книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

нием Л 2 В 2 (рис. 106, а). Вместе с поворотом отрезка на угол ф поворот на тот же угол и вокруг той же оси совер­ шают и все точки тела. Следовательно, любое плоское перемещение тела можно рассматривать как результат двух перемещений: поступательного и вращательного. Отметим, что разложение результирующего перемещения на поступательное и вращательное не однозначно. Если мы изменим величину поступательного перемещения, то изме­ нится при этом и положение оси, вокруг которой необходимо

поворот отрезка на угол ср, а затем осуществить его посту­ пательное перемещение (рис. 106, г). Следует обратить внимание на то, что во всех этих случаях не изменяется величина угла ср, на который нужно повернуть отрезок Л 1 Б 1 до совмещения с Л 2 б 2 . Так как угловое перемещение тела остается одним и тем же, то и угловая скорость при повороте тела является общей кинематической характери­ стикой для всех точек тела, движущегося плоскопарал­ лельно.

Таким образом, любое плоское движение тела можно различными способами представить как сумму двух дви­ жений: поступательного и вращательного. Будем рассмат­ ривать поступательное движение тела как переносное движение относительно неподвижной системы отсчета. Пусть оно происходит с некоторой скоростью VA, равной скорости некоторой точки А тела. В соответствии со ска­ занным выше мы можем рассматривать вращательное дви­ жение тела относительно оси, проходящей через выбранную точку А. Вращательное движение является относительным. Оно происходит вокруг оси, движущейся поступательно. Теперь мы можем найти скорость любой другой точки тела, воспользовавшись сложением переносной и относительной

скоростей (см. § 42): 0 а б с = 0 п е р + 0 т н . Выберем точку В

тела и обозначим ее скорость VB- Эта скорость точки В относительно неподвижной системы отсчета является абсо­ лютной скоростью. Переносная скорость точки В равна скорости VA- Так как одновременно точка В вращается вокруг оси, проходящей через точку А, то ее относитель­ ная скорость VBA равна линейной скорости вращения. Следовательно, скорость произвольной точки В тела можно найти, сложив векторы скорости VA И VBA (рис. 107): Юв =

= VA + VBA.

150

Скорость любой точки твердого тела в каждый данный момент времени есть сумма векторов двух скоростей: ско­ рости другой произвольно выбранной точки и линейной скорости вращения, первой (рассматриваемой) точки отно­ сительно второй.

Выполним следующий опыт. На валу миниатюрного электродвигателя установим белый диск с черными метками. Электродвигатель с диском поместим на тележку, которая может перемещаться по рельсам (рис. 108, а). При одновре­ менном движении тележки и вращении диска каждая его точка движется со скоростью, равной сумме скорости поступательного движения те­ лежки и линейной скорости, обусловленной вращением дис­ ка вокруг оси электродвига­ теля.

Рассмотрим, например, точки диска, находящиеся в данный момент времени на вертикальной линии АВ. Ско­ рости поступательного движе­ ния одинаковы для каждой точки отрезка АВ (рис. 108, б). Линейные скорости вращения для точек этого же отрезка показаны на рис. 108, в. Скла­

дывая указанные векторы скорости для каждой точки,

вращательного движений равны по величине, но противо­ положны по направлению, абсолютная скорость (относи­ тельно неподвижного наблюдателя) равна нулю. Непод­ вижный наблюдатель видит, что суммарное движение диска

Все остальные точки диска имеют конечную скорость. Глаз воспринимает слившиеся следы в виде окружностей с цент­ ром в точке Оъ которая не размывается (рис. 108, д).

Из этого опыта можно сделать следующий вывод. Любое плоскопараллельное движение тела в каждый рассматри­ ваемый момент времени есть вращение вокруг оси, прохо­ дящей через точку, абсолютная скорость которой в данный

151

ской фигуры, через которую проходит ось, — м г н о ­ в е н н ы м ц е н т р о м с к о р о с т е й .

Мгновенная ось вращения перемещается вместе с телом. Каждому моменту времени (мгновению) соответствует свое положение мгновенного центра скоростей и свое положение мгновенной оси. Например, в рассмотренном опыте мгно­ венная ось перемещается вместе с тележкой. При увеличе-

г)

Рис. 108. Плоскопараллельное движение диска:

а — схема опыта, б — скорости поступательного движения, в — линейные скорости вращения, г — результирующие скорости, д — видимые следы при

движении диска

нии скорости тележки увеличивается скорость поступатель­ ного движения и мгновенная ось вращения, проходящая через мгновенный центр скоростей О,, удаляется от центра О, через который проходит ось вращения ротора электро­ двигателя. Относительно неподвижного наблюдателя диск вращается вокруг оси, проходящей через точку Оъ а отно­ сительно подвижного наблюдателя (сидящего на тележке) диск вращается относительно оси, проходящей через точ­ ку О. При некоторой скорости тележки мгновенная ось может уйти за пределы диска. Тогда ни одна точка диска не будет иметь скорости относительно неподвижного наблю-

152

дателя, равной нулю. Все точки диска будут описывать окружности с центром, лежащим вне диска. При этом сам центр будет по-прежнему перемещаться со скоростью поступательного движения тележки.

