Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

ло&е'ние двумерной плотности вероятности в ряд ПО ПОЛИНОМОМ

Чебышева - Эрмита

- P S W “\ ' t M Н^ ' ) Ч ^ . (15Л1)

где НС^) - полиномы, определяемые соотношениями

		ц а ^ и ) ‘ « г £					л	Л
						L .._		( г ы г )
Н м ,Ч ) *		" к Н м Ч ) , ^ » Ч ) т , Н <Ч ) _ \ i .
Полиномы эти ортогональны, с весом <тср{-								на прямой
ОО<	оо	;
	НкСЧ) Нл-Ч) €			dljjc.	( 4 lT h .\		Y.-,
	НкСЧ) Нл-Ч) €			dljjc.			YTLf-VVy		9
	—О0				V	О	YTLf-VVy		9
или						Т Ж		'ПУ’УП. «-Ч,
				>5гу 6х^		Т Ж	~	О	nv^Vt,
				>5гу 6х^			~	О	nv^Vt,
г . о . н	с ^	)	ортогональны с			весом f	* Сэс)	на
Прямой -	Оо <1	ос ^	с*» .
Подставляя		теперь (13.11) в			(13.6), для		второго начального
момента В			учетом ортогональности				получим:
		ft		00	л		,	(13.1-3)
		ft	'	г&*2—Р			,	(13.1-3)
			'	WtO	J		1
г д е			<о>
			<о>				Т Т 5 ^
							Т Т 5 ^
	0 ч * в		Р И Н к ( ^ ) €				4	d x t
ИЛИ
			-	160 -

©в

— Oi

Нсно, что интеграл представляет собой математическое

ожидание функции случайной величины: -

1 m ( f ()4H v( ^ J | < . 4 (h .e >

Итак, задача вычисления момента второго порядка сво дится к задаче вычисления ряда моментов первого порядка,

причем любой из моментов явно зависит от двух параметров и (У

Т'яд (13.13) является абсолютно сходящимся. Коэффици

енты CL1Vu

убывают

(по крайней мере,

как

. У*0

Поскольку

H.OQ

, ТО O.10= M [f (X J ].

&г.* Р Л Ш х Л

учитывая

(13.6),

для

получим:

ОО

^ Ч

) = 2 - . f *(.4

а 1Ка г ^

о з л в к

Зависимости

и (Хъ^ от

их аргументов являются тождест

венными. Для типовых пелене иное той имеются

таблицы,

;.ор-

мулы графики (см.

в частности Н У )

юсли входной

процесс

стационарен,

то Ц

(

г-Ц-

Gк,

и (13.15)

запишется

виде

Оо

у .

ч - Х - м ч е

а з .! ? )

л '■

сизичаский смысл атого ряда: ого первое слагаемое соот

ветствует той компоненте выходпига сигнала, корреляилинпаи

Функция которой лзы1амает по .;орне с 1C ( X );

- Тб Г

остальные слагаемые соответствуют искажениям , вносимым не

линейным элементом. Часто эти искажения оказываются вез-

начительными как в силу отмеченного уже убывания коэффици

ентов ряда,	так и	в силу того, что уменьшаются, сами величи
ны f-xtX)	, ибо	' \|	при %-> о у.
Совершенно аналогично			можно получить выражение для

Восъ Оц'Ъ) - М^Х-О) ?*(>■* т

в виде ряда

						—2 — f-x			*”v’	(13.18)
						У\~о			*”v’	)
еде	определяется выражением						(I3.1't)<		а
1H-	1	FgT		—o#					‘	!13-	19)
1H-	4«t kV		'	—o#					‘	_
Имея в виду			что Н «0^ *						\
можно показать,		что
Ао ~		М чг		Ч/‘Х	,	и -^лк*-		0	при	JU .
Тогда
										7 а з .2и)
				L х,,	-	а гд(^Хл у.				(13.21)
Учитывая,		что		j) ^	^	■	, .получим
				. .	-	_й>1		к		(13.22)
						G 4		к		(13.22)

Метод, псиильзуккции -разлоаенле■двумерной плотности в

А»

ряд, является весьма рощгш и довольно эффективным.

Однако требуется значительная вычислительная работа,

иногда более э ; рентавниыл оказываются другие‘ирисыj И иг

- Т62

тоды.
2.	использование		характеристических функций.			Если
функция	F ( 'Х ) допускав!!:			преобразование по Фурье*, г .в .’
существует. функция		^	^ U	), связанная о F(, эс ) соотношени
ями	<ъо				-\UTC
F с х ) 1F.					-\UTC
F с х ) 1F.		fiu ) £		d u ;	]F tx)€ .	Дх у
					- оо

то удобнее бывает использовать характеристические фун кции случайной пункции X ( ^ ).

