книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

в рассмотрение параметр*

t

необходимо должен удовлетво­

рять неравенству

^ > 0

, йо условия абсолютной устойчи­

вости могу'* быть

получена и ирк ^

~ 0

. В этом случае

<i

,

V(;x) ^

эс! Гх

i 2

x

я в силу условия

(ЗЛ 8)

система

(ЗД 7)

абсолютно устойчива,

если

§ 4. Экспоненциальная, устойчивость.

I. Определение. Пусть уравнение возмущенного движения

(1.6)

системы ^EL

определено

на множестве

$ т

**

; 8ocn <■S . , -fc > eV

и пусх'ь, как

и раньше/вектор-функция

F

на рассматривав

мом множестве имеет частные пр )изводные по переменным

ОЦЬ ■?ЭС.*.

Определение 4 Л .

Система

^ .

.тзывается экспонен­

циально устойчивой, если существуют положительные числа

R, oL Л .

такие, что

Л

Иг

*

0С< = .

г у Od.~ ^ - X^ -

асимптотически

устойчива, но свойством экспоненциальной ус­

тойчивости эта

система не обладает.

= А эс

j )

и все корни характеристического уравнения

матрицы

имеют отрицательные вещественные части, В

этом случае, как

уже o.-мечалось, для любой определенно

положительной кзад-

V ( X , t , ) ^ - С г !1ОС *1х ( c 3~ c c ^ t , ц > о ) .

Доказательство.

теоремы очевидно.

В силу оценок.

*%*5>

неравенство (4.4) выполняется на всех движениях сиетеш

—^ t начинающихся в ооласти А

I!

эсЦ,)1' & - s \ |^

Функции V £x/t)

,

удовлетворяющие-

оценкам (4*5),.

сле­

(4 .5), нетрудно

получить

признаки

экспоненциальной устой­

чивости в большом и в целом. Действительно,

система .21

экспоненциально устойчива при люоых начальных возмущениях

4из заданной области HxCtOft^Js

(£>-cornet, &> о) , если оцен­

ки (4.5) выполняэтся на множестве

ИxR< &

«

Если оценки (4.5) выполняются-в пространстве'переменных

ос,,

ос.^ при всех

t ^ о

э то система (1.6) экспо­

ненциально устойчива при любых начальных возмущениях

xC*to)

т.е. экспоненциально

устойчива в целом.

Пример I. Система (2.6) экспоненциально устойчива, ес­

ли она устойчива

асимптотически и

сЦНхК £

llXll

£ oljixS,

где сЦ ,

-

положительные

постоянные. Е

этом случае

I

» -cU

ГсГ

.

c* d ,

fit*

\\ C-

r;

Г, .

(Х Л (Г т а )-» (Г ч»х)3X)

Пример 2.

Ш

0

{Ъ,Т*} экспо-

Система прямого

регулирования

йфщциаль-но устойчива:, если

%

г •> О . С >0 ;

Гк ■*' А*Г » - С

г-е

-

о

,

.

•-

3. Векторные пункции Ляпунова.

В основе

условий экспо­

ненциальной

устойчивости, доставляемых'теоремой Л .1

лежит

дифференциальное

неравенств

\/с г »

^

Естественно попытаться получить признаки экспоненциал?чой

устойчивости с использованием более сложных дифференциальных

неравенств или даже систем дифференциальных неравечс«>

Один из таких подходов к решению рассматриваемой задачи сзя-

. .и с применением нескольких функций Ляпунова,

ил.,

векторной

Функции Ляпунова.

Теорема 4.2.

Пусть

^ \/g С^Д)

-

знакопосто­

янные

положительные функции,

удовлеть

ряющие на множестве

(2Л4)

неравенствам

.

/

. -

С^осв1^ У^эслз* ■•••

сгУ

♦

d^C'fcjV^cx.tj *

♦ 4e.Vt u ;t)

- ( r.6^

•

.

4

и

и..и всех

t ;> о

d^<±)^0

,

если

*

Система S 1

экспоненциально

устойчива, если'экспоненциально,устойчива

.

с тема

...

...

-

.+

f \ u v ., Ь,.

(4 7)-

Доказательство.

В силу дифференциальных неравенств.

(4,6‘ производные функций

V%tx ^ ) ?... ^ Vecx,t)

9 определен­

ные на двиаеннях системы

2 »

$ приводятся к виду

>

-&

Чех,*.) -2-4}«)Ч<.зс,1)

*

с i -- v

Д)

(4.8) ,

где

0

*

^ (х л ) =

^

-

J l d^wV,cx,t)

ё,о .

