книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

* . _

£

_____________________

'\-* е cos ^

Здесь р

и

е

-

параметр и эксцентриситет эллипса,

а

Ч

и

^

рмдиус-вектор. точки в о змущенном дви­

жении и угол,

составляемый им с наименьшим радиусом-зекто-

т

ром в невозмущенном движении.

Здесь

следует

также

отметить и то,

что и опре'елзния

устойчивости

по Лагранжу,

по 'Оуасе^ну,

по Якоби и по Бирк-

нию

х = о

здесь

отвечает интегральное-многообразие

Q u ,H a ./ty * )

-

Qi*) = о

(i,5 )

-О

уравнения (1 . 1 ) (при •

% - £, Ct)

) и в общем случае

НэсИ

не

является расстоянием

возмущенного движения

системы до заданного многообразия,

Многообразие (1.5)

является

интегральным для

уравнения

( I .I ) ,

если производная

по времени вектор-функции

х

,

вычисленная в силу уравнения (1Л ) при

,

приводится к виду

х

-

F 'x ^ z ^ t)

и вентор-функци.. Г

удовлетворяет условию

II Fco,z/)!! = o.

В длльнейше г мы будем считать, что вектор-функция

F

в

явном виде ле зависит

от переменных состояния Z

,

Оде-

т

данное допущение позволяет свести

исследование

устойчи- 1

В этом случае

’cze/t) ™ф а ^ - к

- 5

*л\

3,

Функции Ляпунова» Основным методом исследования

устойчивости являете: метод функций Ляпунова*

Этот метод,

данный АоМ. Ляпуновым в его книге 850бщая задача об у^ :ой-

чивости движения'8 получил

широкое развитие в работах, глав­

ным образом,

советских ученых U j ,

[I, 2 , 5 -

7,

Приведем основные определения,

спг н«ые

с понятие

вещественные функции

V c x ^ ) , опр деленные

„ непрерыв-

ниj

выест' со обоими

частными производными :

*••-> ъ у »

, W

на множестве

*

1

вовнутрь

в. том смысле, что з каждый момент времени “Ь по­

верхность

W с.'х)

расположена внутри поверхности

Vcx^-t) SC 0

|

& х«*.х.Д , »х*< s,

(1 , 10)

и век jop-фуннцин

С4

за

С'

имеет непрерывные т ;твые

t

произюдные

по переменным

о с . , , , ас*, t

*

Обозначим

через

W

вектор

"■*

W

-•••

33^

с компонентами

Теорема 2.Л .

Система

устойчива по переменным

,.,oc.»v

* если на множестве

S v =J x ,t >axH^s,

Ц . п )

. л

-

сущ ествует

определенно положительная

функция ’ V e x , t ) t про­

изводная которой

"

-

'

V(

(Ш. сЛ

\ЪХ'*£ / 2>t*

Доказательство. Пусть Z

- сколь угодно малое поло-

"ж..тельное чис~о,

пусть

Л »

Щ (

Vc*/t)

при Sixii а ^t > t.,/) >

■*

из

условия

•

тогда, выбирая Ь

и интвгрир5 неравенство V <s О

, мы будем иметь

t 3 t,

( 1. 12)

на всех движениях системы

, начинающихся в области^

„ При выполнении неравенства (1Л2) ни одно из

возмущенных движений системы Z L /

начина дихсн

в этой об­

ласти, не попадает на поверхность

*

Следовательно,

И о с ( Л ) ! п р и

всех

t> + -e

и система

ус1.»Йчива

по Ляпуновуо

Пример 1о Рассмотрим

систему,

возмущенное,

движение, ко­

торой описывается

дифференциальныи уравнением

.

--Ч

>V

(1 .13)

х

« T c c t) ^ »

где V=Vv ^-5 -

определенно положительная функция, ^C t) -

- непрерывная

(Г *ш) - матрица. Производная

^ункц^и Vex) ,

определенная

на движениях системы,

приводите'

к

виду

Следовательно, система

(1ЛЗ) устойчива по Ляпунову,

если

1 t w + 1?. (Л)

-

знакопостоянная отрицательная

мат­

рица.

х - F с ос)

(1Л4)

V a У С ^ с х ) , . - ^ е ^ Х . . . .

( 1 Л 5 )

9

ьч

W

t

•^ .с х ) + ■

‘

ЬЧё

•н

(i* «.

.w .

awi**o»

(1Л

где пти

всех

L - L-C*^- , Xm. д )

-

определенно

положительная

функция в пространства переменных

д. ,

Положив

V -

Lex,,..

5

ПОЛ ЧП-

'

* 2 L V v F;

■fct

1=1

Таши образом, система ( I . 16) устойчива,

если

> L

- ^на-

кошетоянная отрицательная

фуннциягв

X

5. Равномерная устойчивость» Определение устойчивости

по Ляпунову допускает

ряд модификаций,, Одна из

них связана

\

с понятием равномерной^устойчивости.

Определение 1,6.

Система 21 называется

равномерно

устойчивой по времени t 0

, если для любого положительного

числа Ь

можно указать зависящее только

от

Ь

число

8>>0,

S < ^

, такое, что при всех

t & t 0

неравенство

(1„3)

вы­

полняется на любом движении системы,

начинающемся в облас­

ти (1.Л)

при всех значениях

t o^0 .

Достаточные условия равномерной устойчивости устанав­

ливаются

следующим предположением,,

'

Теорема 1, 2. Система 21 устойчива равномерно дг

вр< -

мени

t 0 , 9 если на множестве

{

j

Мхи *= Sp tt

\

предел

оп~.

существует допускающая бесконечно малый выси Л

ределенно положительная функция ^ х д )

, производная

кото­

рой, вычисленная в силу уравнения возмущенного движения,

на этом множестве нв/

зтся

функцией знакопостоянной

отри­

цательно^

или тождественно

равна нулю,

.

'

Доказательст!

теоремы анг тогично доказательств^

тео­

ремы

I .I

с тс“ л. ib разницей

что в

атом

случае

и- - mj* ( VCxtt) при

HocW= Ь t t > о)

Гос. п блкчГС

и %

находится из условия

научно-те* нич

библио

го

■

теш (1Л З), (1Л4) и (1 Л 6) равномерно устойчивы,

если они

устойчивы по Ляпуновуо В части,

касающейся гнетем

(1Л З),

(1,14) сделанное утверждение не

вызывает сомнений,

так

как функция Ляпунова, с помощью которых получены условия

устойчиво ти этих систем, не зависят от времен^ t

. Что

ке касается системы (1,16) то в.соответствии с теоремой

1.2 она равномерно устойчива, qcj:л при всех

*t>o

в про­

странстве х , к..., xnv функция

L допускает

бесконечно

малый высший'предел. Этому требованию функция заведомо

удовлетворяет, так как при всех

ос1?

^

Ъ\~ . л

о ^ ^