книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие
.pdfG—N и P—T, моменты которых равны. Пара сил Р—Т стремится перекатывать тело, а другая пара G — N препят ствует этому движению, и момент этой пары сил называется м о м е н т о м т р е н и я к а ч е н и я . Поскольку именно этот момент и характеризует сопротивление перекатыванию (трение качения), то выясним, от каких факторов зависит его величина.
|
|
|
777777; |
|
|
|
|
7777777; |
|
|
|
Рис. 67. |
Схема сил, |
действую |
Рис. 68. |
Пары сил, |
действую |
щих |
на катящееся |
тело |
щие |
на катящееся |
тело |
Момент любой пары сил зависит от величины сил и плеча пары. Следовательно, и в нашем случае это справедливо. Но если величина сил G и N зависит лишь от силы тяжести, действующей на цилиндр, то величина плеча пары К в пер вую очередь зависит от твердости плоскости. Чем тверже материал, тем меньше деформация и меньше величина К- Величину К называют к о э ф ф и ц и е н т о м т р е н и я к а ч е н и я . В отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения / коэффициент трения качения — вели чина, имеющая размерность длины.
Трение при качении в большинстве случаев во много раз меньше трения скольжения, поэтому на практике всегда
|
|
|
|
|
стремятся заменить скольжение ка |
||||||||||
|
|
|
|
|
чением |
всюду, |
где |
это |
возможно. |
||||||
|
|
|
|
|
|
§ 33. |
Задачи |
с |
решениями |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
8. |
Определить |
наимень |
||||||
|
|
|
|
|
шее значение |
угла а |
наклонной плоско |
||||||||
|
|
|
|
|
сти, при котором груз под действием |
силы |
|||||||||
Рис. 69. |
Тело на наклон |
тяжести |
G |
будет |
равномерно |
скользить |
|||||||||
вниз по плоскости (рис. 69). |
|
|
|||||||||||||
ной |
|
плоскости |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1. Определим, какая сила стремится' |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
вызвать движение. Это не сила G, на |
||||||||||
правление |
которой |
не |
|
совпадает |
с |
направлением |
перемещения. |
||||||||
Разложим |
силу G |
на |
два |
направления — параллельно |
длине |
на |
|||||||||
клонной |
плоскости |
(эта |
|
сила |
будет |
вызывать |
движение) |
и |
перпенди- |
90
кулярно наклонной плоскости (эта сила будет уравновешиваться реак цией плоскости — рис. 70).
2. Определим условия, при которых движение будет равномерным. Очевидно, условие следующее: величина движущей силы равна вели-
Рис. 70. |
Разложение силы |
Рис. 71. Движущая |
сила |
тяжести |
на составляющие , |
р1 и с и л а т р е Н и я |
7 т р |
чине силы сопротивления, т. е. Fa3 = Fconp. Покажем на схеме силу сопротивления, ею является сила трения скольжения (рис. 71). Таким
образом, Рх = /Чр-
Рис. 72. Клещи для подъема |
Рис. |
73. Силы, |
|
слитка (схема) |
|
приложенные к си |
|
|
|
стеме |
«клещи — |
|
|
|
слиток» |
3. Выразим величины Р х |
и FTp |
через заданные величины G и а: |
|
Px=G |
• sin |
а; |
|
F T p = / |
• Р 2 = / • G • cos а. |
|
Отсюда получим: G • sin a — f • G • cos а или / = t g a .
Если же / > t g a движение невозможно (самотормозящая плоскость).
91
З а д а ч а 9. Стальной слиток поднимают с помощью клещей (рис. 72). Определить необходимое для этого значение коэффициента трения скольжения между клещами и слитком, если АВ = 4 а и
ВС=а.