§54. Задачи с решениями

За д а ч а 14. Шлифовальный круг приводится во вращение эле­ ктродвигателем с частотой вращения 2950 об/мин. Известно, что по усло­ виям прочности максимальная окружная скорость не должна превы­ шать 30 м/с для кругов на керамической связке. Круги какого диаметра можно применить в этом случае?

По условиям задачи известны окружная скорость шлифовального круга и его частота вращения. Неизвестным является наружный диа­ метр круга. Из формулы (40) находим:

резания для материала резца равна 100 м/мин. Определите частоту вращения шпинделя станка. Чему равна скорость резания после того, как обработана половина площади поверхности торца?

вращения ведущих колес и опорных катков, если трактор идет со ско­ ростью 13 км/ч.

Скорость точек гусениц трактора, соприкасающихся с Землей, равна нулю, так как гусеницы не проскальзывают относительно Земли. Поэтому мгновенные центры скоростей находятся на прямой АВ, сов­ падающей с поверхностью Земли. Через точки этой прямой проходят мгновенные оси вращения и ведущих колес, и катков. Кроме того, из­ вестна скорость поступательного движения трактора, а значит и осей,

153

вокруг которых вращаются ведущие колеса и катки:

Зная положение мгновенных осей вращения и скорость поступа­ тельного движения трактора, находим угловые скорости вращения щ ведущих колес и ш2 катков:

-Он

§55. Упражнения и вопросы для повторения

1.Барабан ленточного конвейера диаметром 500 мм вращается, совершая 40 об/мин. Длина ленточного конвейера равна 100 м. Сколько времени продолжается транспортировка груза?

2.Чему равна окружная скорость пластинки, установленной на проигрывателе, если ее диаметр равен 200 мм, а частота вращения 33,3 об/мин?

3.С какой частотой вращается шпиндель фрезерного станка, если

угловая скорость и угловое ускорение через 10, 20 и 30 с? Сколько оборотов сделает ротор за 15 и 30 с? Найдите скорость и ускорение точки, лежащей на наружном диаметре абразивного круга, равном 400 мм, в конце 25-й секунды. Начертите в масштабе найденные векторы скорости и ускорения.

5. Для опыта, показанного на рис. 108, а, найдите скорости и ускорения точек диска, расположенных на расстоянии 100 мм от оси

154

Раздел третий

ДИ Н А М И К А

Глава девятая ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

§56. Задачи динамики

Вкинематике любое движение рассматривается по за­ конам геометрии с учетом времени движения. Теперь наша задача заключается в изучении причин движения или при­ чин изменений в характере движения. Для решения подоб­ ных задач понадобятся не только те закономерности, ко­ торые были изучены в статике и кинематике, но и ряд новых закономерностей и физических понятий.

Мы знаем, что всякое движение относительно, т. е. дви­ жение тела рассматривается относительно других тел, обра­ зующих систему отсчета. Нам также известно, что одно и то же движение выглядит совершенно по-разному, если его рассматривать относительно разных систем отсчета. Поэ­ тому и причины, вызывающие изменения движения, могут быть объяснены по-разному.

Мы всегда' стремимся выбрать такие системы отсчета, чтобы все явления и причины, их вызывающие, можно было объяснить возможно проще. К таким системам отсчета от­ носятся системы, связанные с теми или иными предметами на Земле. В большинстве задач динамики, с которыми стал­ киваются в технике, целесообразно применять систему от­ счета, неподвижную относительно Земли. Ее мы и будем использовать в дальнейшем.

§ 57. Величина сил и ускорений

Выясним, как зависит величина силы, действующей на тело, от величины ускорения, сообщаемого телу этой си­ лой. Мы знаем, что величина ускорения, сообщаемого телу, тем больше, чем больше действующая на него сила. Ускорение частиц металла в момент удара молотом по за­ готовке и последующие деформации будут больше при более сильном ударе. Быстро изменяющиеся по величине и направлению ускорения приводят к вибрациям, колебаниям режущего инструмента и самого станка, становятся больше с увеличением глубины резания и подачи инструмента, т. е.

156

с увеличением силы резания. Однако качественного сужде­ ния (больше или меньше) о зависимости величины ускоре­ ния от величины действующей силы для практических целей недостаточно. Нужно установить общую закономер­ ность, позволяющую найти численные значения сил и уско­ рений при решении любой практической задачи. Эта законо­ мерность может быть установлена только опытным путем. Для наблюдений можно выбрать какие угодно физические явления или технические случаи, когда происходит изме­ нение механического движения под действием силы. Обяза­ тельным условием всех проводимых опытов должен быть вы-

Ь1/77

Рис. 110. Установка для опытного определения зависимости величины ускорения от величины силы

бор не зависимых друг от друга способов измерения уско­ рений и сил. Это означает, что для определения величин силы и ускорения должны быть применены разные приборы или устройства.

