книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

Несмотря на то, что и сила, и перемещение являются векторными величинами, их произведение есть скалярная величина.

Из определения работы следует, что сила может совер­ шать работу только тогда, когда точка приложения силы пе-_ ремещается. Если же, несмотря на действие силы, не проис­ ходит перемещения точки приложения силы, то сила никакой механической работы не совершает.

Если точка приложения силы перемещается, а сила дей­ ствует перпендикулярно к перемещению, то эта сила не со­ вершает работы.

Например, автомобиль перевез груз по горизонтальной дороге на некоторое расстояние. Автомобиль во время пере­ возки груза двигался и ускоренно, и равномерно, и замед­ ленно; прямолинейно и по криволинейному пути с различ­ ными скоростями и различными ускорениями. В то же время сила тяжести не изменялась ни по величине, ни по направ­ лению. Она в каждый момент времени движения была урав­ новешена силами.упругости, действующими со стороны до­ роги на колеса грузовика, и всегда была направлена пер­ пендикулярно к направлению движения. При перемещении по горизонтальной плоскости работа силы тяжести равна нулю. Конечно, это не означает, что при перевозке груза вообще не была совершена никакая работа. Работу соверша­ ли движущие силы и силы сопротивления, направленные вдоль перемещения.

Для измерения работы силы нам нужно установить еди­ ницы работы. Только после этого мы сможем вычислить ве­ личину работы в каждом конкретном случае. Так как работа определяется произведением силы на перемещение, то еди­ ницу работы следует принять работу, совершаемую силой, равной единице, при перемещении точки ее приложения в направлении действия силы на расстояние, равное еди­ нице. Другими словами, всегда должно выполняться соот­ ношение:»

А единиц работы = F единиц силы -S единиц перемеще­ ния.

В системе СИ единицей силы служит 1 Н, а единицей длины — 1 м. Поэтому единицей работы А в системе СИ является работа силы в 1 Н при перемещении на 1 м: 1н • 1м=

200

§ 80. Работа постоянной силы, направленной под любым углом к перемещению

В общем случае сила F может_быть направлена под лю­ бым углом а к перемещению S, как это показано на рис. 122, а. Найдем выражение для работы А. Для этого представим вектор силы F в виде двух составляющих векто­ ров Fi и Р2^Составляющая Fx силы F направлена вдоль пе­

Рис. 122. К определению работы силы F, направленной

под углом а к перемещению S

Работа равнодействующей силы F равна сумме работ состав­ ляющих сил Fx и F2- В результате находим:

т. е. работа силы равна проекции силы на направление пере­ мещения точки ее приложения, умноженной на величину перемещения. Как мы знаем, проекция вектора силы Р на какое-нибудь направление равна (см. § 16):

Выражение (616) является общим для всех случаев, когда сила направлена под любым углом к перемещению, и вклю­ чает рассмотренные выше частные случаи. Если направле­ ния вектора силы F и вектора перемещения S совпадают, то угол а между ними равен нулю и cos а = 1, тогда А =

204

Если направления вектора силы F и вектора перемещения S взаимно перпендикулярны, то угол а = 90° и cos 90° = 0,

§ 81. Мощность. Единицы мощности

Рассмотрим пример. Кран поднимает груз на некоторую высоту. Работа будет равна произведению силы тяжести, действующей на груз, на высоту подъема. Предположим, что внезапно отключилось электропитание двигателей крана. Груз остановится, не пройдя всего необходимого расстояния. После того как электропитание будет восстановлено, груз поднимут на требуемую высоту. Несмотря на перерыв в про­ цессе подъема груза, величина работы силы тяжести не из­ менится. Мы можем поднимать груз медленно или быстро, все равно работа силы тяжести остается той же самой. Время не имеет никакого значения для оценки количества работы. Однако время играет существенную роль для оценки произ­ водительности машины. Каждая остановка подъемного крана означает, что уменьшается количество работы, которая мо­ жет быть выполнена краном за смену, т. е. уменьшается его производительность. В результате, например, рабочие не сумеют за одну смену закончить монтаж этажа здания. Следовательно, для характеристики действия различных машин важна не только величина работы, которую может совершить данная машина, но и время, в течение которого эта работа может быть совершена.

Отношение величины совершенной работы А к проме­ жутку времени t, в течение которого она совершена, называ­ ется мощностью N:

Мощность можно назвать скоростью выполнения работы. Равенство (62) выполняется всегда, если работа произво­ дится равномерно, т. е. в одинаковом количестве за равные,

202

произвольно взятые промежутки времени. Если величины силы F или перемещения S точки приложения силы изменя­ ются с течением времени, то и работа А будет изменяться с течением времени, т. е. работа совершается неравномерно. Примером этого могут служить процессы разгона и торможе­ ния различных машин. В подобных случаях мощность также изменяется с течением времени. Поэтому говорят о средней мощности за промежуток времени t, величина которой опре­ деляется также в соответствии с равенством (62).

