книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

На рис. 88 построены графики, выражающие зависимость скорости уа автомобиля и скорости vM мотоцикла от времени. Момент времени tA, соответствующий точке А пересечения обоих графиков, характеризуется равенством скоростей автомобиля и мотоцикла.

70 tCcl

Рис. 88. Графики, выражающие зависимости скоростей движущихся тел от времени (к решению задачи 11)

З а д а ч а 12. Вертолет находится на расстоянии 110 км по на­ правлению к северу от корабля, с которым он должен встретиться.

120

Направление абсолютной скорости совпадает с направлением век­

тора перемещения S2 вертолета — с севера на юг.

Учитывая, что вектор абсолютной скорости является суммой век­ торов скоростей переносного и относительного движений, выполним их сложение. Переносная скорость равна скорости ветра. Ее величина равна f n e p = 36 км/ч и направлена она с запада на восток.

Величина скорости вертолета относительно перемещающихся масс воздуха

"отн = V"пер + «1бс = К 3 6 ' + 1 3 4 2 = 1 3 9 К М / 4 '

Определяем ее направление:

На рис. 89, б показана диаграмма сложения векторов скорости. Курс вертолета должен пролегать западнее меридиана под углом 156 к нему.

§44. Вопросы для повторения и упражнения

1.Что изучает кинематика?

2.Что такое скорость при равномерном движении и в каких еди­ ницах она измеряется?

3.Что такое мгновенная скорость?

4.Что такое ускорение в направлении траектории и в каких еди­ ницах оно измеряется?

5.Как движутся тела при свободном падении?

6.Как движутся тела, брошенные вертикально вверх с некоторой начальной скоростью?

7.Какое движение называется абсолютным, переносным, относи­ тельным?

8.Как определяются перемещение и скорость двух прямолиней­

121

11. Водитель автомобиля, едущего со скоростью 72 км/ч, нажимает на тормоз таким образом, что машина равномерно замедляется и оста­ навливается через 10 с. Водитель другого автомобиля, едущего со ско­ ростью 54 км/ч, тормозит так, что его машина тоже движется равнозамедленно и останавливается через 20 с.

а) Какой из двух автомобилей пройдет больший путь при тормо­ жении?

б) Постройте график зависимостей скорости, ускорения и пути от времени для обоих автомобилей.

в) На вычерченном графике зависимости скорости от времени добавьте линию, которая будет выражать скорость второго автомобиля,

^— I — ^ новки пройдет при этом второй автомобиль?

12.Стальной шарик уронили на стальную

подачи равномерно перемещают резец в направлении, перпендикуляр­ ном к оси станка, со скоростью 0,005 м/мин. Через 90 с прекращают перемещение резца механизмом поперечной подачи. Еще через 60 с резец отводят от детали. Определите форму поверхности детали, если диаметр заготовки, которую начали обтачивать, был равен 40 мм.

Глава седьмая КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§ 45. Скорость криволинейного движения точки

Мы изучили прямолинейное движение точки. Рассмотрим теперь более сложный вид движения, когда траектория движущегося тела или точки является кривой линией, все точки которой лежат в одной плоскости.

Криволинейное движение часто встречается в природе и технике. По криволинейным траекториям движутся планеты вокруг Солнца. Естественный спутник Земли -—

122

Луна перемещается по круговой орбите, искусственные спутники Земли тоже движутся по криволинейным траек­ ториям.

Подавляющее большинство машин-двигателей и машинорудий имеет вращающиеся детали. Это роторы электро­ двигателей, паровых и газовых турбин, гидравлических турбин, коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания; детали исполнительных механизмов и механизмов, передаю­ щих движение от двигателей к машинам-орудиям (шпиндели металлорежущих станков, зубчатые колеса и валы коробок передач главного движения и механизмов подач), и др. Каждая точка таких деталей перемещается по криволиней­ ной траектории.

Продолжим рассмотрение движения точки М, находя­ щейся на ободе катящегося колеса (см. рис. 78). Как было показано выше, вектор перемещения AS не совпадает с участ­ ком криволинейной траектории, заключенным между на­ чалом и концом вектора AS. Например, путь, пройденный

будет меньше по величине. Разность длины дуги МгМ'.г и хорды MiM'z уменьшится. Продолжая уменьшать величину промежутка времени А/, мы, в конце концов, получим прак­ тическое совпадение перемещения AS с малым участком траектории в окрестности точки Мх. При неограниченном уменьшении промежутка времени направление вектора перемещения AS будет стремиться к направлению каса­ тельной к траектории в рассматриваемой точке в сторону движения (направление МХК на рис. 91). Вспомните, как летят искры при заточке инструмента на абразивном круге. Раскаленные частицы делают видимым направление пере­ мещения. Частицы, вырванные из металла и круга, про­ должают двигаться в направлении перемещения, которое имело место в момент времени, когда произошло мельчай­ шее местное разрушение материала (по касательной к на­ ружной поверхности круга).

Перейдем к определению скорости точки пр_и криволи­ нейном движении. Разделим перемещение AS точки на время А^, в течение которого оно произошло. Отношение

4f- зависит от промежутка времени А^. Если мы будем

123

нейшего дробления промежутка At мы заметим, что отношение -д-р перестает изменяться с уменьшением At. Это произойдет тогда, когда перемещение AS точки за время

At будет очень мало отличаться от участка траектории. При неограниченном уменьшении промежутка времени At величина отношения -д-j- стремится к значению v скорости

точки в данный момент времени, к значению мгновенной скорости. Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения. Поэтому вектор скорости касателен к траектории и направлен в сторону движения точки (рис. 91, б).

Аналогичным образом была определена скорость при прямолинейном движении (см. § 39).

124

На рис. 92 показаны векторы скорости точки М через каждые 0,2 с для колеса, катящегося со скоростью v0 = = 2 м/с.

§ 46. Ускорение криволинейного движения точки

При изучении движения точки М, находящейся на ободе катящегося колеса, мы установили, что величина и направ­ ление ее скорости непрерывно изменялись с течением вре­ мени. Это хорошо видно, если построить векторы скорости, показанные на рис. 92, откладывая их из одной точки.

Получим последовательность векторов, изображенную на

довательных изменения скорости Av будут все меньше и меньше отличаться друг от друга как по величине, так и по направлению (рис. 93, б).

Разделим вектор изменения скорости Av на величину промежутка времени At. Получим новый вектор:

Av

а ^ = ~АТ-

Величина этого вектора показывает, насколько измени­ лась величина скорости за промежуток времени At. Направ­ ление этого вектора совпадает с направлением вектора

126

не будут отличаться друг от друга. Поэтому среднее уско­

всегда совпадает с направлением вектора изменения ско­ рости Av.

Обратите внимание на полученный существенно новый, очень важный результат: вектор ускорения не обязательно направлен по траектории. Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости Av,

Рис. 94. Составляющие вектора изменения скорости Av при криволи­ нейном движении в случае увеличения (а) и уменьшения (б) скорости

а не скорости v. Другими словами, изменение направления скорости означает, что точка движется с ускорением. Даже в том случае, когда точка движется с постоянной по вели­ чине скоростью, но по криволинейной траектории, она имеет ускорение.

Из рис. 93 хорошо видно, что вектор Av образует неко­ торый угол с направлением движения (с направлением ско­ рости у). Представим вектор изменения скорости Ад в виде двух составляющих: Дут в направлении скорости и Дун в направлении, перпендикулярном к скорости.

На рис. 94, а, б, показаны векторные диаграммы для произвольного криволинейного движения за малый про­ межуток времени А^ . Составляющую вектора изменения скорости в направлении движения обозначим Avr, а состав­ ляющую в направлении, перпендикулярном к скорости, обозначим Ava. Согласно правилу сложения векторов имеем:

Av = А У Т + А У Н .

127

По определению среднего ускорения точки за промежу­ ток времени At можно написать:

диаграммы скорости по рис. 94, а сплошными линиями —

совпадает с направлением Аит , а направление вектора а с р . н —

ния. Направление вектора ат совпадает с направлением изменения скорости Аух за очень маленький промежуток времени. В свою очередь, вектор Айт может быть направлен или по скорости v в направлении движения (см. рис. 94, а),

128

или против скорости v в сторону, обратную движению (см. рис. 94, б). Вспомните также, что скорость v в данный момент времени всегда направлена по касательной к траек­ тории в сторону движения и через время At изменяется на

скорости с течением времени увеличивается и точка вдоль траектории движется ускоренно (рис. 95, а). Если направ­ ления а т и скорости v противоположны, то величина ско­ рости с течением времени уменьшается и точка вдоль траектории движется замедленно (рис. 95, б).

стремится к составляющей а„ мгновенного ускорения. Направление вектора а н совпадает с направлением изме­

ной к траектории. Поэтому составляющая вектора ускоре­

Линию, перпендикулярную касательной к кривой и проведенную через точку касания, в математике называют

сущность ускорения а н . Так как вектор скорости совпадает по направлению с касательной к траектории движения, то нормальная составляющая ускорения всегда должна быть направлена в ту сторону, куда поворачивается касатель­ ная, т. е. внутрь траектории. С этой стороны траектории находится точка О — центр, из которого можно провести дугу, практически совпадающую с траекторией на очень маленьком участке в окрестности точки М (рис. 96).

Полное ускорение а точки при криволинейном движении найдем суммированием составляющей вектора в направле­ нии траектории ат и составляющей вектора в нормальном