книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие
.pdfнить свойство |
инертности |
тела — количеством |
вещества, |
|
из которого оно состоит. |
|
|
||
Меру |
инертности тела |
называют массой и |
обозначают |
|
обычно |
буквой |
т. |
|
|
Итак, масса тела есть его характерное физическое свой ство, определяющее соотношение между действующей на это тело силой и сообщаемым ею телу ускорением.
Массу тела можно определить только опытным путём. Для определения массы нужно измерить величину силы F
и величину ускорения а и найти их отношение ~ . Однако
такое определение массы довольно трудоемко и требует большой затраты времени. Поэтому в практической дея тельности для определения массы тела применяют способ сравнения масс. Сущность этого способа будет рассмотрена в § 66.
§ 59. Второй закон Ньютона
Выполнив опыты с действием сил на тело, мы установили пропорциональность между величиной силы F, действую щей на данное тело, и величиной ускорения а, которое эта сила сообщает данному телу.
Масса тела была найдена как отношение величины силы к величине ускорения а:
т = - . |
(46) |
а |
4 ' |
Во время опытов было также установлено, что всегда направление ускорения совпадает с направлением дейст вующей силы. Масса тела является скалярной величиной. Численное значение массы полностью характеризует инерт ность тела. Поэтому формулу (46) можно переписать в более общем виде, учитывая, что сила и ускорение являются век торными величинами:
F = m-a. |
(47) |
В этом выражении F — равнодействующая всех сил, действующих на данное тело, т — масса тела, а — уско рение, получаемое данным телом под действием силы F.
Равенство (47) выражает основной закон движения, ко торый называют в т о р ы м з а к о н о м Н ь ю т о н а .
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на создаваемое этой силой ускорение, причем направ ления силы и ускорения совпадают. Второй закон Ньютона
160
является обобщением многочисленных наблюдений движе ния различных тел.
Все задачи динамики могут быть объединены в две боль шие группы. К первой группе относятся случаи, когда тре буется по известным силам найти ускорение тела и опреде лить его движение (скорость и перемещение). Ко второй группе относятся случаи, когда по известному ускорению (по известному движению тела) нужно отыскать сумму дей ствующих на него сил.
§ 60. Единицы массы. Единицы силы
Второй закон Ньютона мы сумеем применить на прак тике только тогда, когда условимся о единицах измерения массы т, силы F и ускорения а. Основной единицей ускоре ния а является 1 м/с2 , которая определяется через эталон длины 1 м и эталон времени 1 с. Остается выбрать единицы измерения массы т и силы F. Мы можем условиться о еди нице массы т, выбрав за эталон массу определенного тела, и найти единицу силы F в соответствии с формулой (46): F единиц силы = т единиц массы -а единиц ускорения.
Другая возможность заключается в том, что можно вы брать эталон силы F и определить единицу массы т в соот ветствии с формулой (46):
F единиц силы т единиц массы: а единиц ускорения
При этом желательно не увеличивать число эталонов, тщательно сберегаемых Международным бюро мер и весов.
Высказанные соображения реализуются следующим об разом. В настоящее время в науке и технике считается целе сообразным выбрать за единицу массы массу' специальной
гири-эталона, о которой было рассказано в § 3. |
Массу ука |
занного эталона называют к и л о г р а м м о м |
м а с с ы |
и обозначают кг в отличие от единицы силы — килограммасилы, обозначаемого кГ (или кгс).
Нужно запомнить, что определения единицы массы 1 кг и единицы силы 1 кГ, которые и называются почти одина ково:' килограмм-масса и килограмм-сила, основаны на совершенно различных механических свойствах одного и того же тела (гири-эталона). Единица массы 1 кг опреде ляется как мера инертности гири-эталона, т. е. как ее способность получать те или иные ускорения под действием различных сил. Единица силы 1 кГ определяется как сила
6 И. И. Гольдин |
161 |
притяжения к Земле той же гири-эталона, т. е. как мера взаимодействия Земли и эталона.
