книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие
.pdfЕсли частота вращения п измеряется в |
об/мин, то |
получим: |
|
со = п об/мин • 2я рад/об • ^ мин/с = ~ |
рад/с; |
й = з о - |
<3 7 > |
Если частота вращения п измеряется в об/с, то имеем: со = п об/с-2я рад/об = 2пп рад/с; со = 2яп. (37а)
В общем случае вращения твердого тела может ока заться, что угловые перемещения Лср за отдельные равные промежутки времени А/ будут разными. Это означает, что
угловая скорость со тела изменяется |
с течением |
времени /. |
Величина, характеризующая быстроту изменения угло |
||
вой скорости тела, называется его |
у г л о в ы м |
у с к о |
р е н и е м . |
|
|
Пусть за произвольный промежуток времени А/ вели чина угловой скорости со изменилась на Асо. Отношение приращения Асо угловой скорости тела за некоторый проме жуток времени к этому промежутку времени А/ называется с р е д н и м у г л о в ы м у с к о р е н и е м тела за промежуток
времени. Обозначим среднее |
угловое ускорение е с р |
(е—гре |
ческая буква «эпсилон»). |
|
|
8 с Р = |
^7 • |
(38) |
Среднее угловое ускорение е с р зависит от величины промежутка времени А/. Однако если уменьшать А/, то значение среднего углового ускорения стремится к величине углового ускорения тела е в данный момент времени.
Основную единицу измерения углового ускорения опре делим из соотношения:
е единиц углового ускорения = |
Асо единиц |
угловой скорости |
||
|
|
т-. |
= |
|
^ |
|
|
At единиц времени |
|
, рад |
1 рад/с |
|
||
ИЛИ 1 *Ц- = |
\ |
с |
•• |
|
с 2 |
1 |
|
|
Обычно единицу измерения радиан на.секунду в квад рате (рад/с2 ) указывают только при задании величины угло вого ускорения или рядом с конечным результатом, напри
мер угловое |
ускорение вала электродвигателя 200 |
рад/с2 . |
|||
В то |
же время |
размерность |
углового ускорения |
равна: |
|
[е] = |
[1/с2 ], |
так |
как радиан |
является безразмерной |
вели |
чиной.
140
Из сказанного можно сделать общий вывод: вращение любого твердого тела можно характеризовать его угловым перемещением ср, угловой скоростью со и угловым ускоре нием е. Эти кинематические характеристики являются общими для всех точек вращающегося тела.
§ 51. Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела
При вращении твердого тела вокруг оси все его точки движутся по окружностям, расположенным в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения х — х (см. рис. 102). Центры этих окружностей расположены на оси вращения.
Например, точка |
А перемещается по окружности радиуса |
г. Предположим, |
что угловая скорость тела не изменяется |
с течением времени, т. е. происходит равномерное вращение тела. Все его точки за любой промежуток времени совер шают одинаковое угловое перемещение. Однако траектории точек будут разными. Точки, лежащие на разных расстоя ниях от оси вращения, опишут дуги окружностей разной длины. Зная угловую скорость со тела и расстояние какойнибудь точки тела от оси вращения, найдем скорость этой точки. Величину скорости v точки вращающегося тела, характеризующую быстроту ее движения по дуге окруж
ности, |
иногда называют л и н е й н о й |
с к о р о с т ь ю |
|
точки в отличие от угловой скорости |
со тела, |
характери |
|
зующей |
быстроту изменения его угла |
поворота |
ср. |
Пусть за время At точка тела переместится из положе ния А в положение Av При этом она пройдет путь AS, равный длине дуги ААХ окружности, а само тело повернется на угол Аф. Величина скорости v точки А равна тому
AS
значению отношения |
, |
к которому |
оно стремится при |
все меньшем и меньшем |
промежутке |
времени At. Длина |
дуги ААх окружности, имеющей радиус г, определяется
равенством AS = г-Лср. О т н о ш е н и е ^ можно |
записать |
|||
как ~ =r'A~t- |
В |
§ 50 мы видели, что с |
уменьшением |
|
величины промежутка времени At отношение ^ |
стремится |
|||
к значению угловой |
скорости со тела в данный момент вре |
|||
мени. Из сказанного |
следует, что равенство ^ |
= |
г • ~ при |
неограниченном уменьшении величины А^ превратится
141
в |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
v = г • со. |
|
(39) |
|
|
Величина |
скорости |
точки |
вращающегося |
тела равна |
|
произведению |
расстояния |
данной точки |
от |
оси вращения |
||
на |
величину |
угловой скорости |
тела. |
|
|
|
|
Вектор v |
скорости |
точки |
направлен |
по |
касательной |
к траектории точки. Траектория любой точки вращающегося тела является окружностью, а касательные к окружности всегда перпендикулярны к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому скорости всех точек тела направлены
перпендикулярно к радиу сам, проведенным к этим
точкам.
