книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

ласти

л х c o n e s ',

( 2 . 3 )

если

Jtj при

Их II36В* t t > t

>

$ u p ( \А*хд)при

‘locM*--S^ t->o)e

Покажем теперь, что область,

определенная неравенством

У

движениях системы 2 L

% начинающихся в

области (2. 3 ).

Рассмотрим функцию

N/Cocot^t)

, определенную на

любом

возмущенном движении системы, начинающемся в области

(2 .3)с

В силу условия теоремы производная по времени

фун­

кции

V c x c t),t)

является функцией определенно отрица­

тельной. Следовательно, с неограниченным увеличением

"t

функция Vcxct),t)

будет монотонно убывать к некоторому пре**

лю. Действительно, в этом случае из условия

Cun V cx ct^f) = 0

ари

t -* 0 0

и неравенства

1

V t x ,t )

W,CX>f

где

W-5(ос)'

- определенно

положительная функция, сле-

дует

Ш 1 V^CxCt^t^o

гри

*fc

сзо

что непосредственно

влечет

за

собой выполнение

условия

( 2 . 1 ) .

Предположим противное.

Пусть при неограниченном уве­

личении t

предел функции V cx ct^t)

равен

некоторой по­

ложительной величине

С

,

отличной от-нуля.

Тогда при вс«.

и так

как

функция

допускает бесконечно малый выс-

ший пределс

то при всех

t & z c

где

у

-

некоторое лолодител■й.о$ число, По условию

тео- с

рвш.усас,^)

~ определенно отрицательная

рункция, Это зка-

N

чит, что существует определенно-положительная функция

WCoc)

,

удовлетворяющая неравенству

Щ 4 - W c x >

42*ь)

на множестве

(1, 11), Обозначив через с<

точный нижний пре­

дел функции

Vsicx) на множестве

У4 йэсй<в4^

*

мы Получим

„

* _ 4.

V cxct^t)<, V cxct^t,) - <*-Ct- 1 Д9

. VCXptO.t.;- 0

полученная

оцен­

Уже при

^

----

ка возмущенного движения противоречит условию (2,4),

Следо­

вательно,

Р - О

и область, определенная

неравенством (2. 3 ),

ли

она устойчива

по Ляпунову и 4c(t) +1LCt)

-

определен-*

но

отрицательная

матрица.

Пример 2, Пусть возмущенное движение системы

удов­

летворяет уравнению

эс.=Х<эс)

(2,6)

птотической устойчивости системы»

з- - Д ос +

с '

( 2 . 8 )

где

А. ~ постоянная С^г *%>матрица,

a

^ C x ,t) - нелиней­

ная

вектор-функция, удовлетворяющая на множестве (1, 11) не-

равенству

it f

I.

CfL-*- £

l'Xyt)ll£: гйоа!!

э

уравнани т

ОТ. » J. I X

(2 * 9 )

V

пусть

ri

~ определенно

положительная

действительное

U

матрица.

В качестве

функции Ляпунова для системы (2.9) при­

мем квадратичную форму

V

-

ос/ Г X ,

(2Л0)

'де Г

определенно положительная матрица,

удовлетворя­

ющая уравнению

*.t) w частное

решение матричного уравнения

н

- г д . + л ' 1 , . z c o > - c .

■

При выполнении

условия

(2Л 2 ), а следовательно, l (2. 11),

Vex) » х*Гх +хТх «=(Дх + рГх

“х* Г iAx 4^)р

приводится к виду ,

\

xJdx 4

V(X> в Х-[ГЛ+А Т]у 4 f Гх -5- XTf

Отсюда

V c x 4£: - х !С х *

и гак как

где

- найме .ьшее и наибольшее яз собственных

р

f а

С ъ - наименьшее из собственных чи­

чисел матрицы |

сел матрицы

С

, то

I

V сх, ^

- х*С х +

UUхН < -х 'С Х 4 !1гс2WXlV***^

Теорема 2.3.

Н/сть уравнение возмущенного движений’ №*6;

системы 2 1

определено да множестве. (I. Ш)

и эта Ьшо^вШ

■ устойчива по Ляпунову. Тогда на мнокес:1ве

(I *I I )*’<fy-.

шествует определенно

положительная функция

Vex, to

,«.г?рой^'

водная

которой

вычисленная в силу уравнения

и ° ь ),

явШ&тоя:

ка itou

>

множеству функцией знактшостоян-ной отрицательной!’

функция

V ix

.t) . /цамножестве

(>!,№); ша-еёт»

Е $ п р ё$Щт&

частдыегяроиявот т в ••

Ъ\1

>

■•§%. fr ы-^-1}

Теорема 2.»4,

,Е.оли* Шййййф! 121.

усТОйчива: райнсш£-рпО

по времени

t a

и уравнение (Г,6) при всех

о

опреде-

лечо на множестве

(1*10), то--на множестве (1 .II)

при всех

t ^ o

существует

определенно положительная функция

V ex.-t)

допускающая

бесконечно - малый высший предел,

такая,

что ее

Теорема 2.5. Если’ система

равномерно асимптотичес­

ки .устойчива и уравнение (1.6)

определено при всех t 4}>Q

на множестве (1Л 0),

то на

множестве (1 .Ц ) пои всех t 0> o

существует Функция

W * . tj

*

имеющая на этом'множестве в

Vctx^t) „ Функция V c x ^ t)

язшвляется определенно

положитель­

ной, допускает бесконечно

малый высший предел ивимзет на

оот

3V ici

С -»-ом множестве непрерывные частные производные

Vc

Основной вывод [з ]

который можно сделать из

рассмот­

ренных теорем, состоит в

том,

что: