книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие
.pdfо рядом из которых мы и ознакомимся в этой главе. Поскольку выбор того или иного способа решения задачи и их эффективно сть зависят от свойств исследуемых систем рассмотрим струк туры типичных нелинейных систем.
Будем для простоты рассматривать одномерную систему,
причем Х о ; - ее вход, aY ("t ) - выход. В общем случае4 преобразование вход-выход записывается в неявном виде с по мощью дифференциальных уравнений
Иногда уравнение такой системы удается записать в явном виде
. Y o ) - F |
L |
Х 1 ^ |
± 3 • |
( 12 >2 > |
где f- - нелинейная |
функция |
(или функционал) |
своих аргумен |
|
тов. |
|
|
|
|
В ряде случаев в системе удается выделить линейную час ть и часть нелинейную, описываемую уравнениями вида (12.2)
или их частной формой
(12.3)
при этом mosho рассматривать два вида структур, которые представлены на рис. 15 (см. [ 14 j ).
- T5w
Рис. 15
Принципиальная разница в структурах заключается в раз
личии сигналов, поступающих непосредственно на нелинейную-
часть. Если в cxewe I - это входное случайное, воздействие,
то в схеме П этот сигнал содержит кроме входного воздействия такие еще искомым выходной сигнал или его линейное преобразо
вание. |
Именно эта |
разница и определяет |
различия |
в подходе |
к |
|
рассмотрению систем. |
|
|
|
|||
|
Системы 1-го тина могут быть описаны уравнениями: |
|
||||
|
Zl-fe) |
* |
р [ Х ^ ) Д с * ) , ... Д |
. |
(12 |
|
|
|
Yl*0■•=•j |
oir. , |
(12.5) |
||
|
|
о* |
—00 |
|
|
|
или |
Y l*)= |
J |
F [ X i^ X l», |
...x Tv |
] Ax . . |
|
_oo
- ToI -
<
На практике |
часто при сведении |
системы н |
структурам ви~ |
да I и П удается |
|
|
I |
так выделить части, что выделенная нелиней- |
|||
|
|
f |
т,е. |
ностъ является простейшей и имеет вид (12,3), |
|||
2:1# - |
и тогда система |
описывается |
уравнением |
Yt<o - [ |
FlXu;Dctx |
„ |
|
• |
■ |
* |
(12.6) |
К подклассу нелинейных систем типа I можно отнести более слож ные преобразования, например:
*> у
а) |
Д 1 + ) |
- « в |
К Ш Д 0(г , (12.7) |
|
|
|
что соответствует параллельному проведению нескольких пре образований, нав это иллюстрируется рис 16е,
что соответствует схеме, изображенной на рис, 17.
\
Pug, 17
~ т52
Таким ооразом при схеме типа I задача анализа исходной |
|
|
нелинейной системы формально сводится к решению двух задач: |
|
|
а) Определению вероятностных характеристик функции |
, |
|
связанной о заданной Х ы |
нелинейным соотношением (12Л). |
|
о') Анализ»линейной системы (12.5). |
|
|
Системы подобного типа называют "приводимыми нелинейными сис |
|
|
темами". |
|
|
Структура системы Л типа не допускает подобного сведения к |
|
|
линейной системе и такие |
системы называют "неприводимыми не |
|
линейными системами". Преобразование задается неявным соот ношением.
|
•о |
■оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V i*; - |
|
|
|
. |
(12.9) |
||
2. |
Нелинейные |
злементы. |
Помимо такого |
разделения на |
|||
приводимые и неприводимые системы при анализе |
нелинейных |
||||||
систем существенно, является ли характеристика нелинейной |
|||||||
часгти F |
системы непрерывной функцией |
своих аргументов |
или |
||||
нет.‘В атом отношении системы разделяют на системы с просто |
|||||||
нелинейными элементами и системы с существенно нелинейными |
|||||||
элементами (Н.З-.) |
|
' |
|
|
|
. |
|
Примерами нелинейных элементов первого типа могут быть |
|||||||
любые элементы для которых функци« |
F |
являются ди^.ерен- |
|||||
цируемьиди ^.ункцлнып своих аргументов, |
например, W 4 J * |
^ Х 1У, |
|||||
F[XU}) ■- |
X l*J |
и г.д. Существенно нелинейные |
элеыен |
||||
ты используются, например, }з различных законах управления. |
|||||||
Примерами характеристик |
сущеетьеппо ’нелинейны.: элементов |
яь— |
лиютен характеристики рояейиые различного типа , линейные .va
рактерйстики с насыщением, |
l >,.: , iист резненые ne. ш, сухое |
- |
тЭО - |
трение. Некоторые из них изображены на рис. 18.
