книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие
.pdfв окрестности точки Л, а на все другие элементы внешние силы не действуют. Поэтому сумма произведений касатель ных составляющих внешних сил FTi на радиус г, равна про изведению касательной составляющей FT внешней' силы на радиус гА точки Л, т. е.
£ ^ т « • П = F.t • гА.
Согласно третьему закону Ньютона каждой силе «дейст вия» jfTi на данный малый элемент всегда имеется сила его «противодействия» —/'т ; на все другие элементы. Обе силы равны по величине и противоположны по направлению: /т г = —/'„•. Умножив обе силы на радиус г,-, получим «момент действия» и «момент противодействия» внутренних сил, рав ные по величине и направленные в противоположные сто роны. Поэтому, когда мы сложим эти моменты для всех малых элементов тела, то в сумме они компенсируют друг
друга, т . е . |
-г^ = 0. Учитывая |
сказанное, напишем |
|
равенство: |
|
|
|
|
• ГА = |
• |
ari. |
Обратимся'теперь к величине касательного ускорения aTi. Изучая кинематику твердого тела (см. § 51), мы устано вили, что величина касательного ускорения равна произ ведению радиуса, на котором расположен рассматриваемый малый элемент, на угловое ускорение тела: ari = rfi,. Так как величина углового ускорения одна и та же для всех точек твердого тела, то после подстановки ari в формулу можно е вынести за знак суммы как общий множитель:
FT- гА |
= г- ^msf. |
|
Наконец, использовав |
выражение M = F^-rA |
для мо |
мента внешней силы, найдем: |
|
|
М — е- У miff. |
(53) |
|
Что же мы получили в результате? В левой части равенства (53) находится величина М момента внешней силы, или, как
говорят, |
величина в р а щ а ю щ е г о момента. Действие |
на тело |
момента силы является причиной вращения тела. |
В правой части равенства (53) находится величина е угло
вого ускорения твердого тела, характеризующая |
вращение |
|
тела, а именно быстроту |
изменения его угловой |
скорости, |
и величина, равная 2 т , / 1 |
, с которой мы еще не встречались. |
|
Выясним физический смысл этой величины. Для этого на-
J9Q
пишем равенство (53) в другом виде:
f |
= ^mirl |
(53а) |
Теперь вспомним, что |
при изучении второго |
закона |
Ньютона мы установили следующий факт: отношение ~
величины силы F, вызывающей движение тела с ускорением, к величине а этого ускорения было всегда одним и тем же во всех случаях движения тела, когда мы пренебрегали раз мерами и формой тела, т. е. рассматривали его как матери-
альную точку. Причем отношение — характеризовало физи ческое свойство тела—его инертность. И когда мы ввели поня тие массы т тела, как меру инертности тела, то это позволило
F
выразить основной закон механики в виде равенства — = т. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отношение-^- величины момента силы М, вызывающего вра щение тела с угловым ускорением, к величине е этого ускоре ния есть также вполне определенная величина для данного тела, равная Ът^Ь Продолжая аналогию, можно предполо жить, что величина Sm/f должна характеризовать инерт
ность твердого тела при его вращении.
Обратимся к опыту. На валу центробежной машины за крепим массивный диск. На шкив, установленный на этом же валу, намотаем нить. К концу нити привяжем динамометр и потянем его с постоянной силой F (рис. 120). Линия дей ствия силы F проходит от оси вращения на расстоянии, рав ном радиусу шкива г. Поэтому на вал центробежной машины действует постоянный вращающий момент М = F -г. Под действием этого момента вал и диск начнут разгоняться из состояния покоя. Секундомером измерим время tu необ ходимое для достижения определенной угловой скорости со, измеряемой с помощью тахометра.
Затем установим на вал центробежной машины еще один диск, имеющий вдвое большую массу и те же линейные раз меры. Снова будем разгонять систему, потянув динамометр с прежней силой F. Измерим время ?2» которое потребуется для достижения угловой скорости, равной угловой скорости в первом опыте. Сравним время разгона 4 и t2 в обоих опы тах. Мы увидим, что время /2 будет примерно в 2 раза больше времени /х .
