книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

-<^1X1

-W ti

'

Q-1

'

•(-%&

■+

)

f

где oi^

^

и

" абсолютные значения

мнимых и вещественных

частей

корней полинома

Q z x (w ) .

Наиболее

часто используются для

аппроксимации

к

выражения вида

Х-ЧХ1 Л1

•*|tl

<3«.

. &

4

с

e ' Cwyxt

iih.p.itij^O'

€

Cbonmj

, -

-

Учитывая условие физической осуществимости и применяя к

(I0 .I2)

преоразование Фурье получим:

m

(10.17)

Для одномерного случая

будем иметь

S x ^ ^ v o ) -

. (ЮЛ8)

Подобно

тому,

как было получено (10.15), (10.17)

можно предс­

тавить в виде:

./

5

2>х ХЦ 4 )

(ЮЛ9)

Проиллюстрируем теперь использование данных'выводов и

соотношений на примерз анализа простой одномерной системы.

Пример.

Пусть

система представляв^ собой апериодическое зве­

но (например \С,~ цепочка) с постоянной времени <"V

й общим

коэффициентом усилений

1с

(см. рис.12).

X (t)

а д .

к

TS +

i .

*СзЛ** ~^ь) *•

^

До момента ~^о

система находилась в-покое. Найти

В соответствии

c-(lu .2),

(10.3) и учитывая,^что

U -U .-y -

4

о,~

можно записать

tov^U) «■

]

- *9

d t =•

ч m

т

Чг —

Т

£

т Д-С * V m » U - Y TJ .

>9UJ * Ц ,и9 = 1]

*j

g(.+- X) g-U- «J К*. u - »j <U * t

4%

4

^

V

^

Ac-4

_оцг-©1

-k.- о-г

_ _ _

~-=f~

1)5,19

Q.

d

£

ДV olts

4%•**

А»

lc

г -1*

V

-<*'**-*i cAo екх.

* Г

°W ^

Проинтегрируем сначала по *9

*

для чего разобьем

интервал

интегрирования по переменной

9

на две

части:

{-to

)

и ( ^ I . ). Тогда будем иметь

г*

Ч ? -Alr-e)

{

г

Jl е>

d (« tW r

$ * ] h

V*) - -|-V WX -е

*fc.

I

•+^iX-v~ "Ьэ)

-t

Как нами отмечалось ранее, здесь

мы имеем дело

с неуста^

повившимся режимом, что и выразилось

в зависимости

и

от времени. Устремляя

в этих выражениях -Ь

ко©

,

получим:

to'j (.^ * lonx =e/*vt^

Таким образом, в .установившемся режиме на, выходе будем

иметь стационарный процесс.

Установившееся значение

диспер­

учитывая, что

З ^ К ^ О о )

,

для установившегося

значения

получим:

с*

J

\

^

I

i

1 v i

р

В соответствии

о

(9.19) при

к * о 9 =

v _-<Ч*1 „

г сг^ы

тп:

В рассматриваемом примере

*оМ Ыг .

■г

\с

\Кс.

_

kv*

( . .

2.''С O'*

№ Цч)\-1-VT.iUJ

'

л+Vu' >

ъ аы 3 '

h*x\d')&x^*\) ‘

Тогда

. OQ

4

W^cri oi

dv>

3) м -

тг

trV + \)

Интеграл вычисляется стандартными приемами разложения подин­

тегральной функции на простые дроби.

Интегралы от дробно-ра­

циональных функций часто встречаются в практике решения за­

дач теории управления, поэтому для них составлены

специаль­

ные таблицы формул,Естественно, результат совпадает с получен

иым

выше.

Отметим, что если в системе, заданной дифференциальным

уравнением требуется учесть случайные начальные условия то

поступают

следующим образом:

а) Определяют математическое ожидание выхода, решая не­

однородную систему с правой частью,

соответствующей матема­

тическому

ожиданию входной случайной функции, при начальных

условиях,

определяемых их математическими ожиданиями.

г

б) Получают решение

однородной системы, задаваясь началь

ными условиями в общем виде.

При этом эти решения

являются

линейной функцией начальных условий.

Полагая начальные ус­

ловия случайными величинами, вычисляют дисперсии и корреля-

цион-ные функции для решений однородной системы.

в) Определяют дисперсию и корреляционную функцию выхода,

•обусловленные действием 'входного случайного сигнала при

нулевых начальных условиях.

г) Для определения дисперсий и.корреляционных функций пе

ременных,

соответствующих суммарному движению системы,следу­

ет воспользоваться формулами -лла дисперсии и корреляционной

пункции суммы случайных

,уикций.

Пусть в нашем примере имеют место

начальные условия в -

м о м е н т

“ t “

' t o

( с и с т е м а

I - г о

п о р я д к а ,

з а д

о т к л о н е н и е ) ,

п р н ч . ы ,

N 1

и

з а д а н ы .

-имеет решение

*

л

/I

V

*-

Л

,

d

*L

^ где Л

__ -fc-v

.с £

"т’’ , $.>•

-«-

Тогда

-

Y *

Т

* Ч 4^ « № » Л

Т > , 3 > ^ * 1 > * Л

и ч*

Для определения

результирующих значений

3L+J * «tjjL-t) +

,

дем пока считать начальное оостояние

системы в момент^* О

нулевым. Рассмотрим систему,

представленную на рис. II. В

соответствии

с

(9.5)

-t

^f(>)

J S'Gfc-'XjXcy A t .

(10.20)

Разобьем

интервал интегрирования

на ^ интервалов

длиной

Д-

и обозначим

W

v y X t x M x

(Ю.21)

При достаточно

большом ^ и

малом

Ь

^ Хц,на интервале

можноМ О Г :

считать постоянным и равным

Х .иь) .

Тогда можно написать:

V t )

=

s-M

,

( 10. 22)

V

-

Х(^)

,

(и

-

v r 'U ,

•

Если бы слагаемые здесь были независимы,

то на основании цент­

ральной предельной теоремы можно было бы

считать,

что закон

распределения ординат

случайной

функции

при росте ^

стремление

не приводило к увеличению зависимости

между

Сх \\х ,-^к!) * закон распределения "Чй^также

стремился

бы к нормальному. На самом деле в этом случае свя­

корреляционная

функция

, тем ближе будет закон pao- I

пределения

к нормальному.

закона

распределения. У нас это будет

тогда, когда коэффи­

циенты Оч постоянны и не зависят от индекса,

т.е. когда

Q,(T) ^

c>n,s+ . В этом случае М\1Цлл)

определяется

равенством

Ш . Й - Д 'Х с - '& . ч )

UJ.2J

н.-аледисе означает, что рисе, атрпваеыая

система

имеет оеско-

печно узкую полосу.пропускания ь районе

нудеьс ;

частоты.

Таким осразом

получаем, что. чем уже полоса .пропускания, тек

с л.а

к нормальному закону бу;.ет закон

р.аспр-.у ели:ия аг

то вектор состояний

представляет собой марковский

случайный процесс.

--

Так как линейный

преобразования

гауссовского

вектора

сохраняет гауссовское

свойство (см.

например \i*t]

), то

X

<=■

. ( И Л )

где

XCt?

-

К

-

мерный вектор,

гН*)

-

Чх

-

мерный вектор белого шума,

М -1 Xlio}}

^ ftv-xl'bj

(П*2)

-№i[X(4.j-"ixt+UlXib)-

а 1C*.

(и.з)

Vn w l-9

( I I .-'О

.M jW b i) -

- »nw<4)Y - T lU O ^ V tjjc ii.V )

Блок

схема

такого

представления изображена на рис.

13.