Таким образом, одним из признаков классификации не
линейных элементов может быть непрерывность или существен
ная нелинейность функции FIX].
Вторым существенным признаком, по которому также клас сифицируют нелинейные элементы, является наличие или отсут ствие однозначной зависимости выхода H-.'d. от ординаты вход
ной |
функции. ~ - |
|
|
|
В том случае, когда |
значение Хзд |
в момент ^ о-.позна |
чно |
определяет значение |
функций |
|
|
|
в тот же момент, нелинейное звено |
|
называют "безынерционным" (или звеном |
"без памяти"). В про |
тивном случае звено называют "инерционным". Очевидно в при веденных нами характеристиках это звенья с характеристиками
3 и 6.
Для |
инерционного |
звена характеристика г является |
по- |
существу |
функционалом, |
зависящим от вида функции X I'ty |
в |
предшествующие моменты времени, а не только от значения ор
динаты X oj> .
\
Итак можно считать, что нелинейная система обычно мо
жет рассматриваться как совокупность линейных и нелинейны/
звеньев, соединенных различным образом. Лри этом нелинейные звенья могут быть по характеру их зависимости от входаэбыть как существенно нелинейными, так и просто нел:ыийпыш|. кро ме того, в зависимости от того одно'значни эта характеристика или нет они подразделяются па безынерционные и инерционные.
- Т54 -
Рис i£.
- Т55 . .
/
§ 13« Приводимые нелинейные системы.
I, ОбциЙ подход к определению характеристик выхода но-
линейногб элемента. Как уже говорилось формально рассмотрение приводимой нелинейной системы можно свести к рассмотрению системы,определяемой уравнением (12.5) или, в символической
записи, уравнением |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н-*) - L ^ i - y . |
|
с и л ) |
|
||||
Исследование этих систем даже в рамках корреляционной теории |
||||||||||
наталкивается на существенные трудности. |
|
|
|
|||||||
Действительно-, оооаначая ^ |
|
) функцию веса опе |
||||||||
ратора L |
и считая для простоты начальные условия |
нулевыми |
||||||||
можно записать: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
"Ytv) |
=. |
|
л х |
|
|
|
||
Тогда для |
|
и |
L-fc,, t-3 |
|
|
|
|
|
||
можно как извесно записать |
v |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- |
J {Jt+.XjUl* (t) Ях. f |
(I- .2) |
|||||
|
' |
{' |
fl |
° |
|
|
|
. (b ,3 ) |
||
V -S + O = ) |
a |
|
u |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Сюда входит |
^ъ^Х) |
|
и ^С-ь^случайной |
пункции |
i t V |
, |
||||
связанной со |
входом |
X l*j |
пелииеиным |
соо тношеинем |
|
|||||
|
■?:(£)■=- F H X w l |
|
. |
|
(13.4) |
|||||
Предположим, что это-нелинейное' преобразование безынер |
||||||||||
ционно, Т.6. |
2 0 J |
однозначно |
определяется "значением |
•;ункцпн |
||||||
7jX) в тот же ионегл* времени, |
|
|
|
|
|
|||||
Ооозначим одномерную и дьунебп.ую плотности ы. рояности |
||||||||||
через |
рлС^с) |
иРгО Л)х 7) , |
где■"X l.'V* |
Х 1 |
п Х г= Х Л ) |
|||||
Т о г д а |
п р и м е н я я |
д - о р м у , ) / • |
в ы ч и с л е н и я |
|
г . а т е ; . . а |
|||||
|
|
|
- |
T5S - |
|
|
|
|
|
/
1ыл уункциЕ |
слуз&йшх величин г ю п н о записать: |
|
||
\гь.L-t) = Na\f№^-)]^ ~ j Fc^)p1l'^^3ol'X , |
(13.5) |
|||
k 4( t <;+v) - |
М ^ Н а ^ Ш - ч ) ] 1; - |
п щ м -т .* |
u p , |
|
I |
|
7 T |
■ |
рз-О |
**0-1,4)= JJFt^)Fiii)picic-^'x1.)aTt,c»xl.-V4lt-i,)»ti.ot1.). |
||||
|
- 04 -C0 |
|
* |
|
В принципе |
эти формулы решают постановленную задачу. |
|||
|
оказываются |
|
с v п |
|
Иногда они правда неудооньши, особенно |
если функция г Ц\Л?]:' |
|||
соответствует существенно нелинейно1^’ |
( сложный вид |
|||
преобретает |
область интегрирования^ |
|
|
Пример, Рассмотц.цк подробнее процесс вычисления этих характеристик на примере одного из распространенных видов нелинейностей - линейного звена с .симметричным ограничением.
Примем распределение входного |
сигнала |
нарыалъным. |
, |
|
< |
Для такого сигнала, как известно - |
|
|
рх^о - |
А* р v Т 5 Г S , |
|
|
|
► |
рг (.асъ х д =
~ г |
'Г Г " |
O'*. &Г |
|
(Ь .У ) |
e*i. |
|
|
|
|
|
M [X i] , g£ - M i d ; - * * £ ) . u u , |
|||
|
д |
v |
■ |
|
|
г- ■■М[СХи-т «-,)(Х1- т . г у 1 . |
|||
|
Г*- ”. OV.G<Х<L |
v |
J. |
|
Ноли процесс Xk-fc) |
CTaiitip'iiapGH, |
|
сг - M -i, |
-157 - |
I |
>
Вычислим теперь Wl4 , |
считая |
Х.А) стационарным. |
На основании (13.5) и (13.7) |
сразу |
же можно заметить, что, |
вообще говоря, при нормальной входной функции величина Иъ*.
непосредственно определяется |
только |
величинами |
и §•*. : |
^ ^ С |
J |
• |
(13. 9) |
Примем для нашего вида нелинейности (см.рис.19)
F U >
Тогда, |
подставляя (I3.IO) |
и (13.7) |
в (13.5) ntvnvuM»*' |
|
|
|
|
а, |
|
О- |
|
|
|
Г |
|
|
|
nt»= |
|
х в |
+ <Я g |
r -<S^A)v |
|
т < ? * |
сАос. 4 (гй) e W |
4 i |
|||
|
у |
CL |
У |
|
|
|
|
О- |
О* |
|
'Не приводя преобразований, загшшим результат: U-ftuJv
4rsF t |
|
|
|
Ш- |
|
|
|
|
|
где |
• 43 *1 |
a. |
|
4 |
|
*-L |
CL |
|||
|
|
|||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
И Ф ( 0 * in |
£ |
oOt |
- интеграл вероятности (неличный |
ии- |
- Т56 -
теграл).
Интересно |
рассмотреть графини зависимости |
^ V |
YV\_ "X |
|
|
от ^ |
|||
при различных |
^ /с и * Примерный вид их представлен |
на |
||
рис.20 |
т* |
|
|
|
сх |
|
|
|
ж |
- |
|
0,5 |
||
|
||
* • % / / * $ ' 'ф У '. |
|
|
|
6**5— |
0,5 i,0 i,5 г,о CL
рис.20
йа этих зависимостей можно сделать важные качественные выводы.
Во-первых, наличие случайной составляющей сглаживает нелинейность исходной характеристики. Результирующая харак
теристика является аналитической .функцией. Диапазон линейнос ти увеличивается с ростом дисперсии случайной составляющей
входного |
сигнала. |
|
|
|
Во-вторых, |
значение коэффициента усиления |
X |
на |
|
участках |
линейности Характеристики ttUt/tti-y) уменьшается с |
|||
ростом |
. |
|
|
|
Оти свойства являются оощими для широкого класса нелиний |
||||
пых элементов. |
|
|
|
|
В меткости |
они характерны аДя всех £ —F (JC)» где |
|||
идид.сренциальпый" коэффициент усиления ^/ос |
падает |
с |
||
увеличен.. оЫ Вс |
, |
|
|
черейдем теперь к вычислению момента второго порядка.-
Использование оощего выражения (13.6) существенно затрудняет вычисления. Для. ычь.олин-Ця иоычио -пс пользуют известное раз-
- Т5Э -