Из формулы (39) сле дует, что скорости точек вращающегося тела про порциональны расстояниям этих точек от оси враще ния. Например, для произ вольных точек тела А и Б (рис. 103) имеем:
|
vA = rAa, vE |
= ГБ |
- со; |
Рис. 103. Векторы линейной ско |
|
|
|
рости v для различных точек |
вра |
|
|
щающегося тела |
|
|
|
лежащих на одном луче, |
проведенном из точки |
О, находя |
|
щейся на оси вращения, |
должны располагаться |
на |
одной |
прямой, как показано на |
рис. 103. |
|
|
При решении практических задач часто приходится находить скорость точек, лежащих на поверхности вра щающегося цилиндрического тела, например заготовки, закрепленной в патроне токарного станка; дисковой фрезы, шкива, шестерни и т. д. Линейная скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения, т. е. расположенных на наруж ной поверхности тела, получила название о к р у ж н о й с к о р о с т и .
При обработке деталей на металлорежущих станках обычно бывают известны наружный диаметр детали или инструмента и частота вращения, измеряемая в оборотах в минуту. При этих данных величина окружной скорости
142
определяется по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D яп |
nDn |
nDn |
|
|
,.ЛЧ |
|
где D — диаметр |
вращающегося |
цилиндрического |
тела |
в |
||||
метрах |
(м); |
|
|
|
|
|
|
|
п — частота |
вращения |
тела |
в оборотах в |
минуту |
||||
(об/мин); |
|
|
|
|
|
|
|
|
v — окружная |
скорость |
в |
метрах в |
секунду |
(м/с). |
|||
Когда диаметр D |
задан в |
мм, |
скорость |
v м/мин |
и я |
в |
об/мин, между этими величинами имеется следующее соот ношение:
|
|
- r - u = |
D |
1 |
п |
л п = |
nDn |
|
|
v |
2 |
. . _ . 2 |
|
1 ж ; |
|||
|
|
|
|
nDn |
|
|
|
, л г , . |
|
|
|
у |
= Тооо- |
|
<40а) |
||
где D — диаметр вращающегося цилиндрического тела в мм; |
||||||||
|
п — частота вращения тела |
в |
об/мин; |
|||||
|
v — окружная скорость в м/мин. |
|
||||||
|
Последняя |
формула |
удобна |
для расчетов, связанных |
||||
с |
определением режимов |
резания |
при |
обработке деталей |
||||
на |
металлорежущих станках. |
|
|
, |
|
|||
|
Вычисления, которые необходимо выполнить при исполь |
зовании формул, приведенных выше, просты. Однако для быстрого решения практических задач целесообразно вы полнить вычисления для конкретных условий заранее. Результаты вычислений наносятся на графиках и чертежах, называемых номограммами. Номограмма позволяет про изводить вычислительные операции много раз и при том каждый раз с различными числовыми данными. Один из простейших видов номограмм показан на рис. 104. На этом рисунке приведены графики, выражающие зависимость окружной скорости v от диаметра D вращающегося тела при различных, но постоянных для каждого графика частотах вращения п. Если в формуле (40а) принять п постоянным, то линейная скорость v будет зависеть только от диаметра D. Поэтому график, выражающий зависимость v от D, будет прямой линией. Задаваясь различными зна чениями п, получим семейство прямых линий. Численные значения v, D и п определяются конкретными условиями. Например, на рис. 104 показана номограмма, построенная для сверлильного станка. Согласно паспортным данным станка наибольший диаметр сверла равен 30 мм, а возмож-
143
ные частоты вращения шпинделя составляют 47,5; 75; 118; 190; 300; 475; 790 и 1100 об/мин. В соответствии с этими данными и построены зависимости скорости резания v (окружной скорости) от диаметра D сверла для различных постоянных п согласно формуле (40а).