Наконец, выполним еще один опыт. Установим на вал центробежной машины диск точно такой же массы, как и в
191
первом опыте, но имеющий наружный радиус в 2 раза боль ший (масса сохраняется за счет уменьшения толщины диска). Измерим время ts при тех же условиях, что и в предыдущих опытах. Время t3 оказывается примерно в 4 раза больше времени tt.
Во всех трех случаях под действием постоянного момента силы происходило равноускоренное вращение. Так как в конце опытов угловая скорость дисков всегда была оди наковой, а время разгона — разным, то это означает, что величины угловых ускорений е изменялись от опыта к опыту.
Рис. 120. Схема опыта с вращающимися дисками
Какие же выводы можно сделать по результатам изме рений? Под действием постоянного момента силы вращаю щиеся тела приобретают угловую скорость не сразу, а посте пенно. Под действием постоянного момента силы разные вращающиеся тела получают разные угловые ускорения. Ве личина углового ускорения зависит от массы вращающегося тела и от его размеров. Все эти факты указывают на то, что вращающиеся твердые тела обладают свойством инертности. Следовательно, опыты подтверждают наше предположение, сделанное выше: величина 2/п/Г/ характеризует инертность твердого тела при его вращении.
Величина |
является мерой инертности вращающе |
|
гося твердого тела. Ее называют м о м е н т о м |
и н е р |
|
ц и и и обычно |
обозначают буквой J. |
|
|
J = £ m,rj . |
(54) |
192
Моментом инерции J тела относительно какой-либо оси вращения называется сумма, составленная из произведений массы mi каждого малого элемента тела на квадрат расстоя ния г,- этого элемента до оси вращения.
Заметьте, что момент инерции тела, являющийся мерой инертности вращающегося твердого тела, зависит не только от его массы, но и от распределения массы в теле относи тельно оси вращения. Другими словами, размеры и форма тела оказывают значительное влияние на его вращательное движение.
Из равенств (53) и.(54) находим:
M = Je. |
• (55) |
Величина момента внешней силы (вращающего момента), приложенного к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту инерции тела относительно этой оси, умно женному на величину углового ускорения тела.
Уравнение (55) называют основным уравнением динамики для вращательного движения твердого тела вокруг непо движной оси. Оно используется при решении задач о враще нии твердых тел.
§ 76. Момент инерции тела
Для решения практических задач о вращении твердых тел нужно знать, в каких единицах измеряется момент инер ции тела, и уметь определить его численное значение. В соот ветствии с определением момента инерции тела и формулой
(54) необходимо, чтобы |
всегда |
выполнялось соотношение: |
|
J единиц момента инерции = |
т единиц массы «(г единиц |
||
длины)2 . |
|
|
|
В СИ имеем основную единицу массы 1кг и основную еди |
|||
ницу длины |
1 м, следовательно, единицей момента инерции |
||
в СИ будет |
величина: |
|
|
1 |
к г - м 2 = 1 |
кг-(1 м2 ); [У] = [кг-м8 ]. |
|
Вычисление момента инерции произвольных тел пред ставляет достаточно сложную задачу. Сравнительно просто вычислить моменты инерции тел вращения. Приведем без доказательства значение моментов инерции тел, эскизы которых показаны на рис. 121.
Момент инерции однородного сплошного круглого ци линдра относительно его оси вращения г (рис. 121, а):
J = \mr\ |
(56) |
7 И. И. Гольдин |
193 |
где т — масса цилиндра; г — наружный радиус.
Момент инерции однородного полого круглого цилиндра
относительно его оси вращения |
z (рис. 121, б): |
|||
|
|
J = |
|
(57) |
где т — масса цилиндра; |
|
|
||
г± |
— внутренний |
радиус; |
|
|
г2 |
— наружный |
радиус. |
|
|
В частном случае, если вся масса сосредоточена на ободе |
||||
(массивный обруч), то гх = |
г2 |
и |
||
|
|
J |
= тг\, |
|
где г2 — наружный радиус обода.