Таким образом, теперь в нашем распоряжении для практического использования имеются эталон массы — килограмм (кг), эталон длины — метр (м) и эталон вре мени — секунда (с). При таком выборе единиц массы, длины и времени единица силы определяется на основании второго закона Ньютона:
Fединиц силы = т единиц массы-а единиц ускорения. Отсюда видно, что единицей силы служит такая сила,
которая, действуя на тело массой 1 кг, сообщает ему уско рение 1 м/с2 . Эту единицу силы называют н ь ю т о н о м (сокращенное обозначение Н):
1 Н = 1 кг • 1 м/с2 = 1 кг • м/с2 .
Из сказанного выше также следует, что издавна при меняемая в технике единица силы 1 кГ требует введения другой единицы массы, отличной от 1 кг и равной на осно вании второго закона Ньютона:
1 кГ _ j кГ • с2
мм
с2
Между различными единицами силы и массы сущест вуют следующие соотношения, доказательство которых мы несколько отложим (см. ниже § 66):
1 Н = 0,102 кГ; 1 кГ = 9,81 Н; 1 кг = 0 , 1 0 2 ^ - а ;
§ 61. Системы единиц
Законы механики обычно представляют в виде формул. Выполняя в соответствии с этими формулами математические действия над числен ными значениями силы, массы, ускорения, всегда нужно помнить о том, в каких мерах, в каких единицах выражено соответствующее численное, значение. Или, как говорят, нужно всегда придерживаться
одной системы единиц. Например, используя формулу а = - — - , мы
должны измерять силу в Н и массу в кг или силу в кГ и массу в кГ - с2 /м, чтобы получить ускорение а в м/с2 . Конечно, грубой ошибкой будет, если измерять силу F в кГ и массу т в кг. Этим мы произвольно нару шаем физический смысл закона механики, выраженного в виде фор мулы. В практической деятельности поступают следующим образом. В настоящее время в науке и технике вводится Международная система единиц — СИ. Ее обозначение СИ составлено из начальных букв Sisteme International — система Международная. Она представляет
162
основу для практических измерений всех физических величин, встре чающихся в различных отраслях науки и техники. В системе СИ в ка честве основных механических единиц выбраны: единица массы 1 кило грамм (кг), единица длины 1 метр (м) и единица времени 1 секунда (с). Причем для каждой из них существуют специальные эталоны. Все остальные механические единицы, например: единицы скорости, уско
рения, силы — являются произвольными и образуются из |
основных |
|||||
в соответствии |
с физическими |
законами или зависимостями. Напри |
||||
мер, единица |
силы 1Н в соответствии со вторым законом |
Ньютона |
||||
равна 1 к г - 1 м / с 2 = 1 |
кг-м/с2 ; единица |
скорости в соответствии с оп |
||||
ределением скорости |
1 м/1 |
с = |
1 м/с |
и т. д. |
|
|
В технике |
до сих пор |
широко распространена система |
МКГСС, |
в которой в качестве основных единиц выбраны: единица силы 1 кГ,
единица |
длины 1 м и единица времени 1 с. Само название |
системы |
||||||||
МКГСС |
расшифровывается |
так: |
М — метр, |
КГС — килограмм-сила, |
||||||
С — секунда. Все остальные механические |
единицы |
тоже |
являются |
|||||||
производными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В заключение отметим, что каждая из этих систем единиц: и уни |
||||||||||
версальная |
система СИ, |
и МКГСС — пригодна |
и для |
научных, |
и для |
|||||
технических |
расчетов. |
Использование той |
или |
иной |
системы |
может |
||||
дать практические удобства, но никаких |
принципиальных |
преиму |
||||||||
ществ одна |
система перед |
другой |
не имеет. |
|
|
|
|
|
Глава десятая ОСНОВЫ МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 62. Динамика материальной точки
Начнем рассмотрение практических приложений общих законов движения с изучения движения наиболее простого объекта— материальной точки. Напомним, что материальной точкой называется такое материальное тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной за дачи. В дальнейшем мы будем принимать за материальную точку не только тело очень маленьких размеров, но и иногда тело конечных размеров. Например, при поступательном движении тела все его точки движутся одинаково. В этом случае для определения движения тела достаточно знать движение какой-либо одной его точки, в частности центра тяжести тела.
