книги из ГПНТБ / Бобровников Л.З. Радиотехника и электроника учебник

Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье произво­ дится так

оо

Т->-со k=-co

—оо

позволяет представить сигнал в виде интегральной суммы бесконечно малых гармонических составляющих.

Отличие интеграла Фурье от ряда Фурье заключается в том, что интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой периодических составляющих, в то время как ряд Фурье предста­ вляет периодическую функцию суммой периодических составляющих. Следствием этого является то, что спектр периодического сигнала дискретен и состоит только из гармоник основной частоты; спектр

формы записи. Если оперировать только положительными частотами,

10

ной формы записи интеграла Фурье применяется и тригонометри­

дические сигналы обычно задаются на некотором конечном про­ межутке времени ti =^ t г5 t2 и, таким образом, спектральная плот­ ность является не только функцией частоты, но и зависит от времени.

Так, если при определении спектра учитывается весь предшеству­ ющий временной интервал, говорят о текущей спектральной плот­ ности сигнала (текущем спектре). Если спектральная плотность определяется для малого участка сигнала, то вводится понятие мгновенной спектральной плотности (мгновенного спектра).

Распределение энергии непериодического сигнала по спектру может быть выражено как

со оо оо

И

где W (со) = —- А2 ( с о ) — энергетическая спектральная плотность

сигнала (энергетический спектр, спектр мощности).

Последнее выражение позволяет определять практическую ши­ рину спектра сигнала, т. е. область, в которой сосредоточена основ­ ная энергия сигнала,

весьма малая по сравнению с полной энергией сигнала, а сон и сов — нижняя и верхняя граничные частоты спектра, при которых вели­ чина энергетической спектральной плотности ниже некоторого за­ данного значения.

Ограничение спектра непериодического сигнала полосой от ниж­ ней частоты сон до верхней граничной частоты сов неизбежно при­ водит к искажению формы сигнала, а следовательно, к утрате не­ которой части информации. Поэтому в каждом отдельном случае определение ширины спектра А со = сов — сон должно проводиться как с позиции передачи максимума энергии, так и с позиции допу­ стимых искажений формы сигнала.

Реальные непериодические сигналы существуют в течение опре­ деленного промежутка времени от tt до 12. С информационной и энер­ гетической точек зрения не все участки сигнала равноценны: часто начальный или конечный (или оба вместе) участки переносят и

для любого непериодического процесса справедливо следующее соотношение

12

Помимо ширины спектра и эффективной длительности неперио­ дический сигнал характеризуется динамическим диапазоном, опре­

Рис. 2.

Сигнал можно представить в виде суммы запаздывающих на бес­ конечно малый промежуток времени dx единичных функций с бес­ конечно малой амплитудой dx (рис. 3, а).

Амплитуда dx определяется следующим выражением:

13

В. А. Котельниковым доказано, что в общем случае сигнал с огра­ ниченным спектром полностью определяется своими мгновенными

Теорема Котельникова имеет важное значение: на ее основе лю­ бой непрерывный сигнал может быть со сколь угодно высокой сте­ пенью точности преобразован в дискретный.

§ 4. Случайные сигналы

Случайным является сигнал, параметры которого заранее не­ известны, и, следовательно, неизвестна и информация, им перено­ симая. Все реальные сигналы являются в большей или меньшей сте­ пени случайными, так как в противном случае в них была бы за­ ключена известная информация, передавать и принимать которую бессмысленно.

В общем случае случайный сигнал можно рассматривать в виде бесконечной совокупности случайных величин, зависящих от мно­ гих независимых переменных. Например, можно представлять слу­ чайные сигналы или в виде бесконечно большого числа гармониче­ ских составляющих, частоты, амплитуды и фазы которых случайны, или в виде бесконечно большого числа импульсов случайной формы, амплитуды, длительности и частоты повторения. Это позволяет го­ ворить о спектральных и временных статистических параметрах случайных сигналов.