Для измерения мощности применяют единицы измерения мощности, определяя их как мощность, при которой за еди­ ницу времени совершается работа, равная единице:

В системе СИ единицей работы является 1 джоуль, а еди­ ницей времени 1 секунда. Поэтому в системе СИ единицей

няемых в промышленности, всегда указывается в киловат­ тах. Мощности'паровых, газовых и гидравлических турбин,

исключительно этой единицей. Только в последние десяти­ летия стали применять указанные выше единицы мощности, которыми в настоящее время преимущественно и поль­ зуются. Однако, в силу традиций, мощность двигателей внутреннего сгорания, паровых машин и сейчас указывают в лошадиных силах.

203

Полезно запомнить следующие соотношения:

1 л. с. == 75 кГ • м/с == 75 • 9,81 Н • м/с = 736 Вт = 0,736 кВт,

1 кВт == * = 1,36 л. с.

Например, мощность автомобильного двигателя внут­ реннего сгорания JV = 90 л. с. равна в киловаттах:

N= 90 л. с. • 0,736 кВт/л. с. = 66,2 кВт.

§82. Работа и мощность постоянной силы при поступательном движении тела

Изучая прямолинейное движение тел под действием по­ стоянной силы, мы установили, что характер движения — равноускоренное, равномерное или равнозамедленное, — зависит от величины движущих сил F S B и величины сил со­ противления Fc. Движущие силы всегда направлены в сто­ рону движения, т. е. направление действия сил и направ­ ление перемещения всегда совпадают. Силы сопротивления направлены в сторону, противоположную действию дви­ жущих сил. Поэтому направление действия сил сопротивле­ ния и направление перемещения всегда противоположны друг другу. Для того чтобы различать работы, совершаемые этими силами, поступают следующим образом. Работу дви­ жущей силы считают положительной. В этом случае гово­ рят: «Движущая сила совершает работу Л д в = FM -S». Работу силы сопротивления считают отрицательной. В этом случае говорят: «Работа совершается против силы сопротив­ ления — Л с = — Fz-S».

Условие о знаке работы будет выполнено само собой, если приписывать одинаково направленным силам и переме­ щениям одинаковые знаки, а противоположно направлен­ ным силам и перемещениям разные знаки.

Теперь мы сможем судить и о мощности, передаваемой твердыми телами, движущимися равномерно. Так как при

S

равномерном движении телв величина его скорости v = --,

204

Например, сила резания при рабочем ходе продольнострогального станка F = 5 кН, а скорость резания v —

12 м/мин. В этом случае мощность резания

N = F-v = 5000-Ц- = 1 ООО Дж/с = 1 кВт.

§ 83. Работа и мощность силы постоянной величины при вращательном движении твердого тела

Рассмотрим равномерные вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Вращение с постоянной угловой скоро­ стью наиболее часто встречается в технике. Например, при обработке детали на токарном или карусельном станке она вращается равномерно; са­ мые разнообразные режущие ин­ струменты: фрезы, сверла, раз­ вертки, машинные метчики, абразивные круги и т. д. — при определенной настройке станков тоже вращаются с постоянной угловой скоростью.

при вращательном движении любого тела нужно рассмат­ ривать только составляющие сил, действующие по касатель­ ной к окружности, например силы резания, действующие на обрабатываемую деталь со стороны инструмента в направ­ лении, касательном к окружности, или силы, которые мы прикладываем к рукояткам и штурвалам при управлении

205

станком (рис. 124). В дальнейшем индекс «т» для сокращения записей будем опускать, а составляющую силу в этом направ­ лении просто обозначать F и называть окружным усилием.

Теперь вспомните, как связаны между собой линейные перемещения 5 любой точки вращающегося тела и его угло­ вое перемещение <р, линейная скорость v той же точки и угло­ вая скорость со (см. §50 и 51). Величина линейного перемеще­ ния равна 5 = гср и величина линейной скорости v = гсо.

F

Рис. 124. Составляющие сил, действующие по ка­ сательной к окружности

Напомним, что здесь угловое перемещение ср измеряется в радианах, а угловая скорость со в радианах в секунду. Учитывая сказанное, определим работу А и мощность N силы F при вращательном движении твердого тела:

A=F-S = Fry и N = ~ = F-v = Frw.

