книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

11.Вращающий момент, действующий на тело, увеличился в 2 раза,

аугловая скорость уменьшилась в 4 раза. Как изменится мощность?

12.Постройте график, выражающий зависимость вращающего

момента от частоты вращения, если известно, что мощность равна 10 кВт.

Глава тринадцатая МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

§85. Энергия. Единицы энергии

Влюбом металлорежущем станке при обработке деталей возникают большие силы взаимодействия режущего инстру­ мента и обрабатываемой детали, имеются относительные перемещения инструмента и детали, т. е. совершается ра­ бота против сил резания. Кроме того, в станке много уст­ ройств, в которых происходит движение одних частей станка относительно других (суппорт токарного станка перемеща­ ется по направляющим, его шпиндель вращается в подшип­ никах и т. д.). В этих устройствах совершается работа против сил трения. Заметим, что совершить работу против сил со­ противления в станке оказалось возможным благодаря ра­

боте электромагнитных сил в электродвигателе станка. В свою очередь, эти силы возникли в результате действия

На электростанциях также установлены машины, со­ вершающие работу. Например, генератор, вырабатывающий электрический ток, приводится в движение гидротурбиной. Наконец, сама гидротурбина может совершать работу только в том случае, когда через ее вращающееся лопастное колесо протечет вода, запасенная в водохранилище, образовав­ шемся перед плотиной гидростанции. Таким образом, в конце рассмотренной цепочки мы видим, что некоторое тело (вода) действует на другое движущееся тело (вращаю­ щееся лопастное колесо гидротурбины) с определенной си­ лой и совершает работу.

Чтобы тело могло совершать работу, нужно создать опре­ деленные внешние условия. Построив плотину, накопив воду в водохранилище, установив машины на гидростанции (турбины и генераторы), мы мржем в любой момент времени направить воду в гидротурбину, привести турбину во вра­ щение и начать вырабатывать электрический ток с помощью генератора.

210

О теле, способном производить работу в данных усло­ виях, говорят, что тело обладает энергией. Почему мы говорим именно о способности тела совершать работу? Напомним, что работа совершается только во время дви­ жения тела. А что можно сказать о телах, па которые действуют силы, по тела остаются неподвижными? Мы знаем, что работы в этих случаях не производится. Но эти тела могут совершать работу, если будут созданы необходимые условия для их движения.

Неподвижная вода, заполняющая гидротурбину, не совершает никакой работы. Если же открыть устройства, препятствующие течению воды через турбину, то движу­ щаяся вода, взаимодействуя с лопастями вращающегося колеса турбины, будет производить работу.

Чтобы механизм наручных часов мог совершать в течение длительного времени работу, необходимую для поддержания движения стрелок, шестерен и других частей, мы сжимаем, деформируем пружину часового механизма: «заводим» часы.

Теперь обратимся к тем случаям, когда тело под дейст­ вием сил изменяет свою скорость, т. е. начинает двигаться ускоренно или замедленно. Рассмотрим, например, процесс свободной ковки металла. Молот, поднятый вверх, не совер­ шает работы, но находится в таком положении, что, начав движение, он может совершить работу. При движении вниз скорость молота возрастает до тех пор, пока не произойдет удара о поковку. В течение короткого промежутка времени происходит резкое замедление движения и совершается работа против сил упругости. Молот способен деформиро­ вать металл благодаря тому, что в момент удара происхо­ дило изменение скорости его движения.

В приведенных выше случаях работа производится при изменении состояния тела: вода опускается вниз от уровня в водохранилище до уровня в реке за плотиной; пружина часов раскручивается; молот останавливается.

Пока эти изменения не наступили, тело способно произ­ водить работу: работа не произведена и в теле имеется неко­ торый запас еще не совершенной работы. После того как вода пройдет через турбину и опустится на нижний уровень после плотины, пружина часов раскрутится и ослабнет, молот ударит по металлу и остановится, работа произведена и запас работы в теле уменьшается.

Запас работы, которую может совершить тело, изменяя свое состояние, называют э н е р г и е й .

211

В природе существует много видов энергии, или, как говорят, форм энергии (электромагнитная, ядерная и т. д.). Мы будем рассматривать.только механические виды энергии, к которым относятся: энергия, связанная с поднятием тел над поверхностью Земли или с упругими деформациями тела (в обоих случаях, как мы увидим позднее, вид энергии один и тот же); энергия, связанная с движением тела.

Энергию измеряют в тех же единицах, в которых изме­ ряют работу. В СИ единицей энергии является 1 джоуль (Дж).

§ 86. Потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести

Обратимся к энергии тела, поднятого над поверхностью Земли. Эта энергия связана с взаимодействием Земли и рас­ сматриваемого тела.

Представим себе, как кран снимает с грузовика детали, доставленные на стройку, и перемещает их в различные места

' Л

/У/У

Рис. 126. Изменение потенциальной энергии зависит только от разно­ сти h уровней, между которыми перемещается тело

строительной площадки: складывает на землю или подни­ мает их на различные этажи здания (рис. 126). Размеры и форма груза сейчас не имеют никакого значения. Найдем работу, совершаемую краном, при различных перемещениях груза. При поднятии тела совершается работа против сил тяжести и количество этой работы не зависит от формы пути, по которому перемещается груз. Как бы ни перемещался груз: по вертикали, по наклонному пути или еще каким-либо способом, всегда работа, совершаемая против силы тяжести, равна А = —nigh.

212

В то же время работа, совершаемая краном, будет по­ ложительной, так как кран тянет груз вверх с силой,

(см. рис. 126).

Поднимая тело от какого-то уровня, мы производим работу и тем самым увеличиваем энергию тела. При опуска­ нии тела на первоначальный уровень сила тяжести совер­ шит точно такую же работу, какая была произведена при его подъеме. Опускание тела сопровождается уменьшением запаса работы, которую может совершить тело, т. е. умень­ шением его энергии.

Отсюда видно, что изменение энергии тела зависит только от изменения положения относительно поверхности Земли. Поэтому и энергию тела называют э н е р г и е й п о л о ­ ж е н - и я или п о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и е й .

Наибольшая величина работы, которую может совершить поднятое тело, равна произведению силы тяжести на пере­ мещение тела, от данного уровня до поверхности Земли. Этой же величине равна и потенциальная энергия тела отно­ сительно поверхности Земли.

Найдем, например, для грузов, показанных на рис. 126, величины потенциальных энергий относительно поверх­ ности Земли:

для груза, находящегося на платформе грузовика, ЕпХ =

=mghx,

для груза на первой площадке здания Еп2 = mgh2.

Во всех физических явлениях всегда бывает важна не са­

ма потенциальная энергия, а ее изменения, которыми опре­ деляется совершаемая работа.

Так, в рассмотренном примере нужно знать величину изменения потенциальной энергии поднятого груза Еп2 —

груза относительно поверхности Земли Еп1 = mghx и Еп2 =

=tngh2.

Для упрощений вычислений при решении задач обычно

принято считать потенциальную энергию тела, лежащего на земной поверхности, равной нулю. Это удобно тем, что

213

при таком условии наибольшее изменение потенциальной энергии равно величине потенциальной энергии тела отно­ сительно поверхности Земли, которая определяется как произведение силы тяжести тела на высоту поднятия.

§ 87. Потенциальная энергия деформированного упругого тела

Энергию деформированного упругого тела также назы­ вают энергией положения или потенциальной энергией, так как она зависит от взаимного расположения частей тела.

Энергию упругих деформаций используют в различных механиз­ мах, применяя пружины. Пружины устанавливают в зажимных устрой­ ствах металлорежущих станков, в некоторых конструкциях соедини­ тельных муфт, амортизаторов, ку­ лачковых механизмов, регуляторов и др. Работа, которую может совер­ шить любая пружина, зависит только от взаимного положения ее витков. Мы знаем, что величина силы F, приложенной к пружине, прямо пропорциональна ее осадке

(удлинению или укорочению) х (см. §3). Этот результат можно написать в виде формулы:

Зависимость силы упругости F от величины осадки х пру­ жины называется характеристикой пружины (рис. 127). Коэффициент пропорциональности k называют жесткостью пружины. Если большие силы возникают при малых пере­ мещениях, то говорят о «жесткой» пружине. Если пружина обеспечивает большую осадку при небольших нагрузках, то говорят о «мягкой» пружине. У более жесткой пружины коэффициент k больше.

Недеформированная пружина не обладает энергией. Когда пружина деформирована, то она может совершить работу, если ее виткам предоставить возможность совершать перемещение, т. е. пружина обладает потенциальной энер­ гией.

Как известно из курса физики, величина работы, которую может совершить деформированная пружина при возвра-

214

щении к первоначальному, свободному состоянию, равна:

A=-~F-x. (66)

На графике, выражающем характеристику пружины, величина работы изобразится площадью прямоугольного треугольника под графиком (с учетом масштабов сил и пе­ ремещений), i

Величина работы Л, которую могут совершать силы упру­ гости F пружины при ее осадке х, равна потенциальной энергии Еп пружины:

Выражение (66а) для потенциальной энергии Еп пружины можно представить и по-другому, если использовать зави­ симость (65) силы упругости F от осадки х пружины:

Из формулы (66в) видно, что деформируя с одной и той же силой пружины разной жесткости (разные коэффициенты k), мы сообщим им различный запас потенциальной энергии. При одинаковой действующей силе F «мягкая» пружина за­ пасает больше потенциальной энергии, чем «жесткая» пру­ жина. Это объясняется тем, что при одинаковой силе осадка «мягкой» пружины больше, поэтому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа (сравните величину площадей заштрихованных треуголь­ ников на рис. 127).