При криволинейном движении тела оно может быть при нято за материальную точку только в тех случаях, когда нужно найти лишь движение центра тяжести тела. Напри мер, случаи движения искусственного спутника Земли по орбите, детали на повороте подвесного транспортера, само движущихся экипажей по закругленному пути и т. п.
В настоящей главе мы будем говорить о телах только как о материальных точках.
6* |
163 |
§ 63. Импульс тела
Попробуйте метнуть спортивный диск и диск точно та ких же размеров, но выполненный из дерева. Заставить двигаться спортивный снаряд значительно труднее. Для того чтобы вывести менее массивный диск из состояния покоя и придать ему такую же конечную скорость, как и спортивному диску, тоже выведенному из состояния покоя, бросок должен быть либо менее сильным, либо менее дли тельным. Взаимодействие любых движущихся тел харак теризуется как величиной силы, так и временем ее^действия.
Приложим к телу массой т постоянную силу F. Как мы
знаем, |
результатом |
действия |
будет |
постоянное |
ускорение |
||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а тела: й = ~ - Пусть в начальный |
момент времени |
t0 |
ско |
||||||||
рость |
тела была v0, |
а |
в момент |
времени |
/ она |
станет |
рав |
||||
ной V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно определению |
ускорения имеем (см> § |
40): |
|||||||||
|
|
— |
Av |
_ v — й 0 |
|
|
|
|
|||
или |
|
а |
~ |
At |
'~~ |
Т^Га |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
V — vn |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
m |
|
t — |
t0' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
mv—mv0 |
= F-(t — t0). |
|
|
|
(48) |
|||||
Произведение mv массы m тела на его скорость v назы |
|||||||||||
вается |
и м п у л ь с о м |
(или |
количеством |
движения) |
тела. |
В левой части формулы (48) находится разность импульсов (количеств движения) тела mv в конце и mv0 в начале про
межутка |
времени t — |
|
t0. В правой части находится произ |
|||||||||
ведение |
силы F на величину промежутка времени |
t — |
t0. |
|||||||||
Это |
произведение' называется |
и м п у л ь с о м |
|
с и л ы . |
||||||||
Таким |
образом, мерой |
взаимодействия |
движущихся |
тел |
яв |
|||||||
ляется |
изменение импульса тела |
под действием |
постоянной |
|||||||||
силы, |
равное импульсу |
силы. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Формула (48) выражает закон изменения импульса тела. |
||||||||||
|
Для |
тех |
случаев, |
когда сила |
F не остается |
постоянной |
||||||
с течением |
времени, |
формула (48) остается справедливой, |
||||||||||
но при |
следующем важном условии: промежутки |
времени |
||||||||||
t |
|
t0 |
должны быть настолько малы, чтобы сила не успела |
|||||||||
заметно |
измениться ни по величине, ни по направлению. |
|||||||||||
|
—Импульс тела mv является векторной величиной, так |
|||||||||||
как |
масса — это скаляр, а скорость |
v — вектор. Размер- |
164
ность импульса тела в СИ: [mv] = [кг-м/с], а импульса силы: [F-Atj = [Н-с]. При этом очевидно, что [Н-с] = = [кг-м/с]. Знание скорости позволяет судить о том, как быстро и в каком направлении движется тело. Это только кинематическая характеристика движения. Знание им пульса тела (количества движения) определяет произведе ние силы на промежуток времени, в течение которого дей ствовала сила, и, кроме того, указывает направление дви жения. Импульс тела представляет динамическую харак теристику движения тела, т. е. связан с причинами, вызы вающими изменение его движения.
Для прямолинейного движения тела формулу (48) мож но написать в алгебраическом виде:
mv — mv0 — F(t — tQ), |
(48а) |
так как в этом случае направления векторов скоростей и силы совпадают.
§ 64. Закон сохранения импульса (количества движения)
В динамике очень часто встречаются задачи, в которых необходимо рассмотреть одновременно (в течение одного и того же промежутка времени t — t0) движение нескольких тел. Таковы, например, задачи о полете диска и перемеще нии спортсмена после выполнения броска; о движении молотка и гвоздя после удара и многие другие.
При решении |
подобных задач говорят о движении с и - |
с т е м ы т е л : |
планет Солнечной системы, системы соу |
даряющихся или отталкивающихся тел и т. п. Система тел — это группа нескольких взаимодействующих тел. Силы, дей ствующие со стороны одних тел системы на другие, называ ются в н у т р е н н и м и с и л а м и системы. В Солнеч ной системе это силы всемирного тяготения (силы, дейст вующие на расстоянии), в системах соударяющихся или отталкивающихся тел — силы упругости (силы, действую щие при соприкосновении). Кроме этих сил, на тело, принадлежащее системе, могут действовать еще силы со стороны тел, не принадлежащих выделенной группе. Эти силы называются в н е ш н и м и по отношению к рассмат риваемой системе. Например, на Солнечную систему дейст вуют звезды, входящие в Галактику. На забиваемый гвоздь действуют силы сопротивления деревянного бруска (силы упругости волокон дерева, которые раздвигаются и раз рушаются гвоздем).
165
Однако в ряде случаев при решении задач всеми внеш ними силами можно пренебречь. Так, при изучении движе ния соударяющихся или отталкивающихся шаров, катя щихся по плите, силы притяжения к Земле уравновешены силами упругости со стороны плиты для каждого шара в отдельности. В этих случаях внешние силы не могут повлиять на движение шаров и их можно не учитывать.
Рассмотрим систему, состоящую только из двух тел. Этого достаточно, чтобы понять физическую сущность яв лений при движении системы тел, на которую не действуют внешние силы.
Пусть в момент времени t0 происходит движение тела массой тх со скоростью v10 и второго тела массой т2 со ско ростью v20. Затем в течение времени t — t0 первое тело подействовало на второе с силой Рх^2 и, в свою очередь, второе тело подействовало на первое с силой F2-+i (согласно третьему закону Ньютона). Например, столкнулись катя щиеся шары, молоток ударил по гвоздю и т. д. В результате действия внутренних сил скорости тел некоторым образом изменятся и станут равными vx для первого и 82 для второго тела.
Воспользуемся формулой (48) для каждого тела в от дельности:
для первого тела m{vi — m{v1Q = F2-+i • (t —10 ),
для второго тела m2v2 — m2v20 = Л-*2• (t —10).
Согласно третьему закону Ньютона силы Fx^2 и F2^x равны по величине и противоположны по направлению, т. е. /\_>2 = — ^ 2 - 1 • Учитывая это равенство, сложим оба выражения для изменения импульса (количества движе ния) тел:
mi У ! — m I U I O - f т21)2 — m2v20 == 0. Отсюда получим:
miVio + m2vw = mxvx - j - m2v2. |
(49) |
В левой части этого выражения находится сумма импульсов (количеств движения) первого и второго тела до начала действия внутренних сил, а в правой части — сумма импуль сов тех же тел после окончания действия внутренних сил. Следовательно, при отсутствии внешних сил сумма им пульсов (количеств движения) тел, составляющих систему, не изменяется в результате взаимодействия тел системы.
166
Другими словами, Внутренние силы не изменяют суммар ный импульс (количество движения) системы. Этот закон
называют з а к о н о м с о х р а н е н и я |
и м п у л ь с а |
|
( к о л и ч е с т в а |
д в и ж е н и я ) . |
|
Полученный результат совершенно не зависит от того, как взаимодействовали тела системы: кратковременно или долго, при соприкосновении или на расстоянии. Можно доказать, что он справедлив для любого количества тел,
входящих в |
систему. |
Так как |
импульс (количеств движения) — величина |
векторная, |
то под суммой импульсов (количеств движе |
ния) тел, о которой говорится в законе сохранения импульса, нужно понимать сумму векторов, т. е. геометрическую сумму (см. § 13).
Если тела, составляющие систему, перемещаются по одной прямой, то и векторы импульсов (количеств движе ния) этих тел находятся на одной прямой. В этом частном случае закон сохранения импульса примет следующий вид:
miu 1 0 - fm 2 u 2 0 = miu1 + m2 u2 , |
(49а) |
т. е. действия над векторами здесь могут быть заменены действиями над алгебраическими величинами.
§ 65. Сила тяжести. Вес тела
Очень большую роль в технике играют силы притяжения к |
Земле. |
В предыдущих разделах мы неоднократно говорили о них. И это |
вполне |
естественно, так как на поверхности Земли, и в околоземном простран стве практически во всех задачах, связанных с равновесием тел, со
свободным падением, с движением |
всевозможных летательных аппара |
|||
тов и т. д., приходится учитывать |
силы притяжения |
к Земле. |
|
|
Силы взаимного притяжения |
существуют между любыми телами: |
|||
и между планетами, и телами находящимися |
на земле, и между |
телами |
||
и Землей. Силу притяжения тел |
к Земле |
называют |
с и л о й |
т я |
ж е с т и . |
|
|
|
|
Многочисленные опыты, проведенные со свободно падающими те лами, привели к выводу о том, что величина ускорения, с которым
падают |
различные тела вблизи поверхности Земли, |
примерно |
равна |
|
g = 9,81 |
м/с2 . |
|
|
|
Однако тщательные измерения величины g показали, что в разных |
||||
местах Земли наблюдается небольшое отклонение от |
среднего |
значе |
||
ния g = |
9,81 |
м/с2 . Так, например, на полюсе g = 9,83 |
м/с2 , а на эква |
|
торе g = |
9,78 |
м/с2 . Эти различия объясняются в основном следующими |
двумя факторами: вращением Земли вокруг оси и отклонением формы Земли от точного шара (Земля несколько сплюснута в направлении полюсов). Для всех технических расчетов всегда принимают среднее значение ускорения свободного падения, равное g = 9,81 м/с2 .
На основании многочисленных опытов и второго закона Ньютона был сделан вывод: сила тяжести Р равна массе тела т, умноженной на
167
ускорение свободного падения g:
Р= trig.
Вслучае неподвижного тела сила тяжести всегда уравновешивается силами упругости, действующими на него со стороны подставки или подвеса.
Сила, с которой тело, находящееся под действием силы тяжести, действует на подставку или подвес, называется весом тела.
Известно, что любые тела, находящиеся в кабине космического корабля, движущегося по орбите вокруг Земли, не действуют ни на подвесы, ни на подставки. Как говорят, тела стали «невесомыми». Однако силы притяжения к Земле, силы тяжести на них действуют попрежнему.
Таким образом, всегда нужно четко различать две силы: силу тяжести и силу веса. Сила тяжести равна Р = mg и приложена к са мому телу, притягиваемому Землей. Сила веса приложена к подвесу или подставке, а не к телу и по величине может отличаться от силы тяжести. Если на тело, находящееся в равновесии, действуют только сила тяжести и сила со стороны подвеса или подставки, то их вели чины равны. Если же тело движется по вертикали или криволинейно с ускорением относительно Земли, то вес тела оказывается зависящим от величины ускорения.
