас­ сматриваемого тела вращения. Подсчитаем эту сумму объемов цилиндров. Для этого возьмем один из них, на­ пример CDFE. Как видно из рисунка 127, радиусом основания этого цилиндра будет

С\С — у = f {х),

а высотой

C XD I = Дх.

Следовательно, объем указанного цилиндра равен

пу2Дх,

§ 116]

О БЪ ЕМ ТЕЛ А В Р А Щ ЕН И Я

295

 

а сумма объемов всех цилиндров будет

ь

2яу2Дх.

а

Это выражение и представляет собой приближенную величину объема тела вращения, т. е.

ь

V ^ 2а Щ 2А*.

Положим теперь, что число делений отрезка PQ не­ ограниченно возрастает; тогда Дх, а следовательно, и произведение лу2Ах будут бесконечно малыми величи­ нами.

Перейдя к пределу, получим

 

 

 

 

 

 

Дл:lint-»--0

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ =

 

2а ™/2 Дх,

 

 

 

 

 

или согласно формуле

(5) § 113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

ь

ь

 

 

 

 

 

 

 

lim

2_іЛу2& х —

 

mj2dx —

яа f

y2dx.

 

 

Поэтому

а

 

аГ

ь

 

 

 

 

Дя-Х)

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V — я J y2 dx.

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Фигура,

ограниченная

линиями

у2 = 4х,

X —

О,

X

= 4 и

у =

0,

вращается вокруг оси

Ох.

Найти

объем полученного тела (рис. 128).

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Полученное

 

тело называется параболои­

дом вращения. Согласно формуле (1) имеем:

 

 

 

 

л I

4

 

4

 

 

л^ 2х2 = л ■ 2 • 42 =

32я.

ѵ =

у2 dx = л J Axdx =

 

оо

Пользуясь формулой (1), можно вывести формулы объема конуса, шара и его частей.

296

П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т Е ГР А Л А

 

ІГЛ. XII

О б ъ е м п р я м о г о

ОкАрРу г о в о г о

к оОхн у с а .

Пря­

мой круговой конус получается от

вращения прямо-

■ угольного треугольника

вокруг

оси

(рис.

129).

Рис. 129.

Составим уравнение прямой ОА, образующей при своем вращении коническую поверхность.

Обозначив

ОР =

Н,

PA =

R,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PA

R

 

 

 

 

 

напишем искомое уравнение прямой ОЛ:

 

 

 

 

 

 

у =

kx — tg а ■ X ■■

 

OP

Н X.

 

 

 

и

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу (1), будем иметь:

 

 

 

 

 

V = я 0*J

xj dx = n-jp

0j X2 dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

-

я

R2

X

3

H

 

R2

 

H3

 

 

n2u

 

 

=

H2

 

 

— n ңг

•

3

—

3 nR H,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

I

 

v = j n R 2H.

(2)

 

§ 116]

О БЪ ЕМ

Т ЕЛ А

ВРАЩ ЕН И Я

297

А В СООб ъ е м

у с е ч е нОхн о г о

к о н у с а .

 

Усеченный конус

можно получить, вращая прямоугольную трапецию

вокруг оси

(рис. 130).

Найдем уравнение

прямой AB, образующей коническую поверхность. Для этого положим

ОА = г,

СВ — R,

ОС = Н

и напишем уравнение AB в виде у =

kx + Ь.

Как видно из■ г, рис.

130,

AD

н

k — tga

BD

R — r

 

 

Таким образом, искомое уравнение будет:

У-

R - r

■ X +

г.

Н

Согласно формуле (1) найдем:

г] 2 dx.

ѵ — п *

 

■■■ X +

Вычислим определенный интеграл способом подста­ новки.

Положим

-

R

- r

х + г,

Н

тогда

dz =

R Н

 

dx\

 

 

- r

 

298

П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А

[ГЛ. Х П

 

 

отсюда

dx ■ R - r •

 

Н dz

Новыми пределами интеграла будут:

 

Z «

Н

0 +

г = =

 

 

R - r

 

H + r =

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

тедовательно,

 

е______а8II-

R'

a Hdz

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

j (

Н

* + г)

 

Z

R - r

 

 

- г3) =

0

 

 

 

 

Г

3

 

 

 

 

 

пН

 

z3

R

пН

(R3

 

пН

 

г

3

 

( R - r )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

лН

З ( Я - г ) ( Я - г ) ( Я 2 + Я г + г 2) = ^ - ( Я 2 +

о = - ^ ( Я 2 + Яг + г2).

R .

Я г + г2),

(3)

О б ъ е м

ш а р а .

Ш ар

 

получается отR,

вращения

полукруга с центром в начале координат вокруг оси

Ох

(рис. 131). Уравнение окружности радиуса

 

представ­

ленной на

рис.

131,

имеет

 

вид

 

 

*

 

 

 

откуда

 

 

 

x2 +

y2 = R\

 

 

 

 

 

 

 

 

у2

R2

-

* 2.

 

R

 

 

 

+R

 

 

+R / =

 

 

 

 

 

 

Согласно

формуле (1.) найдем:

 

 

2 я J(R2— х2) dx

 

V = я - R

у2 dx — я

(R2— X2) dx =

-

Диаметр

яшара

D =

2R\v — ^ n R 3.R

=

и

R3 — - j - ,

(4)

 

отсюда

 

 

 

по-

4

„о

4

D 3

nD3

 

 

 

 

 

 

этому -g-

Rö —

-g- я •-g - =

—g—,

T. e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

» =

■ =£.

 

 

 

 

(4*)

Формула (4*) выражает объем шара через его диаметр.

§ 116]

 

О Б Ъ ЕМ ТЕЛ А В Р А Щ ЕН И Я

29 9

О б ъ е м

ш а р о в о г о

с е г м е н т а .

Шаровой сег­

мент можно

получить,

вращая половину кругового сег­

мента

А В С

вокруг оси

Ох

(рис. 132). Обозначив высоту

 

 

РВ шарового сегмента через Н, а радиус круга через R, получим:

К.К

п =

я J" y2dx =

n j* ( R 2 — X 2) dx = n - [ R 2x —

=

=

1]}=

=

я ( 4 g » ,

+ R 2H + - * m + a

=

— (2R3 - 3R3+ 3R2H + R3 — 3R2H + 3RH2— H2) =

 

=

(3RH2 - № ) = пН2 (R -

i - Н ),

О б ъ е м ш а р о

ОАВв о г о

с е к т о р а .Ох

Шаровой

(5)

сектор

можно представить как тело, полученное от вращения

кругового сектора

 

вокруг оси

(рис. 133). Как

видно из рисунка, объем шарового сектора равен сумме

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности