книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие
.pdfмоьло удовлетворять функцией
(5.9)
Множество стабилизирующих законов управления* порождаемое функцией (5 .9), находится в виде
3
ос
(5.IO)
I
сс3
В соответствии со сказаны; м выше здесь |
f it7 рль |
и |
- f ьъ - произвольные функции переменных |
, 01^ , х 5 |
и |
Конечно, (5.10) не является множеством всех законов управления, обеспечигоющих стабилизацию рассматриваемой сис темы, но и полученное множество содержит в себе достаточный произвол, чтобы служить предметом самостоятельного иссл^до-
вания.
л
3. Применение теоремы -Барбашина-Красовского. В слу когда возмущенное движение управляемой системы описывается дифференциальным уравнением
~ £ tjjb) 4 . Qr LX.J) • , ' (5*11 )
/
применение теоремы Барбашина-Красовского, как и npi. реше нии вопросов устойчивости в целом, позволяет уменьшить труд
ности, -связанные с |
решением рассматриваемой |
задачи. |
Пусть |
при сделанных ранее |
предположениях функции |
\ |
не |
Д и |
- 60 -
зависят |
от времени ^ |
, и пусть |
U )~ произгольная зна |
|||||||||||
копостоянная |
положительная |
функция. |
|
|
|
|
||||||||
|
Теорема 5.2. |
Любо!, из |
законов |
управления |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
* ~ 7Г G' Ц |
■+■ |
|
|
(5.12) |
|||
является |
стабилизирующим законом для |
системы (ЬЛ 1)9 если' |
||||||||||||
на множестве |
|
|
|
|
|
|
|
существует |
опреде |
|||||
ленно положительная функция |
\1 О ) |
, |
удовлотворяющая условию |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JL Ш |
|
|
/Г 13 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JL |
КЪЪ |
|
|
|
|
и многообразие |
^ |
|
о не |
содержит |
возмущенных движений |
|||||||||
•хС9 |
замкнутой системы (5Л I), |
(5,12). |
|
|
|
|||||||||
|
Доказательство. На движениях системы (5.11), |
замкнутой |
||||||||||||
любым из |
законов |
управления (5.12), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
\j |
=, - Л С^9. |
|
|
|
|
|||
Так как при этом многообразие |
^ |
|
0 |
не содержит воз |
||||||||||
мущенных движений замкнутой системы, |
то справедливость сфор |
|||||||||||||
мулированной теоремы нг. посредственно следует из теоремы |
||||||||||||||
3.3, |
в условиях |
которой т._ збовашгз |
бесконечно |
большого низ |
||||||||||
шего предела может быть опущено. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Заметим, |
что |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
область, определенная неравенством |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
К^ C to i |
& W |
|
|
|
(5 ЛА) |
||
принадлежит |
области притяжения |
системы (5Л 1), |
(5.12), |
|||||||||||
ес.-и |
'«оос. С VI |
сэу |
|
при |
Нолич*) |
^ |
icvu |
C.\J |
L" j |
|||||
при |
Uос.Ц |
sj) |
|
, |
и |
- системы |
(5 .1 ),-(3 .5 ), если |
|
||||||
|
|
sup |
(_\kx,t; |
при цбсди ч» |
;х>/ &) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
< |
OVf (XJlxv4j ПрИ |
\[хД с S } ^ о ) |
||||||
|
Пример. Рассмотрим спс |
ему |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
-v ^ |
•> |
|
(5.Т5) |
- GI
ПуСТЬ |
|
|
|
|
\d- **- |
о)о |
|
|
|
|
Л |
- oL ' |
NM |
|
•г. ч |
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
V =* Ос}" 4 ОС^ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
и в соответствий |
с теоремой-5.2 множество законов |
управлени? |
||||||||
|
|
|
\к~ |
|
t P (,Coah ^ ) 4 |
; |
(5.1-6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
.4 * -РпЛ'*1>0Ч )0Ч |
|
|
|
||||
обеспечивает стабилизацию системы (5ПГОз если |
|
|
||||||||
|
|
|
~* *'Vзос^о) |
f |
ci}о) *' 0 |
*?>*. iot<{ 4-й." |
|
|||
/+« Определение-свойств стабилизирующих законов» Шю- |
||||||||||
жеотво |
•; |
табидизируюшдх- |
законов управления (5.3) определено |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
о точностью-до произвольных функций -л |
. Ч] и |
р |
. &?~ |
|||||||
?естзеьно, что св йства полученных зав: ’ов.-оу^есжееяным |
||||||||||
образа» зависят, от'выбора ш*званшх иункдий* |
|
|
||||||||
Тесня ла 5 . Г» |
Пусть на множестве (2-Лч) |
|
(^v:ЧТ7 |
|||||||
|
|
|
|
' "J^ |
( X ,ir) |
> 0 |
|
|
||
и пусть |
|
|
|
|
|
* i • 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vw"a'-‘ |
|
®-ST '+ |
. |
|
(5 Л&) |
|
|
|
|
|
” ^ |
|
|
||||
- любой зако^ |
унравлеь ии |
из получекногемножества |
(3. >). На |
|||||||
ВСОл ДВ; |
.ениях -сйот^мыi |
(5 .1 ;, |
начипаш.йхоя в оодаоти |
(5 л 4 ), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
'Sa |
|
|
закон управлею;. |
(5.18) |
доставляет минимум функциикалу |
||||||||
|
|
|
ос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц) |
I[ ‘ГЧ ^ >t;- |
plX,U) -Р^ TU.^j |
|
-(5.1-9) |
- о • -
|
Ф •v' .t) - |
% ч.ХД) - 5 t |
,-t)+ |
( p, P>) — |
|
; &<v ~~ 4j |
|||||||
|
|
' |
|
|
|
' ^ |
a |
> M ■ |
и |
|
< 3 X / |
||
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/’ iJ Л'! |
|
1W |
•N 'v |
.=• |
"V ( '$ |
?»x. |
5,<гОЛ |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
A . _ |
|
' |
|
- |
2, ' «>. ■ |
||||||
Лаи дика&атель»* ея |
?•г;оj>ejhu. босноаьзуемоя методом дя- |
||||||||||||
' i JKOPO |
ЯрОТраК. .ИРОНИЯ |
и Hi. йдеы .закон |
упразлеийй^ CupfcH- |
||||||||||
mt-ymnt а^иьптоийчеекуь v--.*o$w |
j i i с*истоме (5Л ; |
и ыики- |
|||||||||||
х у и ^ у - я к д й о н а д о |
• |
{ Ь Л 9 ; * |
Л |
- F |
|
■зь^ттно |
f ?] |
г, |
решение |
&^ой |
|||
з д д а - и |
м о ж е д |
С а д В |
Я 0 Л ‘У*ЧУК4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
•„.. тг |
|
|
\ |
• */■ |
г |
|
|
2. |
.г |
Л |
.1 .. "I |
|
|
|
|
‘ Г |
|
|
||||||||
|
|
|
{ |
; |
|
|
|
|
|
|
oU.tmtf*:. > |
||
|
‘> ' С х |
} о |
^ |
т д л , ] |
И ф |
|
|
|
|
|
|
||
ЬО |
GiK'jiaCHO |
ТфИ'ЧИЙП v |
jfiv.ril-'-OvibHOCl’>? odilJiU^nЭ p ДО ЛбИ'ВО-* |
||||||||||
р-яет •ураганеи;г.о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*«*• [ф 1.х5с)- |
J-- {.р.и) а- j |
д^ц) |
|
zA,* |
|
|
|
/ й $° ,, Г . Л |
|
д 3 \ |
|
4- •'--- |
-:•*• -г (*?•\L } |
-*■ |
~ ~ V- О, |
Чг^ГУ |
и |
||
|
|
|
оде унаьнепин о нашем
и.
случ- а дньквалена *о двум сд^укшш
с- 4>
~~ .-Г. Л PC ОС. +.Л ОХ ■- ; Vч
|
Ъ Ъ |
_ лЬ, . .v |
A .,. г. ■ > t'bb |
пс{*-\ • /,. <<• с') |
|
,,о |
|
|
|
“ |
|
-- 4A,*;t)- |
-Г цр?) “ |
Л \ U }V ‘ (5«21) |
’-’^дОиаТОЛ-ЬНО , |
|
|
|
|
|
I |
\ л 5'oV |
. , |
vj. |
|
„А |
|||
1А |
Д <• II +Р^А) |
т ^ |
УРС Х;^ |
|
|
<,д _ |
|
|
|
|
UO |
|
|
|
4
что и доказывает сформулированную теорему. |
|
|
Гшетим, что при выполнении |
«равенства |
лю |
бой из за онов управления (5*12) |
является законом, |
оптима |
льным по от: ошению к функционалу (5.19), если
4>CX/fc)- Фсзу - * w y + £ t f , p . ) - f ( Ц
Теорема 5.5 каждому стабилизирующему закону управления
(5.5) позволяет поставить в соответствие свой оптимизирую щий функционал (5.19). Следовательно, эта теорема позволя
ет из полученного множества стабилизирующих законов ^выдели ть те законы управлении, которым отвечают функционалы, лу чшим образом отражающие сущность переходных процессов в зам кнутых системах. В этой связи уместно отметить, что в ра ботах, посвящечн^л оптимальному управлению, как правило,
предполагается, что подинтегральная функция в оптимизирую
щем функционале |
явл-згся |
неотрицательной. Имея произвол в |
||
выборе функций S |
, М , |
Vs! и £> |
им можно распорядиться |
|
таким образом, чтобы функция |
- у- Cppuj ч- |
с«,ч) |
удовлетворяла этому условию. Примечательным здесь является •
то, что |
требование минимчма функционала (5.19) имеет смысл |
и тогда, |
когда условие |
|
Фг |
X" СМ) 4 д- |
^ О |
не выполняется. Более того, в отдельных случаях функция |
|||
може |
быть и определенно отрицательной, но требо |
||
вание м нимума. |
функционала (5Л 9) всегда |
имеет смысл, когда |
Дудовлетворяет неравенству (5 Л?)., В случае же неположи
тельных
и система (5.1) асимптотически устойчива при Us , , ес. л она
- 64
асимптотически устойчива на множестве (5.5). Естественно, |
|
|||||
что в этом случае управление по любому из найденных законов |
|
|||||
нуждается ъ дополнительной аргументации, |
Подобная |
ситуация, |
|
|||
например, возникает в системе (5.15) при |
ы - 0 , |
когда р^ль |
|
|||
управления (5Л 6), грубо говоря, |
сводится \Н выбрасыванию |
А |
||||
|
|
|
|
|
|
|
возмущенных движений системы с многообразия |
о |
■J |
||||
«> |
|
|||||
Рассмотрим |
одну из сторон исследуемо# проблемы, |
связан- |
|
|||
ную с теоремами 5 Л , 5.3. Пусть |
<з |
- закон |
управления, |
|
||
U-Coc; y |
|
|||||
|
|
|
|
|
\ |
|
обеспечивающий асимптотическую устойчивость системы (5 I) |
|
|||||
при некотором векторе |
и ц р ° с ^ Uф о |
. Обоз |
|
|||
начим ч е р е з - |
совокупность устройств, |
необходимых для |
|
|||
формирования U0 |
, и рассмотрим, ситуацию, |
возникающую в слу |
|
чае отказа кеноторы : из них. При отказе на выходе регулятора вместо
LC ~ - Р°С* iV
в самом общем случае мы будем иметь
в
’аг -Э'с.
где - вектор, характеризуют Так, например, полно...у обрыву в цепи ств. отвечает вектор
(5.22)
й последствия отказа.
исполнительных устрой-
|
г |
^ ъ |
|
|
Анализ выра Г.ения |
(5.22) |
и условий |
теоремы (5Л ) показы |
|
вает, что при решении |
конкретных |
зада, |
ота ,‘илизации сущест |
|
вует принципиальная возможность |
отказа |
тсти формирующих |
устройств, не прит дящего . потопе устойчивости |
замкнутой |
||
системы. Справедливость сказанного |
шовываетол |
на следую |
|
щем утверждении: закон управления |
р ,2 2 ) яр-;яется |
ста лизи |
|
рующим законом для системы (5 Л ), |
если на мигает |
не' |
(б-1 i i l > ° ч ) ^ °-
Остановленное свойство стабилизирующих законов, как показывает теорема 5.3, может быть присуще и оптимальным законам управления. Естественно, что это свойство должно приниматься во внимание при решении вопросов надежности и резервирования аппаратуры.
Пример. Структурная схема регулятора, отвечающая законам управления (5.10), показана на рис. 2. В соответствии со сказанным выше отказ любого из блоков здесь не приводит к потери устойчивости замкнутой системы.