1. Намечаем общую схему решения. Слиток может удерживаться клещами лишь в том случае, если на поверхностях, которые мы условно заменяем центрами С и С , возникнут силы трения. Но возникновение сил трения невозможно без сил нормального давления. Следовательно, в этих точках должны существовать эти силы. Поскольку точки С и
Сявляются концами рычагов, усилия в этих точках могут возник
нуть лишь |
при |
появлении усилий |
на |
других |
концах |
рычагов, |
т. е. |
||||||||
в точках |
А |
и |
А'. |
Но на эти |
точки |
усилие |
может |
быть |
передано |
||||||
|
|
|
|
|
лишь цепями АО и АО', |
сходящимися |
|||||||||
|
|
|
|
|
в точке О. Какое же усилие прило |
||||||||||
|
|
|
|
|
жено |
к |
точке |
О? |
Если |
ответить |
на |
||||
|
|
|
|
|
этот вопрос, то, рассуждая в порядке, |
||||||||||
|
|
|
|
|
обратном |
нашему |
предыдущему |
рас |
|||||||
|
|
|
|
|
суждению, мы решим эту задачу. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2. |
Рассматриваем |
равновесие |
всей |
||||||
|
|
|
|
|
системы (рис. 73). Очевидно, что вся |
||||||||||
|
|
|
|
|
система |
находится |
в |
равновесии |
под |
||||||
|
|
|
|
|
действием двух |
сил — силы |
тяжести |
||||||||
|
|
|
|
|
слитка и реакции троса, идущего от |
||||||||||
|
|
|
|
|
точки О вверх. Известно, |
что две силы, |
|||||||||
Рис. 74. Силы, |
приложенные |
направленные по одной прямой, вза |
|||||||||||||
имно |
уравновешиваются, если |
они |
|||||||||||||
к |
узлу О |
|
|||||||||||||
|
равны и направлены |
в |
противополож |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ные |
стороны. Следовательно, |
на |
точ |
|||||||
ку О действует сила (реакция троса), равная G, |
но • направленная |
||||||||||||||
вертикально |
вверх |
(по тросу, |
т. е. по |
гибкой связи). |
|
|
|
Рассматриваем равновесие узла О. В точке О сходятся три силы. Это реакции трех связей. Величина и направление одной реакции уже
известны и заданы направления |
двух других (рис. 74). |
|
х и у |
|||||||||
3. Составляя |
уравнения |
равновесия в |
проекциях |
на |
оси |
|||||||
|
2 ^ |
= 0; |
£/=•„ = |
<), |
|
|
|
|
|
|
||
получим: |
— Rt |
cos 30° + |
R2 |
cos 30° = |
0, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда Rt = R2 и |
G — R1 |
cos 60° - |
R2 cos 60° = |
0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
откуда |
|
|
|
cos 60° = |
G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( Я 1 + |
Я 2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 = |
|
R2=G. |
|
|
|
|
|
|
|
4. Рассматриваем равновесие |
рычага |
ABC. |
На |
точку |
А |
рычага |
||||||
действует сила, равная по величине силе |
R2, |
|
но |
противоположного |
||||||||
направления. В точке С к рычагу |
будет приложена сила Rc |
(рис. 75). |
||||||||||
Из условия равновесия рычага, так как АВ |
= |
ABC и |
учитывая, |
|||||||||
что R2 = G, получим: Rc = |
4G. |
|
|
|
|
и для |
рычага |
А'ВС. |
||||
Аналогичные |
рассуждения можно провести |
92
5. |
Рассматриваем равновесие слитка (рис. 76). На слиток дейст |
|||
вуют сила тяжести G, две |
нормальные силы давления губок кле |
|||
щей Rc = 4G и возникающие |
под их действием две силы трения Frp. |
|||
Силы |
трения направлены в |
сторону, противоположную |
возможному |
|
|
_ |
перемещению |
слитка под действием |
|
|
|
силы тяжести, т . е . вертикально |
||
|
|
вверх. Таким образом, из условий |
||
|
|
равновесия |
можно |
записать: |
|
|
|
тр- |
Q |
|
|
2F T p = G или |
-. |
|
|
|
FTp = - |
С , |
|
Рис. 75. Силы, прило |
Рис. 76. Силы, прило |
женные к рычагу |
женные к слитку |
По закону трения следует, что
f T p = / - 4 G .
6. Определяем значение коэффициента трения, необходимое для поднятия слитка клещами. Рассматривая результаты, полученные в п. 5, приходим к выводу, что
'4G *
Подставляя значение F T p = ~ , получим: / = g ^ =0,125.
Таким образом, если материалы слитка и губок клещей и состоя ние их поверхности подобраны так, что / : > 0,125, то подъем возможен. Если / < 0,125, слиток выскользнет из клещей.