Момент инерции однородного тонкого стержня относи
тельно оси г, перпендикулярной к длине стержня |
и прохо |
||||||||
|
|
|
дящей |
через |
его |
середину |
|||
L |
КУЛ 1 |
У/, |
(рис. |
121, в): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
(58) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
где |
т — масса |
стержня; |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
/ — длина |
стержня. |
||||
|
|
|
Последняя формула |
при |
|||||
|
|
|
меняется для любой формы |
||||||
В) |
|
поперечного сечения стерж |
|||||||
|
ня |
(например, |
|
круглого, |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
треугольного, квадратного) |
||||||
|
|
|
при условии, |
что |
размеры |
||||
|
|
|
поперечного |
сечения |
малы |
||||
|
|
|
по сравнению с его длиной. |
||||||
г) |
|
|
В технических |
справоч |
|||||
Рис. 121. |
Эскизы тел (а — г), |
для |
никах |
приводится |
доста |
||||
которых в тексте приведены значе |
точно много формул для тел |
||||||||
ния |
моментов инерции J |
|
самой |
разнообразной |
фор |
||||
|
|
|
мы. Обычно они |
позволяют |
|||||
определить значение момента инерции тела относительно
оси, |
проходящей через центр тяжести |
тела. |
В то же |
время |
на |
практике встречаются вращения |
тел |
вокруг |
любых |
осей. Приведем без доказательства одну важную для практики формулу, позволяющую определить момент инер ции J тела относительно какой-либо оси, если известен мо мент инерции Ус того же тела относительно оси, проходящей
194
через центр тяжести, при условии, что обе оси параллельны:
|
|
/ = / c + mS2 , |
(59) |
где J |
— момент инерции тела относительно оси вращения; |
||
/ с |
— момент инерции тела относительно оси, проходя |
||
|
щей |
через центр тяжести (относительно централь |
|
|
ной |
оси); |
|
т — масса тела-; |
|
||
5 — расстояние между осью вращения и |
центральной |
||
|
осью. |
|
|
Например, определим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов (рис. 121, г).
Момент инерции тонкого стержня относительно централь ной оси равен в соответствии с формулой (58):
|
/ с |
= уд ml2. |
|
|
Расстояние |
между осями в нашем случае равно |
S = y . |
||
Поэтому искомый момент |
инерции |
j = 1у ml2. |
|
|
J — Jc |
- j - mS2 = |
1j 2 ml2 + m/ (/ у |
|
|
|
|
N 2 |
|
|
Из формулы |
(59) следует, что момент инерции |
/ с тела |
||
относительно оси, проходящей через центр тяжести, меньше, чем момент инерции / того же тела относительно любой дру гой параллельной ей оси.
Для большинства тел, применяемых в машиностроении: коленчатых валов и шатунов двигателей внутреннего сго рания, роторов паровых и газовых турбин, винтов самолетов, деталей часового механизма и многих других — математи ческие методы определения моментов инерции малопри годны, главным образом потому, что они оказываются недо статочно точными. Поэтому моменты инерции тел обычно определяют опытным путем.
§ 77. Вращательное движение тела под действием постоянного вращающего момента
Изучая прямолинейное движение тел под действием по стоянной силы, мы установили, что равнодействующая дви жущих сил и сил сопротивления, действующих на тело, согласно второму закону Ньютона равна произведению
195
массы на ускорение (формула 50а):
^ дв — = та-
По аналогии для вращательного движения тел под дейст вием постоянного момента силы (вращающего момента) напишем:
М д в - М с = ./е. |
(60) |
В этом выражении М д в обозначает движущий вращающий момент, а Мс — момент сил сопротивления. Рассмотрим каж дую из этих величин.Среди моментов сил, действующих на вра щающееся тело, обязательно имеются моменты сил, действую щие в направлении вращения и которые на практике мы соз даем намеренно. Например, со стороны патрона токарного станка, в котором закреплена обрабатываемая деталь, на нее действует вращающий момент. В электродвигателе электро магнитные силы создают вращающий момент, действующий на ротор двигателя. Назовем эти моменты сил движущими вращающими моментами. Причиной их возникновения явля ются процессы в том или ином двигателе. Работа двигателя внутреннего сгорания обеспечивает вращение вала компрес сора, соединенного с ним. Работа электродвигателей позво ляет осуществить вращение обрабатываемой детали или ре жущего инструмента в станках.
В направлении, противоположном вращению тела, дей ствуют моменты сил сопротивления. Для их преодоления мы и создаем различные машины и механизмы, чтобы осущест вить необходимое вращение вала насоса, компрессора и т. д. На вал любого двигателя со стороны вала приводной машины действует момент сил сопротивления. К моментам сил сопро тивления относятся также моменты сил сопротивления той среды, в которой происходит вращение. Например, момент аэродинамических сил, действующих на винт самолета, пред ставляет собой момент сил сопротивления воздуха. На диски рабочих колес гидравлических турбин и центробеж ных насосов действуют моменты сил трения жидкости.
Разность величин движущего вращающего момента и мо мента сил сопротивления представляет собой результирую щий момент внешних сил, который в соответствии с основным уравнением динамики вращающегося тела равен произве дению момента инерции тела на величину углового ускоре ния. Теперь нетрудно сделать практические выводы о враще нии тела в зависимости от величины действующих моментов сил.
196
Если величина движущего вращающего момента больше величины момента сил сопротивления (Л4ДВ > Мс) и с тече нием времени они не изменяются (остаются постоянными), то тело будет вращаться с постоянным положительным угло вым ускорением (е > 0), т. е. равноускоренно. Примером этого служат процессы ускорения всех вращающихся частей станка после включения электродвигателя.
Если величина движущего вращающего момента меньше величины момента сил сопротивления (7ИДВ < Мс ) и с тече нием времени они не изменяются, то тело будет вращаться с постоянным отрицательным угловым ускорением (е <; 0), т. е. равнозамедленно. Вспомните, как постепенно замед ляют скорость вращения винты приземлившегося самолета после выключения двигателей.
Наконец, движущий вращающий момент 7ИДВ в любой момент времени может быть равен моменту сил сопротивле ния Ме (УИДВ = Мс). При этом угловое ускорение отсут ствует (е = 0) и тело вращается с постоянной угловой ско ростью, т. е. равномерно. Равномерно вращаются сверло и фреза в процессе резания, обрабатываемая деталь на токар ном станке, колеса самодвижущихся экипажей при их дви жении с постоянной скоростью и т. д. Во всех этих случаях необходимо действие движущего вращающего момента, на правленного в сторону вращения, именно для того, чтобы преодолеть моменты сил сопротивления, всегда направлен ные в сторону, противоположную вращению.
Общий метод решения практических задач о вращатель ном движении тела под действием постоянного вращающего момента совершенно аналогичен методу решения задач о пря молинейном движении тела под действием постоянной силы (см. § 67). Сущность его заключается в следующем:
необходимо выделить тело, вращение которого рассмат ривается;
выяснить, какие движущие вращающие моменты прило жены к телу;
выяснить, какие моменты сил сопротивления действуют на тело;
найти результирующий момент сил и приравнять его произведению момента инерции тела на угловое ускорение в соответствии с равенством:
М^ — Mz = 1г.
Из этого равенства может быть найдена одна неизвестная величина при определенных (заданных) трех других вели-
197
чинах. Например, известны движущий вращающий момент УИДВ, момент силы сопротивления Мс и угловое ускорение е. Из равенства (60) может быть найдена величина момента инерции тела J. В качестве примера решим следующую задачу.
З а д а ч а 21. Ротор высокоскоростной центрифуги после выклю чения двигателя останавливается под действием момента сил трения, равного 9,81 Н - м . Частота вращения ротора в момент выключения двигателя равнялась 10 ООО об/мин. Момент инерции ротора составляет 0,28 кг - м 2 . Определить время, в течение которого остановится центри фуга.