Оптимальные свойства найденных законов стабилизации харак теризуются функционалом
^ - Ц1Ь и 4 AMMV I
4о
где
|
1 |
, |
а |
|
|
'ос Г |
0 |
|
4 |
||
' и (1 |
- < |
ОС - |
|
|
о |
г. |z<±' |
- Р |
о |
З С . Т . |
, * = ■ |
> ° * Х Ц Х |
||||
|
|
H i |
|
|||
■ |
|
г |
1ч i. |
|
.''fib |
|
|
|
|
|
|
|
P'J1
Рг-Ь
D
|
р«р«. |
л |
?'*-Ьъ / |
|
|
|
- f11рч p,i р,» рХ + рг\ |
- 66
/
>.ЛС
' Л W
§ 6. |
Синтез абсолют!") |
устойчивых систем |
|
||
I. Постановка задачи. |
Рассмотрим нелинейную регулируе |
||||
мую систему |
|
|
|
|
|
|
** э с - |
itc c |
+ Ъ |
(6Л ) |
|
где, как |
и раньше, те |
- вектор переменных ос.л, . . . , |
ьс.^ , |
||
по которым стабилизируется |
система, А и В - |
постоянные |
(vtxvt) |
||
и I* |
- матрица, |
U- - вектор управления, |
^£(ц,-у - |
не |
прерывная вектор-функция, характеризующая исполнительные |
|
устройства. При решении конкретных задач стабилизации ха |
|
рактерно тигии |
исполнительных устройств могут быть определе |
ны лишь с той |
или иной точностью, и в само» общем случае |
относительно функции |
^ |
может бытт |
известно только, что |
||
|
и ЯРИ всех |
u .to |
|
||
|
, |
ь |
|
^ |
(6,2) |
где |
- заданные положительные числа, |
||||
допустимыми законами управления для системы (6Л ) счи |
|||||
таются |
законы вида |
0L =. JV сс |
|
||
|
|
|
(6,3) |
||
|
|
|
|
|
|
где 1C - |
постоянная (rv^x-vv) _ матрица. |
||||
Задача 6 Л . |
Дано множество допустимых законов управления |
||||
(6,3). |
Требуется |
и з.(6,3) |
выделить |
законы управления, обес |
|
печивающие асимптотическую устойчивость системы (6Л ) при |
|||||
любых начальных возмущениях |
и любых характеристиках |
||||
исполнительных устройств (6.2).- |
|
||||
2, |
Стерилизация |
линейных регулируемых систем. Решен |
|||
поставленной задачи начнем с построения множества законов |
|||||
управления (6,3), |
обеспечивающих стабилизацию линейной сис |
||||
темы |
|
|
|
|
|
- 68 -
i |
» • д ОС•* Вес» |
(6*4) |
Такой подход к |
ис шдованию р .осматриваемой |
проблемы |
тем более оправдан, что о одной стороны, в соответствии с теоремой 5Л множество законов управления, обеспечивающих стаоилизацию линейно^ системы (6 Л ), можат быть найдено
сравнительно просто, С другой стороны, любой из закалов уп равления, обеспечивающих стабилизацию нелинейной системы
(6Л ), является |
решением задачи |
о |
стабилизации |
и для сис |
||
темы (6.4), |
если |
t V |
^ \)г_ « |
|
|
|
Пусть |
\М |
Q эе, |
f где d |
- |
произвольная |
определенно |
положительная матрица. Тогда, как следует из сказанного .в*--
ше, |
любой из законов упивления |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
U. |
|
^ |
o'VJ |
р , |
. п} |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2, |
& -&Х. |
ЛC'Xjtr) и |
|
|
|
||||
обес! гчивает стабилизацию системы |
(6о4), |
если М определе |
||||||||||||
ьно положительная фу. кция и |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
V± |
|
|
|
|
|
|
-V |
("ЪЫ |
-гз о) ^ |
|
||
|
|
в-с < - -x'Q* - ( д Д |
х ) -V |
г. Vvx>D D |
|
|||||||||
Неравенству |
(6.5), очевидно, можно удовлетвогить, положив |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Jv «■<и>'л%Ь> « |
} \1 |
s. 'Л Г X. , |
|
|||||
где |
Г |
- |
постоянная |
матрица* В |
этом |
случае |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*!* ГВБУх. |
и (6.5) |
эквиалентно.матричному |
неравенству |
|
|||||||||||
|
|
|
|
О ^ |
- |
Q - |
Г А - |
А |
Г + |
2.Д Г SB1Г. |
( 6 . 6 ) |
|||
Порождаемые |
Г |
законы |
стабилизации |
находятся в я-иде |
||||||||||
|
|
|
|
Ы- |
- |
(Л Е -v1 pVx,t)J t Гх, |
|
(6.7) |
||||||
гд*3 |
Е |
|
- |
единичная матрица. |
Полученные |
законы |
буд^ г оп |
|||||||
ределены на множестве допустимых законов управления, если, |
||||||||||||||
СОХраНИВ |
СВОЙСТВО |
|
Р ^ 2 - 0 * В (6.7, ПОЛОЖИТЬ |
Р - |
- 69 -