§34. Упражнения и вопросы для повторения
1.В каком случае потребуется большая сила: для равномерного подъема по вертикали стального бруска или для его равномерного пере мещения по горизонтальной стальной плоскости?
2. |
Чем обусловливается |
возникновение |
трения |
скольжения? |
3. |
Чем обусловливается |
возникновение |
трения |
качения? |
4. |
Каков физический смысл коэффициента трения качения? |
|||
5. |
Почему шарики и кольца подшипников качения делают из твер |
дой стали?
Раздел второй
КИ Н Е М А Т И К А
Глава пятая ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ
§ 35. Содержание и основные понятия кинематики
Чтобы обработать заготовку на металлорежущем станке, нужно предварительно настроить станок. В коробке скоро стей и в механизмах подачи детали, передающие вращение от электродвигателя, соединяют так, что обеспечиваются вполне определенные перемещения заготовки и инструмента
в течение |
некоторого времени. |
Перемещение одних |
тел |
|
или частей |
тела |
относительно других называется м е х а |
||
н и ч е с к и м |
д в и ж е н и е м . |
Раздел механики, |
изу |
чающий механическое движение на основании законов
геометрии, |
называют к и н е м а т и к о й . При |
этом |
не |
принимаются во внимание ни свойства движущихся |
тел, |
||
ни силы, |
под действием которых происходит |
движение. |
Так как при движении тела различные его точки могут двигаться по-разному, то в кинематике сначала изучается движение более простого объекта, а именно материальной точки.
М а т е р и а л ь н о й т о ч к о й называют такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Например, изучая движение искусственного спут ника Земли, можно пренебречь его линейными размерами по сравнению с теми большими расстояниями, которые он проходит. В этой задаче спутник может рассматриваться как материальная точка. Материальную точку можно представить и как небольшую составную часть тела.
Введение понятия материальной точки вносит значитель ное упрощение в исследование движения тел. Для решения задач о движении тела в целом достаточно знать движение одной или двух его точек.
Для описания движения точки нужно найти изменение
ее положения |
в п р о с т р а н с т в е |
с |
т е ч е н и е м |
в р е м е н и . |
Однако изменение положения |
точки можно |
заметить только по отношению к другим точкам или телам, которые называют с и с т е м о й о т с ч е т а . Стол про дольно-строгального станка перемещается относительно станины. Деталь, закрепленная на столе, неподвижна
94
относительно него и в то же время перемещается вместе с ним. Поэтому говорят, что любое движение или покой (как частный случай движения) являются относительными. Рассматривая движение точки, всегда нужно указать, по отношению к чему, по отношению к какой системе отсчета, происходит движение.
Понятие пространства, как убеждает повседневный опыт, сводится к расстоянию. Измеряя в каждом конкретном слу чае расстояния и применяя законы и правила геометрии, мы можем судить о том, где находится рассматриваемая точка: в каком месте пространства относительно выбранной системы отсчета. Для измерения расстояний нужно взять единицу длины и сосчитать, сколько этих единиц уклады вается на интересующем нас расстоянии. Из курса физики известно, что за основную единицу длины принят метр (сокращенное обозначение м). Применяют также единицы длины, образованные от метра (метрические единицы
длины): |
1 |
километр (км) = 103 |
м; |
1 |
сантиметр |
(см) |
= |
|
= |
10"2 |
м; |
1 миллиметр (мм) = |
10 3 |
м; |
1 микрон |
(мкм) |
= |
= |
10~6 м = |
10 3 мм и др. |
|
|
|
|
|
Выбор системы отсчета и измерение расстояний еще не позволяют судить о движении точки. Только измерив время,
втечение которого произошло изменение положения точки
впространстве, можно заключить, каким образом проис ходило движение. Измерение времени также основано на принципе счета. Чтобы измерить тот или иной промежуток времени, нужно сосчитать число единиц времени с помощью часов. В качестве основной единицы времени применяется
секунда (сокращенное обозначение с). Кроме секунды, в технике и быту используются и другие единицы времени
минута (мин), час (ч), сутки |
(сут). |
В |
сутках |
содержится |
|
24 |
часа, в одном часе — 60 |
минут |
и |
в одной |
минуте — |
60 |
секунд. |
|
|
|
|
Таким образом, в механике движение рассматривается как перемещение отдельных материальных точек или тел (систем материальных точек) в пространстве с течением времени.