На рис. ПО показана тележка, катящаяся по рельсам с малым трением под действием силы натяжения нити. Нить перекинута через блок и к ней прикреплен груз. Сила притя­ жения груза к Земле приводит в движение всю систему: тележку, нить и груз. Для измерения величины силы между нитью и тележкой установлен динамометр. Для измерения ускорения применяют устройство, состоящее из отметчика времени и бумажной ленты, прикрепленной к тележке и проходящей через отметчик времени. В качестве отметчика времени можно использовать, например, электрический зво­ нок, молоточек которого будет периодически ударять по ленте, оставляя на ней метки.

157

Если отпустить тележку, то она начнет двигаться с уско­ рением. Наблюдая показания динамометра при движении тележки, обнаружим, что оно не изменяется. Величина силы F, действующей на тележку, постоянна. Направление силы тоже не изменяется, так как она действует вдоль нити. Направления действия силы и ускорения совпадают. Про­ межутки времени t между ударами молоточка по ленте можно установить заранее, сосчитав количество ударов за некоторое время, измеренное с помощью секундомера. Пе­ ремещения S тележки за различные промежутки времени t измерим линейкой, используя метки, оставленные молоточ­

(см. § 41). Величину ускорения а найдем из формулы (29г):

Теперь, зная как можно определить ускорение, проведем несколько опытов. Будем подвешивать к концу нити раз­ личные грузы. Каждый раз на тележку будет действовать другая сила. Для каждого случая определим величину силы Fi, F2, Fs, ... и соответствующую величину ускорения #i> а-ъ аз, ••• Разделим величину силы F на величину уско­ рения а, измеренные в каждом опыте, и сравним получен­ ные результаты. Оказывается, что получаются следующие равенства:

т. е. величины сил и ускорений прямо пропорциональны. Во сколько раз изменяется сила, во столько же раз изме­ няется ускорение. Проводя опыт тщательно и аккуратно,

мы однако будем получать каждый раз числа ~ , несколько

отличающиеся друг от друга. Это объясняется тем, что при опытах не учитывается ряд факторов, сопутствующих дви­ жению: трение колес тележки о рельсы, трение в блоке, проскальзывание нити в желобке блока и т. д. Чем меньше влияние указанных факторов, тем точнее будет результат.

Какие бы опыты мы ни выполняли с телами, движущи­ мися с ускорениями, всегда получится один и тот же резуль­

158

Теперь возникает вопрос: от чего зависит отношение ве­ личии сил и ускорений для данного тела? Для ответа на него нам необходимо познакомиться с понятием массы тела.

. § 58. Масса тела

Рассмотрим случай действия силы определенной вели^ чины на разные тела. Для этого опять обратимся к опыту, схема которого показана на рис. ПО. Положим на тележку произвольное тело, а на конец нити, перекинутой через блок, повесим такой груз, чтобы показание динамометра не изменилось по сравнению с каким-нибудь ранее рассмот­ ренным случаем. Измеряя в таком видоизмененном опыте возникающее ускорение, мы увидим, что его величина будет меньше, чем в том случае, когда та же сила действо­ вала на тележку без положенного на нее тела. Проведя серии опытов, аналогичные только'что рассмотренному опыту, мы убедимся в следующем: разные тела (пустая тележка и тележка с дополнительными грузами) при воздействии одной и той же силы получают разные ускорения.

Теперь обратим внимание на то, как мы проводили опыт с тележкой. Тележка была неподвижна, пока проводилась подготовка к опыту (например, ее придерживали руками). После того как все подготовительные операции были закон­ чены (подвешен груз, закреплена бумажная лента, пущен отметчик времени и т. д.), тележку отпускали. Тотчас же, в первое мгновение, возникало ускорение в системе, а ско­ рость продолжала оставаться равной нулю (тележка еще неподвижна). Чтобы тело достигло некоторой скорости, действие силы должно продолжаться в течение некоторого промежутка времени. Заметим, что в течение этого же про­ межутка времени и ускорение, и сила не изменились, оста­ вались постоянными. Другими словами, под действием силы тело приобретает или изменяет скорость не сразу, а посте­ пенно. Это свойство называют инертностью тела. Свойство инертности непосредственно следует из того факта, что сила определяет ускорение (а не скорость!) тела.

Рассматривая проведенный опыт, мы ничего не говорили ни об объеме тела (тележки, дополнительного груза), ни о материалах, из которых могут быть сделаны тела, ни о ко­ личестве самих тел (например, о количестве дополнительных грузов, положенных на тележку). Они могут быть любыми. Также и условия взаимодействия тел не играют никакой роли. Поэтому остается единственная возможность объяс-

159