Анализ случайных сигналов затрудняется тем обстоятельством, что к ним непосредственно неприменимы рассмотренные выше спект­ ральные и временные методы анализа, ибо случайные сигналы не могут быть выражены в виде точных функциональных зависимостей от времени. Случайные сигналы могут быть стационарными и

15

нестационарными. Под стационарными понимают случайные сигналы, статистические параметры которых не зависят от времени.

Это означает, что параметры одного участка сигнала весьма близки к статистическим параметрам другого участка той же длитель­ ности, взятого в любой момент существования сигнала — в прошлом, настоящем или будущем. В общем случае соответствие тем выше, чем больше длительность участка сигнала, на котором осуществляется определение параметров.

Статистические параметры нестационарных случайных сигналов зависят о-времени, что в значительной мере затрудняет и услож­ няет их анализ.

Исчерпывающей характеристикой любого случайного сигнала является распределение вероятностей, показывающее, с какой ве­ роятностью сигнал может принимать одно из множества возмож­ ных значений. На практике удобнее пользоваться средними значе­ ниями (моментными функциями), получающимися в результате опе­ рации усреднения. В общем случае значение случайного сигнала зависит и от времени, и от одной или нескольких других независи­ мых переменных. Поэтому возможно усреднение как по времени, так и по другим переменным.

Средние по множеству (математические ожидания) определяются в некоторый фиксированный момент времени £4 путем усреднения всех возможных (для данного момента времени) значений сигнала.

Для нестационарных случайных сигналов среднее по множеству зависит от времени. Для стационарных случайных сигналовМ [х (£])] =

=const и от времени не зависит. При этом среднее по множеству

есть не что иное, как постоянная составляющая сигнала

выражает мощность переменной составляющей сигнала, при этом средний квадрат М [х2 (£,)] определяет общую мощность сигнала.

16

Математическое ожидание и дисперсия характеризуют сигнал

во времени. Временные свойства сигнала описываются функцией

является средним значением произведения значений сигнала в мо­ менты времени t t и t2. Для нестационарных случайных сигналов функция корреляции зависит от моментов времени £t и 22 . Для ста­ ционарного случайного сигнала корреляционная функция зависит

Корреляционная функция стационарного случайного сигнала является наиболее объективной временной статистической характе­ ристикой, сравнительно легко определяемой для большинства сиг­ налов и удобной для анализа. К числу важнейших свойств корреля­

т= 0.

3.Если в стационарном случайном сигнале отсутствует постоян­ ная составляющая и нет периодических составляющих, то при т ->- °о функция корреляции стремится к квадрату среднего значения сиг­

нала. Если среднее значение равно нулю, то Ф (т) - > 0.

4.Функция корреляции периодического сигнала является перио­ дической функцией и содержит как основную частоту, так и все гармоники.

5.Функция взаимной корреляции двух независимых стационар­

Большинство стационарных сигналов обладает эргодическим свой­ ством; их среднее по множеству равно среднему по времени с вероят­ ностью, равной единице, что упрощает анализ. Случайный сигнал можно рассматривать в виде суммы бесконечно большого числа; простых гармонических колебаний со случайными амплитудами, частотами и фазами. Однако, если определить обычным способом спектральную плотность по одной из реализаций случайного про­ цесса, то полученное значение будет величиной случайной и неопре­ деленной.

плотностью или энергетическим спектром, характеризующим рас­ пределение мощности случайного сигнала по спектру.

Энергетический спектр случайного сигнала И7 (со) на участке частотного диапазона шириной А со - у 0 определяется как отношение

Между функцией корреляции и энергетическим спектром стацио­ нарных процессов существует связь, которая, как доказал А. Я. Хин - чин, выражается в виде интеграла Фурье

-оо Приведенные соотношения имеют исключительно важное зна­

чение при анализе стационарных сигналов, давая возможность по­ лучать Ф (т) из И7 (со) [или W (со) из Ф (т)] и использовать все из­ вестные свойства преобразования Фурье. В частности, эти выраже­ ния позволяют решить очень важный вопрос о практической ширине спектра стационарного случайного сигнала. Для любого сигнала

48