§ 36. Перемещение точки
При каждом движении точка описывает некоторую линию — т р а е к т о р и ю д в и ж е н и я . Рассмотрим, например, качение колеса по горизонтальной дороге, происходящее без проскальзывания. Будем сначала на-
95
блюдать за точкой Оъ через которую проходит ось враще ния колеса (рис. 77). В любой момент времени эта точка находится от земной поверхности на расстоянии, равном радиусу г колеса. Поэтому точка Ог движется по прямой линии, параллельной плоскости дороги. Траектория дви жения точки Ох является прямой линией, или, как говорят, точка совершает п р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е .
Чтобы описать движение, нужно знать, как перемеща лась точка по траектории с течением времени. Для этого разметим траекторию следующим образом. Выберем на траектории произвольную точку О — начало отсчета — и отмерим от нее вдоль траектории расстояния S до разных
\
Рис. 77. Векторы перемещений при равномерном прямолинейном дви жении точки
мест траектории. Теперь у нас имеется система отсчета для измерения расстояний 5, а также часы для измерения вре мени t. В начальный момент наблюдения, или, как говорят,
в начальный момент времени, когда время |
равно t = t0, |
точка находится в месте S0 траектории. Через некоторый |
|
промежуток времени время станет равным t = |
tlt а точка Ох |
попадет в место Sv Таким образом, точка 0Х |
за |
промежуток |
времени tx — 1 0 переместилась из положения |
S0 |
в Sx в на |
правлении вдоль траектории. Следовательно, для характе ристики движения точки можно использовать величину, имеющую длину отрезка S± — S0, соединяющего начальное положение 50 точки с ее положением Sx в интересующий нас момент времени, причем этот отрезок направлен в сто рону движения.
Изучая статику, мы выяснили, что величины, характе ризующиеся и численным значением, и направлением, называются векторами. Вектор, направленный из началь ного положения точки в конечное положение точки на траектории, называется п е р е м е щ е н и е м т о ч к и .
96
Перемещение точки происходит за некоторый промежуток времени.
В случае прямолинейного движения величина вектора перемещения равна пройденному пути Sx — S0 за проме жуток времени tx — t0. В следующий промежуток времени 4 — 4 движение точки будет характеризовать вектор пере
мещения, |
величина которого |
равна |
пройденному |
пути |
S2 — Sx |
и т. д. В математике, |
физике, |
механике для |
обо |
значения разности двух величин применяют символ А (заглавная греческая буква «дельта»). Поэтому промежуток
времени 4 |
|
1 0 можно обозначить через Atlt |
промежуток вре |
||
мени 4 |
— |
tx — через |
At2 и т. д. Аналогично |
величины пере |
|
мещений |
обозначим |
ASx = Sx— S0, AS2 = S2 — Sx и т. д. |
|||
— |
|
|
|
Рис. 78. Векторы перемещений при криволинейном, движении точки
Таким образом, в общем случае перемещение точки за любой промежуток времени At есть вектор AS.
Рассмотрим теперь движение точки М, расположенной на ободе колеса (рис. 78). При качении колеса точка М описывает относительно земной поверхности кривую линию
(циклоиду). Траектория движения точки |
М является |
||||
кривой линией, или, как говорят, |
точка |
совершает |
к р и |
||
в о л и н е й н о е д в и ж е н и е . |
И |
в |
этом |
случае |
пере |
мещением AS точки будем называть |
вектор, |
соединяющий |
начальное и конечное положения точки на траектории. За
промежуток времени |
А4 = |
4 — t0 |
перемещение равно |
|||
ASt, |
за |
промежуток |
времени |
At2 = |
4 — 4 |
перемещение |
равно AS2 |
и т. д. Обратите внимание на то, что перемещение |
|||||
AS |
не лежит на траектории, как это было при |
прямолиней |
ном движении. При криволинейном движении длина пути, пройденного точкой вдоль траектории, отличается от длины вектора перемещения. Например, дуга ММХ больше отрез ка AS1 ( выражающего величину перемещения ASX. Однако движение точки вполне определено, если мы знаем в каждый промежуток времени А^ перемещение AS.