§ 88. Кинетическая энергия

Тела могут обладать энергией не только потому, что они подняты над Землей или деформированы, но и потому, что они обладают скоростью. Вспомните, как работают молоты при ковке металлов. Перед ударом падающие части молота движутся. В момент удара происходит их резкое замедление,

215

уменьшение скорости и благодаря этому совершается работа против сил упругости поковки, происходит ее деформация. При очистке отливок от пригоревшей земли часто применяют струю воды, иногда струю воздуха с подмешанными части­ цами песка, дробинками и т. д., двигающимися с большой скоростью.

Все движущиеся тела способны совершать работу, если их*скорость движения уменьшается. Когда скорость умень­ шится до нуля и тело остановится, то весь запас способности совершать работу за счет движения будет исчерпан. Энер­ гия, которой тело обладает потому, что оно движется, на­

Чтобы определить кинетическую энергию тела, нужно подсчитать ту работу, которую может совершить тело, дви­ гающееся с начальной скоростью v, до полной остановки. Напомним, что тело будет двигаться замедленно, если вели­ чина движущих сил F№ меньше сил сопротивления Fc, причем F j B — Fc = та (см. § 67). Предположим, что движу­

величина сил сопротивления не изменяется с течением вре­

Это и есть наибольшая работа, которую может совер­ шить тело, движущееся со скоростью v, до полной остановки, т. е. величина кинетической энергии тела. Точно так же, если тело будет разгоняться из состояния покоя до скорости v под действием движущих сил, то они совершают работу

Кинетическая энергия движущегося тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости,

216

Мы уже знаем, что единицей энергии в системе СИ явля- • ется 1 Дж. Поэтому и кинетическая энергия измеряется той же единицей, что находится в полном соответствии с форму­ лой (67):

§ 89. Энергия тела, движущегося поступательно

В предыдущих параграфах мы установили, что механи­ ческая энергия любого тела существует в виде потенциаль­ ной и кинетической энергии, которые могут изменяться при движении тела. При поступательном движении твердого тела равнодействующая движущих сил FAa и сил сопротивления F,. равна произведению массы на ускорение:

^ д В — Fz = та.

Рассмотрим работы этих сил. Умножим обе части равенства на перемещение S тела:

Произведение Fc-S равно работе Ас против сил сопро­ тивления. 'Направление действия сил сопротивления Fc про­ тивоположно перемещению S тела, поэтому работа Ас всегда отрицательна: Л с = — F c - S . Из последних трех равенств получаем:

Л д в — (—Ac ) = maS; Алв + Ас — maS.

Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда движу­ щие силы FM и силы сопротивления Fc, действующие на тело, имеющее массу т, не изменяются с течением времени. Из формулы (50а) видно, что"при этом условии ускорение а тоже будет постоянным, и тело движется либо равноуско­ ренно, либо равнозамедленно. Из кинематики известно вы­ ражение для перемещения S, определяемое через скорость движения v0 в начальный момент времени, скорость v в мо­ мент времени, когда тело переместилось на расстояние S, и постоянное ускорение а:

217

Подставим это выражение в формулу Для работы:

Работа движущей силы равна сумме изменения кинетиче­ ской энергии тела и работы против сил сопротивления.

Уравнения (68) и (686) применяют для решения задач о поступательном движении тел. Рассмотрим ряд примеров.

З а д а ч а 24. Конькобежец пересекает линию финиша со ско­ ростью 12,5 м/с. Дальше он скользит по прямой, не отталкиваясь ото льда. Определите расстояние, которое он проедет до полной остановки, если коэффициент трения коньков о лед равен 0,04.

Для решения задачи воспользуемся выражением (686). Сначала найдем величины, которые можно подсчитать, пользуясь условиями задачи. Движущая сила равна нулю Fm = 0, так как конькобежец

218

Рис. 128. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, под действием силы тяжести (к задаче 23)

рость v = 0. В уравнении (686) остается неизвестным перемещение 5, которое необходимо найти:

O — ^ + fingS; ^ = | 7 - 2.9,815 0,04 - 1 9 9 М -

Конькобежец может проехать по прямой расстояние, почти равное

сил сопротивления равна произведению силы трения на перемещение тела: Az = — Fc-x = —ftngx. Начальная скорость тела равна нулю: vQ = 0, а конечную скорость v нужно найти. Подставляем найденные

219