Перепишем условие задачи в принятых нами обозначениях: М с = 9,81 Н - м ; « = 1 0 000 об/мин;
У = 0,28 к г - м 2 .
После выключения двигателя ротор вращается по инерции, поэтому движущий вращающий момент отсутствует: Мт = 0. Момент сил сопротивления Мс и момент инерции ротора J заданы. Из уравнения (60) находим неизвестную величину углового ускорения в:
е = |
Мдв — Mz |
—9,81 |
7 |
= - ^ = - 3 5 рад/с2 . |
Здесь знак минус показывает, что происходит равнозамедленное вращение (центрифуга останавливается). Из кинематики известно,
СО — С00 , Т
что при равнозамедленном вращении е== —- . Начальная угловая
|
|
пп |
|
я-10000 |
|
скорость ротора со0 |
= -^- = ^——— = |
1047 рад/с, а конечная угло |
|||
вая скорость |
равна |
нулю |
со = 0. |
|
|
Найдем |
время |
остановки ротора |
|
||
|
. |
со0 |
|
1047 |
?99 С « а 5 мин. |
|
t = |
е |
= — — - |
||
|
|
|
—3,5 |
|
|
§ 78. Упражнения и вопросы для повторения
1. Через 0,8 с после включения электродвигателя его ротор разог нался до частоты вращения п = 2900 об/мин.
Определите величину вращающего момента электромагнитных сил, под действием которого происходит разгон ротора. Для вычисле
ний принять, что ротор электродвигателя |
представляет |
однородный |
|
цилиндр диаметром 0,18 м, длиной |
0,3 м |
и средней |
плотностью |
9000 кг/м3 . Вращение считать равноускоренным. |
|
||
2. Маховое колесо имеет массу |
20 кг, наружный диаметр 600 мм |
||
и толщину обода 40 мм. Какой вращающий |
момент нужно |
приложить |
|
к маховику, чтобы он через 30 оборотов разогнался от частоты враще ния 1000 об/мин до частоты вращения 2000 об/мин? Моментом сил сопро тивления пренебречь. Как изменится величина вращающего момента, если маховик выполнить в виде сплошного диска, но прежней массы?
3. В чем состоит основное уравнение динамики для поступательно движущегося тела?
198
4.В чем состоит основное уравнение Динамики для Тела, вращаю щегося вокруг неподвижной оси?
5.Что такое момент инерции тела и в каких единицах он изме
ряется?
Глава двенадцатая РАБОТА И МОЩНОСТЬ
§ 79. Работа силы. Единицы работы
Простые машины (рычаг, блок, ворот, клин и т. д.) были изобретены в древности. По мере их распространения и при менения на практике накапливались многочисленные факты о движении их частей и перемещаемых грузов. Постепенно обнаруживалось замечательное свойство, оказавшееся общим для всех простых машин: перемещение всегда определенным образом связано с силами, развиваемыми машиной. В резуль тате многочисленных наблюдений было сформулировано сле дующее правило: «то, что мы выигрываем в силе, мы проигры ваем в пути». Другими словами, отношение перемещений двух концов простой машины, к которым приложены силы, всегда обратно пропорционально величине сил, приложен ных к этим концам:
I 1 = С2 или FxSx = F2S2-
Чтобы с помощью простой машины увеличить силу F.2 по сравнению с силой Flt необходимо осуществить большее перемещение 5Х точки приложения силы Fx по сравнению
сперемещением S2 точки приложения силы F2.
Вдальнейшем с развитием техники, с появлением все новых и новых машин разного назначения, это правило до полнялось и усложнялось, но всегда подтверждалось основ ное положение о том, что существует определенная зави симость между силами и перемещениями, и всегда оказыва лось, что мерой этой зависимости является произведение силы на перемещение. В механике это произведение рассмат ривается как самостоятельная физическая величина. Она
получила название: р а б о т а с и л ы
A=F-S. (61)
Работа есть произведение силы на перемещение при усло вии, что направление действия силы и направление перемеще ния совпадают.
199