4 И. И. Гольдин |
97 |
Глава шестая ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 37. Равномерное движение точки
Пусть точка движется по прямой линии. Так движется каждая точка токарного резца при продольной или попе речной подаче, кончик карандаша, перемещающегося вдоль линейки. П р и р а в н о м е р н о м прямолинейном дви жении перемещения AS точки за равные промежутки вре мени всегда одинаковы. Выполнение этого условия озна чает, что на траектории движения места, последовательно занимаемые точкой, расположены равномерно, т. е. на равном расстоянии друг от друга.
Проведенные наблюдения за движущейся точкой и коли чественная оценка движения — измерения расстояний и времени — позволяют определить скорость точки. Выбираем
промежуток |
времени |
и определяем вектор_ перемещения |
||
AS |
точки за |
время At. |
Разделив вектор AS на |
интервал |
At, |
получим |
с к о р о с т ь движения точки при |
равномер |
|
ном |
движении: |
|
|
|
* = |
<25> |
|
|
В выражении (25) выполнена операция деления вектора |
||
AS |
на скаляр At. Перемещение AS |
характеризуется |
величи |
ной пути AS, пройденного точкой, и направлением |
переме |
||
щения. Разделив величину пути |
AS на интервал |
времени |
|
At, |
определяем в е л и ч и н у |
с к о р о с т и : |
|
|
AS |
|
/ Г 1 _ . |
а направление перемещения показывает направление новой полученной величины v. Из этих рассуждений следует, что
скорость v является вектором.
По определениюравномерного прямолинейного движе ния перемещения AS точки всегда одинаковы за произволь ные 'промежутки времени At. Поэтому скорость v согласно выражению (25) будет постоянной. С течением времени скорость v точки не изменяется ни по величине, ни по на правлению. -
Для измерения скорости применяют единицу скорости. В соответствии с формулой (25а) всегда должно выпол няться соотношение:
„, |
„ |
|
AS |
единиц |
расстояния |
. |
|
v |
единиц |
скорости = — ^ |
единиц |
времени |
|||
|
|
г |
at |
|
|
98
Отсюда видно, что за единицу скорости принимают ско рость такого движения, при котором за единицу времени тело перемещается на расстояние, равное единице. В ка честве основной единицы длины принят 1 метр, а в качестве основной единицы времени — 1 секунда (см. § 35). Поэтому единицей скорости является 1 м / с = 1 м/1 с и размерность скорости М = [м/с]. Принимая в качестве единиц длины величины, большие метра, например километр (км), или меньшие метра, например миллиметр (мм), и другие еди ницы времени — час (ч), минуту (мин), можно получить другие единицы скорости: 1 км/ч, 1 м/мин, 1 мм/мин.
В зависимости от того, какая решается задача, с какими величинами мы имеем дело, нужно применять соответствую щие единицы скорости. Для решения задач о движении автомобиля, самолета, поезда целесообразно использовать единицу скорости 1 км/ч. В процессе обработки деталей на металлорежущих станках скорости резания удобно опре делять в м/мин, а скорости подач в мм/мин.
В общем случае для решения любых практических задач, связанных с прямолинейным равномерным движением точки, нужно использовать уравнение равномерного движения. Это уравнение представляет собой связь между величинами перемещения, скорости и времени. Измеряя расстояние S0 от начала отсчета до положения точки в момент времени tQ, когда начинает рассматриваться движение, и расстояние S от начала отсчета до произвольного положения точки в мо мент времени t, получим величину перемещения AS точки AS — S — S„ и промежуток времени At = t — t0. Вос пользуемся определением величины скорости (25а) и запи шем величину перемещения: AS = v-At. Или
S~S0 |
= v(t-t0) |
и S = S0 + v(t-t0). |
(26) |
Эта зависимость и называется у р а в н е н и е м |
р а в |
||
н о м е р н о г о |
д в и ж е н и я . |
|
В большинстве практических случаев за начало отсчета расстояний можно принять положение точки в начальный момент времени. Такое допущение означает, что расстояние S0 = 0. Логично и дальше упростить задачу: начать отсчет времени с того момента, когда точка находится в месте начала отсчета расстояний, т. е. принять t0 = 0. Тогда уравнение равномерного движения принимает простой вид:
S = vt. |
(26а) |
4* |
99 |