§ 66. Масса и вес. Измерение массы и веса
В § 58 был указан способ определения массы тела. Этот способ требует проведения тщательных опытов и связан
сбольшими затратами времени. Поэтому на практике при меняют способ сравнения масс. Сущность его заключается
вследующем.
Впредыдущем параграфе мы установили, что сила тя жести пропорциональна массе тела, на которое она дейст вует: Р — mg. Если тело неподвижно, то величины веса тела и силы тяжести равны. Следовательно, веса покоящихся тел прямо пропорциональны их массам. Поэтому для двух тел
смассами тх и т2и весами Рх и Р2 справедливо равенство:
ПК = |
Ei. |
тг |
Р2 ' |
Это соотношение используют на практике для определения массы. Если выполнить измерения с целью сравнения весов тел, то тем самым мы сравним их массы. Для этого приме няют рычажные весы различных конструкций. Основной деталью рычажных весов является равноплечий рычаг, опи рающийся на стойку через призму. Две чашки также под вешены на призмах, укрепленных на каждом конце рычага. На одну чашку помещают тело, массу которого нужно опре делить, а на другую кладут известные массы, пока чашки
168
не уравновесятся. В качестве известных масс используют наборы эталонных масс, так называемые разновесы (см.
§ 3). Массу тела мы определим, сложив числа, |
указанные |
на разновесах, помещенных на чашку. |
|
Силу тяжести, действующую на тело, можно |
измерить, |
как и любую другую силу, с помощью динамометра. Под вешивая тело к динамометру, мы определяем силу притя жения тела к Земле, равную весу тела. В этом случае дина мометр называют пружинными весами. Однако мы знаем,
что |
ускорение свободного |
падения |
g в различных точках |
||
Земли |
разное. В то же время градуировка шкалы динамо |
||||
метра |
производится на заводе-изготовителе |
прибора, т. е. |
|||
в |
каком-то определенном |
месте. |
Поэтому, |
измеряя вес |
в другом месте Земли, мы не получим полного соответствия с условиями градуировки пружинных весов. В этом заклю чается принципиальное отличие способов сравнения сил тяжести, а значит и масс, при помощи рычажных весов и при помощи динамометров — пружинных весов.
Теперь мы можем уточнить сведения о единицах для измерения силы. В § 3 было указано, что применяемой до настоящего времени в технике единицей силы в 1 кГ яв ляется сила тяжести, действующая на гирю-эталон из пла тинового сплава, хранящуюся в Международном бюро мер и весов. Но эта сила в разных местах Земли различна. Поэ тому заранее условились считать равным 1 кГ вес гириэталона на уровне моря на географической широте 45°. В этом месте земной поверхности ускорение свободного па
дения равно g = |
9,80665 м/с2 . В то же время масса указан |
|
ной гири-эталона |
принята в СИ за единицу массы 1 кг. |
|
Следовательно, в соответствии со вторым законом |
Нью |
|
тона имеем |
|
|
F = ma; 1 к Г = 1 кг-9,80665 м/с2 = 9,80665 кг-м/с2 |
= |
|
= 9,80665 Н и 1 H = gg^gg = 0,10197 кГ. |
|
|
Так устанавливается соотношение между единицей |
силы |
1 Н в системе СИ и единицей силы 1 кГ в системе МКГСС. Для технических расчетов обычно принимают 1 Н = 0,102 кГ
и |
1 кГ = |
9,81 Н. |
|
|
|
|
Из сказанного видно, что тело, имеющее массу |
1 кг, ве |
|||
сит точно |
1 кГ только в |
тех местах |
Земли, |
где g = |
|
= |
9,80665 |
м/с2 (нормальное |
ускорение |
силы тяжести). Во |
всех других местах земной поверхности тело, имеющее массу 1 кг, весит или немного больше, или немного меньше 1 кГ.
169