0 • 10 20 30 В[мм1
Рис. 104. Номограмма, выражающая соотношение между величинами линейной скорости V, наруж ного диаметра D сверла и частоты вращения п шпинделя для сверлильного станка
З а д а ч а 13. Пользуясь номограммой (см. рис. 104), определить наиболее выгодную частоту вращения шпинделя станка, если требуется просверлить отверстие диаметром 16 мм. Допустимая скорость резания равна 25 м/мин.
Для решения достаточно нанести на поле чертежа точку с коорди натами D = 16 мм и v = 25 м/мин. Найденная точка А располагается наиболее близко к лучу номограммы, соответствующему частоте вра щения шпинделя п = 475 об/мин. Поэтому станок нужно настроить именно на эту частоту вращения.
При любом вращательном движении тела вектор линей ной скорости v его точек непрерывно изменяется. Поэтому точки вращающегося тела всегда движутся с ускорением. Для определения ускорения мы можем применить все рассуждения и выводы, относящиеся к криволинейному движению точки.
Ускорение точки вращающегося тела, как и ускорение всякого криволинейного движения, может быть представ-
144
ленов виде суммы касательного ускорения аг и нормального ускорения ан.
Для определения величины касательного (тангенциаль ного) ускорения подсчитаем величину изменения скорости
Av |
точки |
за |
промежуток |
времени At. Так как v = гсо, |
||
а радиус г рассматриваемой |
точ |
|||||
ки |
постоянен, |
то |
Av=r-Aa. |
|||
г, |
|
|
„ |
Av |
и |
Дш |
Величины |
отношении |
Т 7 |
-.z |
|||
|
|
|
|
At |
|
At |
при уменьшении промежутка времени стремятся соответ ственно к величине касательного ускорения с т и углового уско рения е (см. § 46 и 50). Поэтому справедливо следующее равен ство:
ат = г-г. |
(41) |
Величина касательного уско рения точки твердого тела, вра щающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению расстоя ния данной точки от оси вра щения на угловое ускорение тела.
Для определения величины нормального ускорения подста вим в формулу (34) значение линейной скорости v = га>:
ая = — = (гсо)2 |
газ2; а н = |
гсо2. |
|
|
|
|
|||||
и |
г |
|
|
|
|
|
(42) |
Рис. 105. Векторы скоростей |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Величина |
нормального |
ускоре |
и ускорений точки тела, вра |
||||||||
щающегося |
вокруг |
непод |
|||||||||
ния точки |
твердого |
тела, |
вра |
вижной |
оси |
ускоренно (а), |
|||||
щающегося |
вокруг |
неподвижной |
|
замедленно (б) |
|
||||||
оси, |
равна |
произведению |
рас |
|
|
|
|
||||
стояния |
данной |
точки |
от оси |
вращения на |
угловую |
ско |
|||||
рость |
в |
квадрате. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Направление |
вектора |
|
касательного |
(тангенциального) |
ускорения а1 точки вращающегося тела совпадает с направ лением вектора ее скорости при ускоренном вращении тела (рис. 105, а) и противоположно направлению скорости при замедленном вращении (рис. 105, б).
Вектор нормального (центростремительного) ускорения точки вращающегося тела всегда направлен по радиусу
145
окружности, представляющей траекторию точки, к центру этой окружности (рис. 105).
Вектор ускорения а равен сумме составляющих векторов ат и в„, т. е. а — ат + ан и является диагональю прямо угольника, построенного на этих векторах. Величина уско рения равна:
а = Уа- + аЪ = У(гг)2 + (rco2)2 = г V&2 + со4 .
Острый угол а между направлением вектора ускорения а точки вращающегося тела и направлением радиуса нахо дится из формулы
,ат е.
1§ а = а н = о з -
§52. Основные случаи вращения тела вокруг
неподвижной оси
Определив общие кинематические характеристики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: угловую скорость со и угловое ускорение е, а также установив их связи с ли нейными скоростями v и ускорениями а отдельных точек тела, остановимся на двух случаях, наиболее часто встре
чающихся |
в технике — равномерном |
и равнопеременном |
вращении |
тела. |
|
Р а в н о м е р н о е в р а щ е н и е |
т е л а . Равномер |
ным вращением тела называется его вращательное движение с постоянной угловой скоростью со. По определению угловой скорости имеем:
|
|
|
|
_ |
Аф _ |
ср-фо |
|
||
|
|
|
|
|
Л* |
t - t 0 |
' |
|
|
где ф0 |
— некоторый |
постоянный |
угол, отсчитываемый |
от |
|||||
|
выбранной неподвижной |
|
плоскости (плоскость |
П0 |
|||||
|
на рис. 102) и принимаемый за начало отсчета |
||||||||
|
угловых |
перемещений; |
|
|
|
||||
Ф |
— угол |
поворота |
тела, соответствующий данному |
||||||
t0 |
моменту |
времени t; |
|
|
|
|
|||
— начальный |
момент времени; |
|
|||||||
t — рассматриваемый текущий момент времени. |
|
||||||||
Из |
выражения |
для со получим |
после преобразований: |
||||||
|
ф - ф 0 |
= |
с о ( / - ^ ) и |
ф = |
ф0 + со (t-tu). |
(43) |
Уравнение (43) называется уравнением равномерного вращения тела.
146
Можно начать отсчет времени с того момента, когда мы начинаем рассматривать процесс вращения тела. Это озна чает, что принимается условие t0 = 0. Тогда уравнение (43) примет вид:
Ф = Фо + |
(43а) |
Если в начальный момент времени гр0 = |
0, т. е. мы начи |
наем отсчет угловых перемещений от начальной точки, лежащей в неподвижной плоскости, то уравнение еще
больше |
упрощается: |
|
|
|
|
|
Ф = at. |
(436) |
|
Угловое ускорение |
тела |
е и касательное |
ускорение |
|
о т = г - е |
равны нулю |
при |
равномерном вращении тела. |
|
Р а в н о п е р е м е н н о е |
в р а щ е н и е |
т е л а . |
Равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) вращением тела называется такое его вращательное дви жение, при котором за равные, произвольно взятые проме жутки времени угловая скорость тела изменяется на одну и ту же величину. Отсюда следует, что угловое ускорение е тела, т. е. величина, характеризующая быстроту изменения его угловой скорости, постоянно. В этом случае величина
углового ускорения |
равна: |
|
|
|
|
Дш |
со — со0 |
|
|
|
е = At |
t- |
|
|
где со — величина |
угловой |
скорости |
в |
произвольный мо |
мент времени /; |
|
|
|
|
со0 — величина |
угловой |
скорости |
в |
начальный момент |
времени |
t0. |
|
|
|
Из выражения для е получим после преобразований:
|
со — со0 = 8 (t —10) |
и |
со = |
со0 + |
е (t —10). |
(44) |
||||
Это уравнение позволяет определить угловую скорость |
||||||||||
.тела, вращающегося |
с |
постоянным угловым |
ускорением, |
|||||||
в любой |
момент времени. |
|
|
|
|
|
|
|||
Если начать отсчет времени с момента начала рассмот |
||||||||||
рения вращения тела, |
то t0 |
= |
0 и |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
со = |
со0 |
- f et. |
|
|
|
(44а) |
Если |
в |
начальный |
момент времени |
тело |
находилось |
|||||
в покое, |
то |
со0 = 0 |
и |
уравнение |
(44) |
еще больше |
упро |
|||
щается: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со = |
et. |
|
|
|
(446) |
| |
147 |
Для определения углового перемещения ср вращаю щегося тела поступим следующим образом. Предположим, что отсчет времени ведется с момента, когда угловая ско рость равнялась со0, при этом t0 = 0. Через время t угловая скорость станет равной о>. При равноускоренном вращении величина средней угловой скорости за промежуток вре
мени |
t равна: <аср = м » + ( 0 ш |
з а |
э т |
о т ж |
е |
промежуток |
вре |
||||||||
мени |
тело |
повернется |
на |
угол |
ф — <р0. Средняя |
угловая |
|||||||||
скорость шс р может быть |
представлена |
как ю с р = |
( p ~ ( f n |
||||||||||||
(см. |
§ 50). |
Из |
|
обоих |
выражений |
для |
средней |
угловой |
|||||||
скорости получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
—2 |
в |
— |
|
t— |
Ф —Фот |
|
g |
|
|
|
|||
Подставим |
последнее равенство значение угловой |
||||||||||||||
— |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скорости со из |
уравнения |
(44а): |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ф = Фо + |
|
2 |
|
-^ = Фо + |
<йо^+-g-- |
|
(45) |
|||||||
Это уравнение называется уравнением равноперемен |
|||||||||||||||
ного |
вращения |
тела. |
Если в |
начальный |
момент |
времени |
|||||||||
Ф0 = 0, то |
справедливо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ф = о у + et2-. |
|
|
|
|
(45а) |
||||
Если тело в начальный момент времени было непо |
|||||||||||||||
движно, т. е. о)0 |
= 0, |
то |
выражение |
(45а) |
упрощается: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ф = 6 |
| . |
|
|
|
|
|
(456) |
В заключение приведем еще одну формулу для угло вого перемещения. Исключая из уравнений (44а) и (45а) время t, получим:
Ф = - 2 Т - в - |
(45в) |
С равнопеременным вращением тел обычно встречаются при изучении процессов пуска в ход и остановки машин.
§ 53. 0 плоскопараллельном движении твердого тела
В предыдущих параграфах мы рассмотрели частные случаи плоскопараллельного движения твердого тела — поступательное и вращательное. При поступательном дви-
148
жении все точки тела движутся одинаково. Определив движение какой-нибудь одной точки, т. е. найдя ее переме щение, скорость и ускорение, мы тем самым можем судить о движении тела в целом. При вращении тела вокруг не подвижной оси различные его точки перемещаются поразному. Однако мы сумели отыскать для этого случая кинематические характеристики: угловые перемещение, ско рость и ускорение, общие для всего тела. В общем случае
Рис. 106. Любое плоское перемещение тела можно различными спосо бами (а — г) представить как сумму поступательного и вращательного перемещений
для определения плоскопараллельного движения достаточно знать движение двух точек тела, находящихся в одной плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Другими словами, движение отрезка, соединяющего две точки сечения тела, вполне определяет плоскопараллельное движение тела.
Если мы определим перемещение этого отрезка, то вместе с тем найдем перемещение всех точек твердого тела.
Пусть |
отрезок АВ |
перемещается за время t в положение |
Л 2 В 2 |
(рис. 106). |
Это перемещение можно рассматривать |
как результат двух перемещений: поступательного, при
котором отрезок перемещается |
параллельно |
самому себе |
|
в положение Афу, |
и поворота |
отрезка вокруг |
оси, прохо |
дящей через точку |
Ои на угол |
ср до совпадения с положе- |
149