Тогда можно записать:

			i	p , h i \		,
Имея в виду, что	М^4хр		в	£ l*u) - есть характерис
тическая функция	ординаты	X	^ ^	получим	- '
			о о
			я
	№.<.) «•	~	^Сла) Е й*; d'ui			(Ц . 23)
			—.оО
( 4 входит в f	U ) как		параметр).
Аналогично для			получим:
	сгО
к * (* Д Й *	S			4	Hv>W^	13-2'*>

ГАв	Е н ч /и Д =		.
	Этими формулами удобнее	пользоваться,	поскольку даже
для	существенно нелинейной	уакции F 4 эс	) ее преобразо

вание Фурье может быт* нел^с,! ывмой функцией и при вичлслвпии

полученных выше интегралов не возникает	трудностей,	связанных
с видом области йнТег -иронан^я.	■ ”	’

ционное

звено

имеет характеристику V ( х

являющуюся,

непрерывной функцией своего аргумента, моменты (пункции

)

часто можно выразить через моменты ординат

функции X. ( ■Ь

Действительно, предположим, что функция

R x )

раз

лагается в ряд Тейлора около

точки

*■

схо

дящийся во всей области, изменения ординаты функции

Ос.

(

)•

Тогда получим:

<Лх

о*э£ [Хо;

X m»**(*■)

•

(13.25)

Математические ожидания обоих частей,равенства имеют

вид

ЗЦ <*Хг

х*

nixcv;

X. wx(V)

(13.26)

» /

где МД.Х(*Л

центральные моменты случайной функции

X (Л

) порядка

L .

Для получения

нужно написать формулу

(13.25)

дважды -

сначала для аргумента

, а потом

для

“Ь - *^2. *

Перемножая затем левые и правые части написанных вы

ражений и находя математическое ожидание полученного равен-

ства?Оудем иметь:

°°

ojx*

тс =^*14

(13.27)

где

= M |[X uv)-h»xH,tf D P n j- ruxttijT ^

8 Т64

§ 14. Общая характеристика методов исследования			»
	нелинейных систем с обратной связью.
I.	Использование разложения нелинейной функции. За
дача исследования таких систем значительно более сложная.
Усложнение связано		с тем, что для них, как правило, не
удается записать явную аналитическую зависимость выходного
сигнала от поступающего на вход системы случайного возму
щения.	Поэтому даже вычисление первых ыаментов выходного
сигнала	представляет	существенные, трудности, для преодо-
*+■
ления которых применяют различные приближенные методы.
!йожно выделить следующие 3 основные группы таких методов
(см.	[1 4 ]' ):
1. методы, основанные на разложении по степеням малого '
параметра или нелинейных'"'выражений, входящих в уравнение			сис-
	%

темы, или выходной функции системы;

2.Различные методы последовательных приближений;

3.Методы, основанные на применении теории марковских

процессов.

Разложение по степеням малого параметра можно приме нять в том случае, когда случайные-.возмущения можно счи

тать в определенном смысле слова "малыми". Чем меньше пара

метр, по которому ведется разложение, тем оолее простые фор

мулы могут быть получены для расчета.^Рассмотрим сначала

случай разложения нелинейной функции. В .соответствии с (12.9)

(см; рис. 13) уравнение системы может быть записано в виде

		Yeo *	L N W li, (w -i)
где G-; L,	-	линейные операторы,-
F	-	нелинейный сезинерционный	элемент,

ХО ;- случайная, ^.ункцня,характеристики которой пред-

- ТВ5 -

полагаются известными.
Пусть F непрерывная функция своего аргумента.									Будем
считать,	что	отклонения				Xv.^) -	, малы, так что
F [X it) -		LY iv]			’ может быть представлено своим тейло
ровским разложением по степеням ( X -							) и	L ( Y -			)
с ограниченным числоЖ членов.
Представим			X u * в виде:
			X Ur) =			4 V [ Ъ у	-	?		( И .2)
где V	- "малый параметр” искусственно введенный									ноэффи*
циент, который при разложении следует считать малой вели
чиной, а в окончательных формулах - положив равным "I.
Подставив			(14.2)		в	(14.1) получим уравнение,			содер-
										#
жащее-малый параметр, поэтому естественно искать его ре
шение в виде:
		"Yi-tj		- Y „iv) + v Y ,tt »4				+ • • • (и- • з ).
Подставляя выражения для < Х «							исходное	уравнение,
получим,	разлагая			К Х и - Ь Ч и - Л			по степеням		V	;
Y.* vY, *vxY ^ - -							г/»]чf^Iv Ix -wv.-LX]

- 'A Y - v Y X - •••}4 ^ { -v Y X -'m .-L Y f4 A i \ )

-- iv Y C f .C X - m ,-L V 4) ] 'i v ,,[L>fsT3C -m x -L Y )> -V

^^ { v Y X - ^ - L Y O V - . y - ] ,

-166 -

c t9

где под r ^ j понимается производная от фикции по ее ар гументу, взятая в точке

-г

X w - L'VkJ *

_ LYo .