В оба выражения входит произведение величины силы F на радиус г. Так как радиус г является длиной перпенди­ куляра, опущенного из точки О пересечения оси с плоско­ стью на линию действия силы F, то величина F • г является моментом силы F относительно оси вращения О: М = Fr.

206

В системе единиц СИ момент М силы измеряется в нью­ тон-метрах (Н -м), угловое перемещение ф в радианах и угло­ вая скорость со в рад/с. Так как радиан — это название от­ носительной меры угла, не имеющей размерности, то из формулы (64) следуют единицы измерения работы 1 Н -м = = 1 Дж и мощности:

l i Lсi L ^ i Jс* = i Вт.

Другого результата и нельзя было ожидать, так как по­ нятия работы и мощности являются общими для любых ме­ ханических движений: и поступательного, и вращательного.

В книгах и учебниках вы часто встретите самые разнооб­ разные формулы для определения момента силы М, работы А и мощности N, включающие различные числовые коэффи­ циенты. Например, очень широко распространены следую­ щие формулы: для момента силы (вращающего момента)

М = 7\ 6 2 0 ^ кГ-см и для мощности N = ^ ^ n . c .

Чем отличаются эти формулы от формул (64)? Каким об­ разом они получены? Для ответа на эти вопросы выполним следующие преобразования.

Вращающий момент М — ~ . Причем единицы измерения

величин, входящих в эту формулу, должны быть приняты обязательно в одной системе единиц. Пусть мы измерили мощность в лошадиных силах: N л. с , угловую скорость со выразили через частоту вращения п в оборотах в минуту.

207

Следовательно, эта формула для определения вращаю­ щего момента носит частный характер: она применима только в тех случаях, когда мощность N измерена в л. с , п в обо­ ротах в минуту и вращающий момент М в кГ -см.

измерена в л. с , п в оборотах в минуту и вращающий момент

М в кГ-м.

Вы уже заметили, что вид формулы зависит только от выбранных единиц измерения той или иной величины. По­ этому во всех случаях — ив теории, и на практике — нужно стремиться использовать основные формулы для любых физических величин, например: А = Мц>, N = Мсо, 5 =

Величина вращающего момента при обработке наружной поверхности заготовки

М х = Р •/-! = 900 • 0,075 = 67,5 Н • м. Соответствующая мощность резания

N 1 = M1cu = 67,5 -31,4 = 2120 Вт = 2,12 кВт.

2- Величина вращающего момента в конце обработки торца М 2 = Р-/-2 = 900-0,04 = 36 Н - м .

Соответствующая мощность резания

iV 2 =M ? cu = 36-31,4=1130 Вт = 1,13 кВт,

208

и скорость резания

и2 = га<в = 0,04-31,4= 1,26 м/с = 75,6 м/мин.

3. Число оборотов шпинделя за время обточки наружной по­ верхности при длине В = 100 мм

Работа резания при обтачивании наружной поверхности детали Л=Л11 ср = 67,5- 1256 = 84 780 Д ж = 84,78 кДж .

§84. Упражнения и вопросы для повторения

1.На продольно-строгальном станке обрабатывается поверхность детали, имеющая длину 2500 мм. Перемещение стола при каждом ходе равно 2800 мм. Продолжительность рабочего хода равна 8 секундам и холостого хода 6 секундам. Сила резания равна 5 кН, а сила сопротив­ ления движению стола не изменяется с течением времени и остается равной 800 Н. Определите работу, совершаемую станком во время ра­ бочего хода и во время холостого хода. Чему равна расходуемая мощ­ ность в промежуток времени, когда совершается резание, и в остальные промежутки времени?

3.На валу электродвигателя закреплен шкив ременной передачи диаметром 200 мм. Шкив тянет ремень с силой 500 Н, а сбегающая часть ремня натянута силой 200 Н. Частота вращения вала двигателя равна 2950 об/мин. Определите работу, совершаемую указанными си­ лами при повороте шкива на один оборот. Найдите мощность, разви­ ваемую электродвигателем.

4.На барабан лебедки, имеющий диаметр 500 мм, наматывается канат, к которому подвешен груз массой 2000 кг. Барабан поворачива­

отталкивания, длящегося 0,5 секунды, его центр тяжести проходит над планкой на высоте 2,2 м? Масса легкоатлета равна 70 кг.

6.Что называют механической работой?

7.Какие единицы измерения работы вы знаете?

8.Чему равна работа равнодействующей двух сил, действующих на движущееся тело, если одна сила направлена в направлении пере­

мещения тела, а другая перпендикулярна к нему?

9.Что называют мощностью?

10.Какие единицы измерения мощности вы знаете?

209