В векторно-матричных обозначе

Дг4

3

иях

уравнения

(4.?)* (^,8)

записываются следующим образом

-

(#.9}

<*

j)\/(.x,t)

t

| c x ;-t)

(чЛО)

V e x ,г )»

Из (чЛО)

'а'ходим

*

УСВДД) * Att)Yaft)V^^4fte)

t С

f,X( 'v/x) d^.

гд^

л /

решений дифференциаль­

fet) ~ фундаментальная матрица

ного урав

ения

Из ^отрицательности

внедиагональных

элементов ма рицы

D

следует

неотрицательность всех

эле­

ментов матрицы

i (

} *Y(

to)

при

t. >

t ;

и матрицы .

"Yc-t) •

— л

при

*

^-аким образом, при всех

х

* ъ)

^

“t

о ^

•Vг

(t) ^ ct

*4 v

л s.

ц,(л ):.

есл*1

лр{ К *)V с 'г (л0) t Л ^

V'CxCtO tt,) ^

.

и при }

'ex

t.-v't

/1'У\ I /

^

О

С*>IU}

в \ uij

.,вравсн<-тв

(ч»6)., Векдурные

нсравен... /ва

здесь

озна~

дают,

что

г

ь-.е '

соответствующим яера&ензУБаы удовлетворяю!,

компоненты указанных вениров. Следовательно,

при всех t > t c,

,

V lxc

и экспоненциальная устойчивость системы (1.6) вытекает *з

экспоненциальной устойчивости системы (4.7).

Замечание.

Экспоненциальная

'Ч

устойчивость

системы .

(4.V) может о'ыть установлена следующим обпазом, Пусть

Я а' = И

<■1 • i,-J)

л

ч * &updi|U)

СУ

; W p •

Я

t*

1

И

!> с

(к*1, •••.>£)

•

•

- ЧкК I

Л] тер 2а

Рассмотрим систему дифференциальных урав­

нений

_„

x t

~ F iСх^-ь) *& , Xj,

V^i

>

г-''

(^Л2)

.

—s>

/

—

x t * Е, cx v -ь) + Ь ,: се,

мо-

и гридположим,

что для каждой вектор-функции

X- 1

«жет Сыть, указана функции Ляпунова

Vt c5^-t),

удовлетвори-

!>..,лн

оценкам

<

Ч

,

«

X

(c;, Cltc » St

> Д м Д

'•

Л Эх .

^ “C^UX-Д

(Х;ъ« c<wv$t, С(г>1> j C-M.z),

■ 8 ^$,1

ЙЬЛг г1 « - с 1г» х <1г+ с<ц«5,< 'НВ1»

» 5 11 у

- с ц 1

1 х / т ( Ц

W.,.

+

Ц а^ и

- Ч ъ « « , в t-Cj,ui|Xii

\iB j H x

- O ^ + ^ z £ ~ т г гг +■ ТЕ

■<*.I3)

при всех

•

,

то

* _

V, <24>г) 4 -

лг +

аБ /

сх

С г

С^ч

„ t

(Ь-Хиз.*

2Сгг- ^

- - ,

Следовательно

\ у г >л'

с<>

.,

..

, ci «ЬХ

V

_

zc.,г

С '<*•)

+ Т с ~ 7 "

<-*..4

8 5*

КОС;*

Устойчивость взаимосвязанных систем. Используемаа

кции Ляпунова легко

ра шространяетсг

на взаимосвязанные

системы, возмущенное движение которых на множестве

i

X , .,...ОГ

е ,\>

О =*4,..у«) ;

(4.*-*)

ч»

>

удовлетворяет

дифференциальным уравнени,м

Я?. ~

—

с

СН,-,€). (4Л5)

+ 21 Нц

Здесь

-

вектор переменных,

по отношению к которым ис~

*

устойчивость

• *

той системы,

^

~2,

следуется

1 -

х (:ё"\ ,

г с

вектор-функция, определенная

и апрерывная.на

множестве

(чЛА j вместе

со своими

частными производными по первые:

ньш

X,'Л ъ• • •

^

-»Ч

*

И й

-

матрица

характеризующая

влияние

^ -

той системы на поведение

t -

той

системы,

,1-ч«-0

_

&

4»

миделей даже простей­

При построении математических

ших динамических .систем взаимодействие

между отдельными

/

ишь с

той или

элементами с-,ст^мы может ui :ь установлено

иной

точностью. Поэтому

в общем случаи

от

еситс

ько мат­

риц

;звс •тно только

h г!'Л

что на множеств-*4 Л