Приравнивая между собой члены в левой и правой частях ра венства, содержащие\) в одинаковой степени, получим серию последовательно связанных между собой уравнений

- ■. Y. - <зЧ	-lY.)} , ’
(l+Ptty&i-JY, -	G"t Л " " "] ,
*	F(V i'. • H I - 1* * - L 4 / f ,

С' + 6)6Н''6 * Fl^,( etX'Wx-IX] - ^.;&иТЛХ-**-1Х,У)(14.4)

Первое из этих уравнений нелинейно, :чо зато в него не входит случайных функций и решение его не сопряжено с прин ципиальными трудностями, связанными с их наличием.

Остальные уравнения полученной бесконечной системы содержат случайные функции, однако линейны относительно ис комых функций. Б каждое следующее уравнение входит только

.одна новая неизвестная. При их решении начальные условия можно считать нулевыми, удовлетворив начальные условия для

Y о ПРИ решении первого нелинейного уравнения.

Поэтому последовательное определение любых моментов ко ординат этих функций может быть выполнено общим методом,

изложенным выше.

Определим первые и вторые моменты, например, ординат

- [67 -

(ДОНКЦИЙ X	и Х ь , положив для		простоты	1 .
Для	I		2-ое и 3-е уравнения сис
Для	этого перепишем		2-ое и 3-е уравнения сис
темы (14Л) в виде:		1	*
	t	1	*
	о\|■Ч	R a )tXvxJ"		А у~ t	(14.5)*
	С - t			о К ;	(I't.6)
	о
где	" фуннция веса, соответствующая линейному
оператору	(^4 -*	'б-.	'	'

Применим и (14.5) операцию математического ожидания

	^	= \и*(1) F ^ T X ^ - m xt V] Лх - о .
Умножая	на	I X (4; - Vnx(.yj] и находя математическое ■
ожидание обеих частей полученного равенства, найдем
	к ^ х	-	] ^,Lt,xj Fuj k x Схд 1) <Kx .
Определим	математическое ожидание Т а - л В СООГВеТСТВИк. о
(1^.6)		t	' '
			* г V.X^>XJ *

Подобный процесс можно продолжать и дальше, причем каж дый раз в равенство, олределяющефледующий момент., Оудут входить только моменты, определенные предыдущими равенст вами.

Возвращаясь н равенству (14.3) и полагая V = L получим возможность.выразить выходную •]ункцию че^ез сумму случай ны^ луакций

a'* .?)

- Т68 -

для которой м о ж е т быть определено необходимое число момен тов и, следовательно, о достаточной степенью точности оп ределен закон распределения выхода системы.

доказательство судимости этого ряда весьма сложно.

На практике довольствуются ljL,актом быстрого убывания момен

тов функций Y c i > ; с ростом е . лено, что если оказы

вается возможным удержать только два первых слагаемых, ме

тод сводится к обычному методу линеаризации.

2. Использование разложения решения. Когда *ункция F

не	.допускает	разложения	в ряд Тейлора, а это	имеет мес
то	при наличии	су.чистнеппо	нелинейных звеньев,	g успехом

может оыть использован метод, основанныйна разложении ре

шения	нелинейного уравнении.
Пусть, например, вводим				в рассматриваемую систему яв
ляется	случайная величина		V	, т.о.	уравнение системы
имеет	вид:
		T i t ) = G - F ^ T t V j t ] .
I’ciseiuie		ai'tH’u уравнения T ty * зависит ci				«луча:.ной
величины как				9	х
величины как		от параметра, т.е.			х
		"Ylfc) - ^			.	(1ч. у)
ilpn атом		чуниция ^	как	правило	и&лнетск	непрерывной

Функцией стоил аргусе.;ток вс .едетвне оглаживал. их своЬ-зть ликсйпога оператора.

		лр.ШНВ	,Ouy.4eil..v. О lk;n:.'UpU.>:.oCT.				"У ОТмаСИТе..ДНО
V	и	счихая	отклонение V			ui *..е ...wT«,:.отческого		ожидаллл
		ЬеЛПЧ.ч	О/	М<ллО В	1 'j). -j.:,С.' о, Чjо		ь ра.. ..о.	и л
г	я	лс‘.ллц и		око..о точ	. *;	J л ^км ..:..-, о	oi . а;,л читаси he—

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